邓文中：超大跨度悬索桥的一些构想

对许多桥梁工程师来说，他们的梦可能就是设计一座“超大跨度的大桥”。

图源：长江云

   

超大跨度悬索桥的设计重点

     

桥主要是承载荷载。一座大桥的设计,主要的荷载是：
◆ 重量—恒载、活载
◆ 地震
◆ 船撞
◆ 横向刚度问题
◆ 风—静力、动力
当然还有其他细节和规范的问题，在这里先不做论述。

   

     

重量的问题

   

桥梁所用材料的重量和允许应力，限制了大桥的跨度。 重量可以分为三类：主梁的重量，主缆的重量和附属设施的重量。 主梁的重量主要来自主梁的结构和设计活载；附属设施包括吊杆，主缆保护设施，桥面铺装，护栏等。主梁的宽度主要是根据交通要求确定，与大桥跨度的关系不大。如果交通要求8车道，主梁需要的宽度大约就是40米，不管是500米跨度抑或5000米跨度，主梁每单位长度的重量和附属设施的重量不会有很大的变化。主缆是承载整座大桥的骨干，当桥梁的跨度增加时，主缆的横截面积会随着跨度增加。所以，当大桥的跨度增加，主梁的重量在大桥总重量的比例会愈来愈小，当大桥跨度达到5000米或更大时，主梁的重量大概会降到总重量的25%或者更小。这样，主缆承担的重量就大部分来自主缆本身的重量。

我们可以很简单地分析一下。图1中，假设主缆承载着的总重量是wT（kN/m），主缆的矢跨比用d/L=1/8，主缆最大的索力是Tmax，位于塔的顶部（见MCTang, Bridge Engineering Handbook, Chapter 1，陈惠发编，2013）。

图源：桥梁杂志

H = wT L2 / (8 d) = wT L

T max = 1.12 H = 1.12 wT L

Tmax = 1.12 (wc +wg +whg + wLL) L = Ac σa

所以，最大可能跨度是

Lmax = σa Ac / [1.12 (wc + wg+ whg + wLL)] = σa Ac / [1.12 (1+ α) wc ] ,

Lmax = σa / [1.12 (1+ α) γ ]

其中，α = (wg+ whg + wLL) /wc；

γ = wc / Ac =主缆的比重；如果用钢，γ = 78 kN/m3；

这里L是跨度，Ac是缆的截面面积，σa是缆的允许应力，wc是缆的重量，wg是主梁重量，whg是吊杆的重量，wLL是活载。在超大跨度桥梁，活载的比重很小，吊杆的重量会因跨度的增加而稍微增加，但还是一个很小的重量。由于主缆的重量随跨度的增加而增大，α的数值会随着大桥跨度的增加而减小。在10000米的跨度，α大概会小于0.20。

限制最大可能跨度的是主缆的允许应力——σa。允许应力主要由两个数值确定：主缆的极限强度——σu, 和要求的安全系数——φ：σa = σu/φ

如果用目前市面上提供的最高强钢丝，极限强度是1960MPa，假设安全系数用1.8，得出允许应力为σa =1089MPa。

如果我们假设L=10000m，上面的方程可得出α≤0.246。如果我们假α=0.1，Lmax=11332m

在这个计算中，我们做了几个假设：

1.矢跨比等于1/8：一般悬索桥的矢跨比是在1/12到1/8之间。较小的矢跨比得出的最大跨度会小一些。既然我们要求的是最大允许跨度,假设比较大的矢跨比是恰当的。

2.允许应力和安全系数：已经建成的悬索桥，主缆的安全系数通常是2.2到3.0。这些比较高的安全系数主要是从悬索桥初期沿用下来的。当时对钢丝的质量控制还不够严格，锚头的质量也不完善。目前这些方面已经有很成功的规范，所以，安全系数应该可以降低到与其他钢结构相似。而且，在超大跨度悬索桥，缆的应力基本由恒载引起，没有疲劳问题。所以，主缆的安全系数应该可以降低到1.80。这个观点和目前部分斜拉梁桥（ExtradosedBridge,或称矮塔斜拉桥）的缆索设计原理一样。当然，索鞍、索夹等零件的设计就会比较严格。

3.α的值：一座悬索桥的主梁的一次、二次恒载和活载都是固定的，不随跨度的增减变动，显然跨度愈大，α的值就会相对愈小。α=0.2的意思就是说主缆的重量是其他重量总和的4倍。在可能的跨度范围内，α的值对大桥的经济效益有一定的影响。α的数值愈小，主缆的截面面积就要愈大，大桥就愈不经济。

4.极限强度：1960MPa的钢丝是目前可以应用在这样一座大桥的最高强度。更高强度的钢丝在最近的将来应该会成为可能。所以，更大跨度的悬索桥将来是可能的。但目前还没有供应。近年碳纤维在许多桥梁上的应用渐趋成熟，用碳纤维作为主缆材料看来似乎很合理。但是，所有高强纤维都是单向的结构元素，只能承受拉应力。悬索桥的主缆在锚头、索夹、索鞍等部位都存在三维的应力，是碳纤维还无法承受的应力状态。所以，碳纤维目前还不能应用在悬索桥的主缆上。

如果把安全系数或者把钢丝极限强度改变，允许应力就不一样，计算得出的可能最大跨度就会有变更。如果主缆钢丝的强度能继续增高，更大的跨度就变成可能。但大致可以说，目前，10000米超大跨度的悬索桥在考虑应力的条件下是可能的。

     

地震

   

地震是由于地基的岩层震动引起的。地基可以有不同方向的震动，但地震波的震幅是有限的。图2是美国旧金山海湾地区设计用的地震波之一。图2a是地基的加速度记录，图2b是由此引起的地基的位移。通常地基在地震后大致上会回归到地震前的位置。如果大桥能够允许地震过程引起的位移，地震对大桥的影响就会很小。

图源：桥梁杂志

大跨度桥梁比较柔软，能容许地基较大的变形。所以，地震在超大跨度悬索桥设计中不是重点问题。

     

船撞

   

超大跨度的大桥，桥墩大概会在航道附近。所以必须考虑船撞上桥墩的问题。

一般来说， 桥的跨度愈大， 桥墩的刚度也愈大，4000～5000米以上跨度的大桥，它的桥墩会很大，本身就有足够的能力抵抗船舶的撞击。当然，现在的设计理念，一般不希望发生船与桥墩的刚性撞击，以避免漏油污染的危险。虽然大桥桥墩有足够的能力承受船舶的撞击，还是应该在桥墩附近加上柔性的防撞措施，减小对船舶的损坏，避免污染的可能。

船撞设计不影响大桥最大跨度的考虑。

     

横向刚度问题

   

悬索桥的大缆在垂直方向为主梁提供了支承，但由于吊杆基本上都是垂直的，主缆在横向不能对主梁提供需要的支承。所以，主梁在横向基本上是一座梁桥。必须具有适当的刚度，来抵受横向风力。通常，如果梁的宽度不小于跨度的1/60，应该不会有问题。但对于超大跨度悬索桥，这样的比例不经济。因为主梁加宽了，它的自重也跟着增大，使经济效率降低。所以，主梁的宽度应该根据实际需要确定。这个问题在下节讨论风荷载时再予讨论。

     

风力

   

风是超大跨度桥梁设计最重要的项目。通常，风的设计分为两类：静风风力和风的动力作用。

1. 静风。

当静风吹在大桥上，会对主梁产生三组不同的力：垂直力、横向力和扭转力矩（图3）。这些力的大小主要受风速和主梁横截面的形状影响。必须以实际比例的模型在风洞试验中求得(见R. Scanlan: Wind Effects on Structures）。它们可以写成

水平力：D = ? ρU2B CD

垂直力：L = ? ρU2B CL

扭转力矩：MD = ? ρU2B2 CM

图源：桥梁杂志

其中ρ是空气的质量，U是风速，B是主梁宽度；CD、CL和CM是风洞试验中得到的系数。

垂直静风力L在这样大的桥梁影响不显著；横向力D一般可以加宽主梁来解决，是应力的问题。但是，当跨度超过5000米时，横向风力在主梁引起的横向力矩会很大，必须慎重考虑，可能需要使用高强钢。

扭转力矩在某些横截面会引起大桥的过度倾斜甚至不稳定，必须妥善处理(见上R. Scanlan和葛耀君2014年“台湾海峡桥梁与隧道连线”会议上的报告《台湾海峡通道工程中的特大跨悬索桥需求与挑战》）。普通跨度的悬索桥的扭转强度比较高，除了极不利的主梁截面外，扭转力矩不会引起问题。但是，由于超大跨度悬索桥的扭转刚度比较弱，扭转的稳定必须重视。我们在这里简单地讨论一下。

根据上面风力的第三个方程，大桥扭转可以引起两个问题：

◆ 静风产生的扭转力矩会把大桥的主梁扭转，使桥面横向倾斜。如果大桥的扭转刚度是k，风力引起的扭转力矩是MD；桥面的扭转，或者倾斜度，就是MD/k。当这个横向倾斜度超过大桥上车辆的允许倾斜度，大桥就不能被使用了。

◆ 假设桥的扭转刚度是k，如果主梁扭转了一个角度Δθ，大桥会产生一个反力——kΔθ，把大桥稳住；在某一个风速下和一定的风的攻角下，静风可能因为这个转角的增加而增加了一个扭转风力ΔMD=1/2ρU2B2ΔCM；当静风增加的扭动风力大于大桥的反力时，ΔMD>kΔθ，主梁的扭转就会继续不断增加而失稳，由此可以得出静风下大桥失稳的临界风速。

提高大桥在静风中过度倾斜和失稳的风速有两个办法：第一个办法是设法优化主梁外形，减低静风产生的扭转，这是空气力学的课题；第二个办法是提高大桥结构的扭转刚度k，这是桥梁结构工程师的课题。我们这里只讨论第二个办法，如何提高大桥的扭转刚度。

2. 动风。

大桥在风的动力作用下，主要有三种共振的可能：涡振，颤振和抖振。每一种共震都与大桥的刚度有直接关系。涡振和抖振对超大跨度悬索桥影响不大；颤振最危险，当风速达到临界风速的时候，大桥就会失稳，导致严重的后果。

提高大桥在风动力作用下性能的办法，也和上节对付静风一样：第一个办法是优化主梁外形，减低风产生的动力；第二个办法是提高大桥结构的刚度。主梁的外形可以影响风经过大桥时空气在大桥表面和周边的分布情况，从而影响风对大桥施加的力。优化主梁的外形，提高大桥的临界风速。读者可参考项海帆院士和葛耀君老师的文献。本文我们只讨论结构的问题。

大桥的结构确定了它的振动频率。大桥失稳的临界风速与大桥的振动频率有极大的关系。在这方面，我们最要注意的是大桥结构振动频率的三个数值：大桥的垂直振频（Flexuralfrequency，fB）、扭转振频（Torsional frequency，fT）、这两个振频的比例——fT/fB。这三组数字的数值愈高，大桥临界风速也愈高。如何提高这三个数值是我们的首要任务。最后两个数值，扭转振频和两个振频的比值尤为重要。大桥受到的最危险的共振是颤振。颤振可以引起灾难性的震动，可以导致大桥的倒塌。理论上，当两个频率的比值fT/fB接近1.0的时候，就会很容易发生颤振。

从上面的讨论中大家可以看出，大桥的扭转刚度是最重要的数值。提高了扭转刚度可以直接提高静风下扭转失稳的临界风速，也可以提高大桥的扭转频率，增大了扭转振频和垂直振频的比例，从而提高颤振的临界风速。所以，如何提高一座大桥的扭转振频特别重要。

图源：桥梁杂志

如果我们从大家都熟悉的结构动力学出发，一个简单的梁的自振频率，无论是垂直振频（Flexural frequency）或者是扭转振频（Torsionalfrequency），都可以简化成：

f = (1/2π)Φ √ (k / m)

其中，k代表刚度，m代表质量，Φ是一个常数。

这个方程显示，要提高频率 f，可以减低质量 m，或者提高刚度 k。前面说过，超大跨度悬索桥主梁的质量远远小于主缆的质量，主梁质量不会有太大优化的空间，所以提高刚度k 是比较实际的方向。当然，一座超大跨度的悬索桥要比这样一个自由度的结构复杂很多，但基本原理是一样的，所以，我们思路的方向可以从这里着手。

一座常规悬索桥的基本结构由一个主梁和两条主缆构成（图4）。所以，它的刚度就等于主梁刚度和主缆刚度的总和，

K总和 = K主梁 + K主缆

在一座超大跨度悬索桥，主梁的刚度在总刚度中仅占很小的份额，有时可以忽略不计。主缆是提供大桥刚度的主要结构，这样，大桥的刚度可以简单地说是直接与主缆的横截面面积成正比。但是，当我们把主缆的截面增大时，我们也同时增大了主缆的重量。从上面的方程可以看出，振频是与√(k/m) 成正比的，增大了主缆的截面和重量，√(k/m) 的值仍然不变，所以大桥的振频也不变。

如果我们从弦的振频程式出发，就更容易了解。弦的振动与悬索桥的主缆相似。唯一不同的是主缆有垂度，弦是假设为直的。但它们的情况还是很相似。弦的频率可以下列程式计算,[6],

T = 4mL2 f2 / n - EI (π)2/L2

其中：T是弦的拉力，m是弦的质量，L是弦的长度（跨度），EI是弦的弯曲刚度，n 是振模的阶数。在这里，因为主梁和主缆是由吊杆连起来的，EI也可以说是大桥主梁的弯曲刚度。在超大跨度悬索桥，如果忽略主梁的刚度和重量，只考虑一阶频率，上面方程就可以简化成

T = 4mL2 f2 ；f = √ ( T / 4m L2)

代入 T = σa Ac , m = wc /g= Ac γ / g ，

g = 9.8 m/s2

得到 f = (1 / L ) √ ( σa g / 4 γ )

从这个方程可以看出，因为σa,g和γ都不变，如果主梁的刚度和重量可以忽略的话，一座超大跨度悬索桥的垂直频率只随桥的跨度的倒数变动。那就是说，一座10000米跨度的悬索桥，它的一阶垂直振频会大约是一座5000米悬索桥的一半，与主缆的刚度无关。所以，我们不可能用增大主缆的面积来提高大桥的垂直振频。

当主梁的扭转刚度可以忽略时，Pugsley给出大桥的扭转频率大约是：

fT= fB √ {(wg+wc) / [(4 λ2/B2) wg + wc]}

其中λ是主梁的转动半径。当大桥跨度增大时，wg/wc的比例就愈小，fT就愈接近fB。在wg可以完全忽略情况下，fT=fB。可以说，大桥的扭转刚度就等于主缆的垂直刚度乘以两根主缆的距离。所以，在超大跨度悬索桥，扭转振频也如垂直振频一样，只与大桥跨度成反比。那结论就是：如果不改变大桥的结构形式，就无从提高大桥的振频。也就不可能提高大桥的临界风速。

     

增加大桥频率的构思

   

当大桥进入超大跨度的范围，提高大桥的振频，尤其是抗扭振频，是一个很重要的设计要求。

图5是提高大桥扭转刚度的一个建议：把两个主缆合成一个单独的主缆，把吊杆造成网状。这个变更把主缆、吊杆和主梁联合起来，形成一个闭口三角箱形结构。网状吊杆等于是一个桁架。

一个闭口三角箱梁(图6)，是很稳定和扭转刚度很高的结构。它的扭转惯量Id，等于

Id = 4 A2 / [ Σ(si / ti) ]

图源：桥梁杂志

其中A是三角形的面积，s和t是每边的长度和厚度。要应用上面的公式，可以先把吊杆网理想化成为等刚度的平板，得出它的代表厚度t。由于一般吊杆的截面面积很小，为了达到提高扭转刚度的目的，网状吊杆的截面面积必须依需要增大，尤其是在跨中部分。吊杆的重量只是大桥总重量的一小部分，增加吊杆面积好几倍仍然是个很微小的重量，对大桥的经济效率影响不大。

这样的改变使大桥的扭转刚度除主梁的刚度和主缆的刚度外，还加上了整体结构的刚度：K总和= K主梁 + K主缆 + K整体

这个构思，基本上利用同样的材料，只改变了结构的形式，却增加了大桥的扭转刚度，从而使更大跨度的悬索桥变为可能。

当然，每座桥的环境不一样，在一些地点设计风速可能很高，这样横向风力就可能很大，大桥的刚度可能要进一步提高。图7是提高抵抗横向静风的几个建议。它们基本上和上面的构思一样，利用三角形结构的优势，提高大桥的刚度。

图源：桥梁杂志

     

梦想与现实

   

根据上面的推论，利用我们现有的材料，理论上完全可以设计10000米跨度的悬索桥。可以说，我们在技术上这是可行的。但可行并不等于适当。目前，要建造一座10000米跨度的悬索桥，技术不是问题，问题是经济。在经济上我们还负担不起这样一座大桥，因为经济效益不合理。作为工程师，不合理的工程我们不应该做。

但是，社会在不停进化，世界上大概没有永远不可能的事情。许多一百年前大家认为不可能的梦想大桥，像南浦大桥、杭州湾大桥、苏通大桥等，今天都已经完成了。