1．朗肯土压力理论的假设

1857年英国学者朗肯（Rankine）研究了土体在自重作用下发生平面应变时达到极限平衡的应力状态，建立了计算土压力的理论。由于其概念明确，方法简便，至今仍被广泛应用。

朗肯理论的基本假设：

（1）墙本身是刚性的，不考虑墙身的变形。

（2）墙后填土延伸到无限远处，填土表面水平。

（3）墙背垂直光滑，墙后土体达到极限平衡状态时所产生的两组破裂面不受墙身的影响。

（4）土体为均质各向同性体。

 

2．极限状态

（1）主动朗肯状态

如上图所示，在墙后土体中深度Z处任取一单元体，当挡土墙静止不动时，则两个主应力分别为：

(因为已假设墙背是光滑的、直立的，所以在单元上不存在剪应力。)

该应力状态仅由填土的自重产生，故此时土体处于弹性状态，其相应的莫尔圆如下图所示的圆Ⅰ，一定处于填土抗剪强度曲线之下。

当挡土墙离开填土向前发生微小的转动或位移时，σ₁=σ_z=γz不变，而σ₃=σ_x却不断减少，相应的莫尔圆也在逐步扩大。当位移量达到一定值时，σ₃减少到σ_3f，由σ_3f与σ₁=γz构成的应力圆与抗剪强度曲线相切，如图Ⅱ所示，称为主动极限应力圆。此时，土中各点均处于极限平衡状态，达到最小的小主应力σ_3f称为朗肯主动土压力p_a。与此同时，土体中存在过墙踵的滑动面（剪切破坏面），滑动面与大主应力作用平面（水平面）的夹角为45^o+φ/2。

 
 （2）被动朗肯状态

当挡土墙在外力作用下推向土体时，σ_x不断增加，直至超过σ_z而变成大主应力，而σ_z=γz变为小主应力，且始终保持不变。当σ_x增大到σ_1f时，由σ_1f和σ_z=γz构成的应力圆与抗剪强度曲线相切，如图Ⅱ所示，称为被动极限应力圆。此时，土体处于被动极限平衡状态，称为被动朗肯状态。最大值σ_1f称为朗肯被动土压力p_p，此时土体中存在过墙踵的滑动面，与大主应力作用面（竖直面）的夹角为45^o+φ/2，则与水平面的夹角为45^o-φ/2。

3.朗肯主动土压力计算公式 

以前，我们推出土的极限平衡条件为：

（1）无粘性土的主动土压力

对于无粘性土，C=0，则主动土压力强度

主动土压力强度与深度成正比，沿墙高呈三角形分布，如图所示。

（2）粘性土的主动土压力

对于粘性土，，则主动土压力为：

4.朗肯被动土压力计算公式

当挡土墙在外力作用下推向土体，并达到极限平衡状态时，称为被动朗肯状态。此时，被动土压力强度p_p是大主应力，而σ_z=γz是小主应力，则根据极限平衡条件有：

（1）无粘性土的被动土压力

对于无粘性土，C=0，则被动土压力强度为：

被动土压力强度与Z成正比，沿墙高呈三角形分布，如图所示。

（2）粘性土被动土压力的计算

对于粘性土，则被动土压力强度为：

由两部分叠加而成，如图所示，则单位长上的被动土压力为：

5.几种情况下朗肯土压力计算

（1）填土面有超载

当填土面有均布荷载作用时，如图所示。通常将均布荷载换算成当量土重，即用假想的土重代替均布荷载，则当量土层厚度为：

①主动土压力的计算

主动土压力强度为：

由三部分组成，分两种情况：

（a）第一种情况，

（b）第二种情况，

②被动土压力的计算

被动土压力强度为：

由三部分组成，如下图所示，呈梯形分布。

则单位墙长的被动土压力为：

其作用方向垂直于墙背，作用点通过梯形的形心。

（2）成层填土时

若墙背直立，光滑，墙后填土面水平，则可采用郎肯土压力理论，图为多层土的情况，其重度，粘聚力C和内摩擦角各不相同。

 

①主动土压力的计算

（a）第一层

（b）第二层

（c）第三层

有了主动土压力的分布图形，可通过求图形的面积和形心的方法来求主动土压力的大小及作用点（作用方向垂直墙背）。

②被动土压力的计算

（a）第一层

（b）第二层

（c）第三层

有了被动土压力分布曲线，可通过求图形面积和形心的方法来求被动土压力的大小及作用点。  

 

（3）墙后填土中有地下水时

①水土分算法

②水土合算法

水土合算是指地下水位以下取饱和重度γ_sat和总应力强度指标c、φ来计算总的水土压力，水压力不再单独计算。

对于砂土和粉土，一般采用水土分算法；对于粘性土，可采用水土分算法，也可采用水土合算法。

 

（4）填土表面倾斜时土压力计算

当填土表面与水平面夹角β≠0时，如果假设土压力作用方向与填土倾斜表面平行，则也符合朗肯土压力条件，应用朗肯理论和莫尔应力圆可导出土压力计算公式，又称为应力圆法，其无粘性土主动、被动土压力强度计算公式如下：

总主动、被动土压力计算公式为：

显然当β＝0时，结果与前述朗肯公式相同。

以上介绍的朗肯土压力理论应用弹性半无限土体的应力状态，根据土的极限平衡理论推导并计算土压力。其概念明确，计算公式简便。但由于假定墙背垂直、光滑、填土表面水平，使计算条件和适用范围受到限制。应用朗肯理论计算土压力，其结果主动土压力值偏大，被动土压力值偏小，因而是偏于安全的。

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知识点：朗肯土压力理论