根据达朗贝尔的动平衡公式，任何时刻质量m都有：

    但我们关心的是恢复力fs，而惯性力,包含阻尼力，所以用作计算弹簧的内力（恢复力）就不对了。当然如果阻尼等于0（fD=0）时，惯性力恒等于恢复力。但任何建筑都会有阻尼，所以惯性力不等于恢复力。土木吧留言有一个叫“翼望蓝天”的读者的提出看法，非常好特别具有代表性：“全文最关键的一个就是：最大惯性力等于最大恢复力是不对的（概括非常准确，值得佩服-作者注）。但是位移最大的地方，速度最小（实际为0-作者注），然后由振动平衡方程，得到此时惯性力等于恢复力。不知道以上定性的理解错在哪里？要是精确求解把振动位移的杜哈梅积分求1阶导，看看位移极值点，再求3阶导+地面振动加速度的1阶导。看看加速度的极值点，两者是不是一致”。

    

    的确，如果对于理想的粘滞性阻尼的话即，当质点振动位移最大时，速度为0，这时阻尼也为fD=0即,在这一时刻恢复力正好等于惯性力。但这是针对理想的粘滞性阻尼来说的，实际建筑结构的阻尼非常复杂，任何的数学化阻尼模型都有缺陷，所以实际的结构在最大位移时阻尼力不会必然为零。我们简单的思考一下即可知道，比如结构的构件之间的摩擦产生的阻尼在速度为零时仍然存在就像静摩擦力一样，所以实际结构在振动情况下即使在最大位移（速度为0）时刻惯性力和恢复力也不相等，因为只有在结构完全静止时阻尼才为零。当然阻尼很小、速度也较小时，恢复力和惯性力是非常很接近的。

    由恢复力（结构内力）公式经过变形转换得出的却是恒等的（），所以这就是为什么求解内力只需得出伪加速度最大值即可，无需求解最大加速度去算出惯性力，也是我说的一般教材上的问题。

    当然在阻尼很小，最大伪加速度和最大真实加速度非常接近，这也是为什么即使采用最大真实加速度得出的反应谱计算地震力也在工程设计的误差范围之内，国外的早期教材也有时候用真实的最大加速度来计算，也并不影响实际工程设计，我只是从概念上澄清一下，没必要舍近求远，舍简求繁。

    说清楚这个问题，就可以接着说下反应谱了。

  

一：反应谱

    反应谱和某特定结构的地震反应曲线是不同的。某体系的地震反应曲线是对于某特定的地震波，具体结构（周期、阻尼）的质量的振动反应。 比如对于地面振动EL Centro波，不同周期Tn和阻尼比ζ的结构体系反应曲线分别如下：

 而反应谱是反应量在体系周期从0到某一时间的周期范围内（我们认为能涵盖大部分体系的周期范围，比如规范反应谱的周期为0~6.0s）的所有周期和不同阻尼比下的最大反应量的连线，如下图

    上图b是不同周期、阻尼比为0.02时的位移反应曲线，而图c是该体系在该阻尼比时对该地震动EL Centro波的反应谱，该反应谱的周期范围涵盖从0~3s。

    同样我们可以得到其伪加速度谱、伪速度谱。这两个谱通过简单的代数运算即可得到（见浅谈一），而无需用复杂的动力学公式反复计算真实加速度和真实速度的反应曲线再取其峰值得到，见下图：

   对不同阻尼比，上述各反应谱曲线形状各自基本相同，只是上下位置不一样，见下图的伪加速度反应谱在不同阻尼比下的形状。所以我们也可以用一条曲线去代替，只是纵坐标要用包含阻尼比的公式计算代替。

二：反应谱的建立

     实际上，对反应谱如何绘制的，一般工程师无需关心，但了解其过程，对加强地震概念设计的理解非常有帮助。

    对给定的地面振动，反应谱绘制方法如下：

    1、先把地面振动波计算机数值化，即能够输入计算机的地震动数据，一般将地面运动按时间间隔0.02秒确定其对应的运动分量（比如加速度）数据。

    2、选定某单自由度体系的固有振动周期和阻尼比，用动力学理论和计算机进行数值计算得出体系的反应曲线，并取反应曲线的最大值。

    3：建立一个直角坐标系，以周期为横轴、反应量的最大值为纵坐标，在该坐标系中点出这个点。

    4：反复计算在某同一阻尼比下，不同周期的反应曲线，取其最大值，标注在坐标系中，将不同的点连接起来并拟合回归成一条曲线，就是某特定地面运动下、某阻尼比的反应谱（见上图）。改变不同的阻尼比，再反复上述步骤就会得到一系列不同阻尼比下的某特定地面运动的反应谱线。

    生成这样的反应谱需要大量的计算机的反复计算。所以只有在现代计算机的条件下才能应用这种理论。

 

    三：反应谱的特征（规范反应谱的各控制段的解释）

    通过上面的工作，建立了从周期0到很长周期时间范围内的反应谱，我们就可以分析反应谱的性质了。

    对周期极短的体系，峰值伪加速度接近于地面振动加速度。我们可以这样宏观的概念理解，对于一个非常刚周期非常短的质量，比如用接近刚性的杆把质量和地面连接起来的结构，体系的质量几乎与地面一样的运动，其伪加速度也就几乎等于地面加速度。见下图：

    在周期比较短的范围比如规范的0.1~Tg范围内，体系的伪加速度A反应超过地面最大加速度,相当于伪加速度动力放大了（伪速度、位移放大不明显），放大的幅度取决于体系的自振周期和阻尼比，但基本可以理想化为一个常数。这个常数等于地面最大加速度乘以与阻尼比ζ有关的一个放大系数（规范反应谱一节中会再次提到这个放大系数）。

    对于特别柔的体系比如规范中反应谱中的5Tg~6.0秒周期范围甚至更长的周期的体系，地面振动的时候，质量几乎不动了，我们可以想象用一个猴皮筋拉一个铅球，我们手快速的来回拉动猴皮筋，但铅球几乎不动，所以铅球相对于我们的手，其相对位移就是我们的手的位移。手动的位移很大时，虽铅球的伪加速度、伪速度非常小，但其位移是非常大的（位移大时对结构的不利影响也非常大）。见下图

作者注：本图中Tn=0.02秒为笔误，应为Tn=30s。

    对于中周期的体系比如抗震规范中的Tg~5Tg~范围内，地面振动对体系质量的加速度的放大作用随着周期的增长迅速减小，但伪速度(见杂谈一中文尾对伪速度的论述）大于地面最大速度,相当于体系的伪速度反应被放大了，而且可以理想化为一个常数，这个常数等于地面最大速度乘以一个与阻尼比ζ有关的放大系数（杂谈一中讲过伪速度是和体系吸收储存的地震能量正相关的）。下图是体系对EL Centro波，伪加速度、伪速度和位移反应谱，从该图可以看出不同周期区段的伪加速度、速度、位移的反应特性。

    笔者注：因体系的位移、伪加速度、伪速度反应谱仅仅是代数变换，其图像通过对纵坐标的转动，一张图形就可以表示三个谱。本图即为D-V-A的三谱合一联合谱

    基于上述的宏观分析和上图可以将反应谱分为三个阶段。左边区域是短周期段，为加速度敏感区，中部区域是中周期段，为速度敏感区，右边是长周期段，为位移敏感区。这里的“敏感”一词指的是不同周期范围的体系反应的三个参数伪加速度、伪速度、位移对地面运动的敏感性。

   上述是宏观的概念分析，我们也可以通过位移、伪速度、伪加速度的三个代数关系式分析出来。见下式：

  最直观的还是直接看体系的三个反应谱，但上图的D-V-A三联谱因为A、D纵轴的转动，我们一般人很不习惯，可以分别看如下图的三个反应谱（上文中的对EL. Centro波的三个独立的反应谱）：

    很容易看出，周期增大时，位移迅速的变大（图中最上谱），V在中周期段最突出(图中中间谱），而A在短周期最明显（图中最下谱）。

   从物理意义的概念上这和抗震规范的反应谱的三个控制区，加速度控制区、速度控制区和位移控制区是一样的，见下图

地震反应谱曲线的加速度控制段、速度控制段、位移控制段

注：

    我们分析反应各个敏感区的概念，有什么实际的用途吗？对我们的具体设计工作有什么指导意义呢？这需要和规范中的地震影响系数谱结合起来分析，规范反应谱里的三个控制段和所谓的敏感区一样包含了一些基本的抗震物理概念，牵涉到某地区的地震烈度和场地的概念，一两句很难说清楚，等下次结合规范反应谱的讨论和不同控制段时剪重比的修正再和大家分析吧。

 

    四：阻尼对反应谱的影响

    我们通过定性的概念分析，就可以判断出阻尼会有效的降低体系的反应。但对于给定的阻尼，三个控制段中阻尼比对地震反应的降低程度是不同的。在极端的情况下当结构自振周期时，由于结构随地面做刚体运动，所以阻尼不会对反应产生影响；在另一种极端情况时，由于地面运动时质量保持静止，所以阻尼对反应谱也没影响，影响比较大的是中间范围的周期。但这个想当然的定性概念是否正确呢？且详细的影响范围具体是多少呢？还得在反应谱上看。再看一看这张上文提到的不同阻尼比下的反应谱曲线图：

    横轴两端即短周期和长周期，不同阻尼比的反应曲线相对于该周期是明显接近的，证明了我们想当然的定性思维概念是正确的，同时可以看到，在较长周期的加速度敏感段和速度敏感段阻尼比的增大对有效降低体系反应是非常明显的。

    这种概念也是和规范反应谱中及速度控制段阻尼调整系数以及速度控制段地震最大影响系数的衰减计算是吻合的，见下图。只是规范反应谱用了数学公式表达不同阻尼比下的影响系数，不如上图来的形象，我们久而久之对阻尼比对地震系数的影响的概念就模糊了。

 经过上述的分析，我们知道通过增加结构的有效阻尼可以减小结构的反应，外加阻尼器可以在不明显改变结构自振周期的情况下达到这个目的。但不是所有的体系都能达到理想的效果，最有效的能减小结构反应的是在在中周期段，比如多高层框架结构利用粘滞阻尼器能起到很好的效果。结构设计师在选择外加阻尼器时要清楚这个概念。

 

    五：从反应谱曲线到抗规上的地震影响系数曲线

    上文简单介绍了特定地面震动下的结构体系反应谱和杂谈（一）提到的那个各控制段的物理意义，但仅仅只得到了这个特定地震波的反应谱还远远不够，毕竟这个只是特定地面运动的反应谱，和抗震规范上的反应谱还有比较大的差距。用这个特定地震动的反应谱并不能让普通的结构工程师用于具体的工程抗震设计。介绍这个反应谱的建立过程只是对正确理解抗规上的地震影响系数反应谱做好了准备。对于某一栋位于某地震区的房屋，我们进行结构抗震设计，是为了未来可能发生地震时，能保证结构满足某种预定的标准。那我们如何知道某地及具体到某块场地的未来可能发生的地震时的地面运动呢？不能明确未来发生的地震波的数据，我们又如何运用上述的反应谱进行设计呢？这是规范需要解决的问题，限于篇幅下文再试着和大家讨论吧。

    

    六：一点抗震设计史

    了解人类的抗震发展史，对我们理解抗震设计的概念尤其重要。

    1、20世纪10~40年代是静力理论。当时人们还不知道地震和体系的振动特性，结构动力学没有发展起来。人们根据实际经验，假定一个与建筑重量乘以某一个系数的水平力，不管任何结构直接作用在建筑上来进行计算，比如日本取值为0.1，美国取值为0.075~0.1，是一种技术水平初期无奈的极大简化方法。

    2：反应谱理论是40~60年代发展起来的，它是利用单质点体系对地震波的振动求出反应最大值，从而得出反应谱。但这个需要杜哈梅积分，只有计算机才可以完成，当时计算机技术还没发展起来，限制了反应谱的应用。

    随着计算机的发展，以单质点线弹性体系产生的反应谱及振型分解法的结合，从而使十分复杂的多质点体系的地震反应变的很简单了。反应谱理论的重大突破在抗震史上的贡献十分重大。后来又发展非线性反应谱理论，使该理论更加完善。但反应谱法抗震设计仍然把地震作用看做静外力，只能说是准动力法。

    3、动力理论阶段，也就是我们现在用的动力时程分析，可以输入特定的地震波借助计算机数值计算复杂体系的反应，包括非线弹性结构也可以计算了。但未来的地震谁也无法提前知道，所以任何计算都是一种可能，对不同地震波的地震反应最终还得人为的来取舍归纳，只能说是计算方法的先进，而不能说是完美的抗震设计方法。所以目前各个国家的规范还是以反应谱法为基本，动力法进行补充计算。

    4、建筑性能化抗震设计。

    传统的三阶段抗震设计理论只能保证人的生命安全这一单一目标。根据建筑的特点和业主要求的具体要求，对建筑提出超越三阶段抗震设计的具有个性化的性能要求，即抗震规范的3.10条建筑抗震性能化设计。这种80年代末提出，90年代滥觞于美国的理论是抗震设计发展的里程碑，但这种抗震理念不是像反应谱那样的计算方法的改进，而是抗震目标的提高和精准化，概念上要分清。

 

知识点：浅谈建筑结构抗震设计概念

结构设计之地震作用的理解