序  言

在世界范围内，大跨度桥梁的修建越来越多（图1），而大跨度桥梁由于其结构的纤柔，几何非线性效应较为明显，因而在设计与研究工作中，桥梁结构几何非线性分析也会越来越多地得到应用。在本系列文章说桥（10）中曾简要地介绍了桥梁几何非线性的概念和原理，但由于该问题的复杂性，本文想再稍微深入一点解释其中的一些概念和方法。当然解释的方式还是秉承本系列文章的一贯风格，即尽量简单、通俗、易懂。

墨西拿大桥方案(主跨3300m悬索桥) 

苏通大桥(主跨1088m斜拉桥)

图1 纤柔的大跨度桥梁结构（图片引自互联网）

几何非线性问题的描述方法

在读有关几何非线性的文献时，常常看到“拉格朗日描述”和 “欧拉描述”这样的提法，有些教科书里直接采用数学表达式来对此进行介绍，理解起来似乎要花一点力气才行。在这里我想先从概念上来解释这个问题，然后再给出数学表达式。

在进行几何非线性分析时，要对分析的对象进行数学描述，该对象可以是固体（如桥梁结构）或者流体（如空气或水），这些固体或流体可以看作由众多的质点构成。由于考虑几何非线性效应，因此分析时必须考虑由于固体或流体的运动（位移）而引起的其形状、尺度及位置的变化，并且这种变化历程显然与时间有关。也就是说，在分析中，构成固体或流体的质点由于处在运动中，因此其位置不仅是空间坐标的函数，而且还是时间的函数。这就要求我们在对分析对象进行数学描述时，要能够描述固体或流体的任一质点M在任一时刻t运动到了空间的什么位置x。注意，这里有三个要素需要通过数学方法来表达，即质点M的表达、时间t的表达以及空间位置x的表达。其中时间t比较好办，就用一个时间变量t表达即可。而质点M和位置x可以用空间坐标表达，并且最好用两套固定坐标系分别表达(图2)，一套固定坐标系X(X₁,X₂,X₃)用于表达固体或流体的任一质点M在t=0时刻的位置，即初始位置M=M(X_J,J=1,2,3)，用以区分固体或流体的不同质点，并称该坐标系为物质坐标系或者拉格朗日坐标系。另一套固定坐标系x(x₁,x₂,x₃)用于表达空间中的任一位置x，即x=(x_i,i=1,2,3)，用以区分空间中不同的位置，并称该坐标系为空间坐标系或欧拉坐标系。为了方便，一般可取两套坐标系完全重合（如图2所示），但要注意它们各自所表达的内容是不同的，一个表达物体的质点（有物质），一个表达空间中的位置（与有无物质无关，此处的空间指牛顿力学中“绝对空间”）。

在描述质点运动时，如果认为质点M=M(X_J,J=1,2,3)在t时刻运动到了x=(x_i,i=1,2,3)位置，即采用如下（张量形式）的数学描述：

x_i=x_i(X_J,t),i,J=1,2,3             (1)

则由于是以拉格朗日坐标X_J作为自变量，所以叫作拉格朗日描述。

如果换个角度来看问题，认为在t时刻，占据空间位置x=(x_i,i=1,2,3)的是质点M=M(X_J,J=1,2,3)，即采用如下数学描述：

X_I=X_I(x_j,t),I,j=1,2,3                 (2)

则由于是以欧拉坐标x_j作为自变量，所以叫作欧拉描述。

显然，在理论上，上述两种描述是等价的并且可以相互变换的，任何一种描述都可以用来分析几何非线性问题，只不过对于不同的问题采用不同的描述其方便程度不同而已。一般对于固体力学问题，采用拉格朗日描述较为方便，而对于流体力学问题，采用欧拉描述要方便一些。

图2 拉格朗日坐标与欧拉坐标

初始构形、参考构形及现时构形

上面的叙述中，为了便于说明，假定拉格朗日坐标描述t=0时刻的物质质点。实际上，拉格朗日坐标不一定只用来描述t=0时刻的物质质点，它可以用来描述t时刻以前的任一时刻的质点。这涉及到另外三个名词的定义，即初始构形、参考构形及现时构形。

如上所述，分析几何非线性问题时，把分析的对象（固体或流体）看作众多质点的集合，它们要占据空间中的区域，该区域被称之为构形。由于这些质点处于运动之中，因此在不同的时刻，分析的对象所占据的空间区域或者说其构形是不同的。初始构形是指分析的对象在t=0时刻所占据的空间区域，用Ω₀表示；现时构形是分析的对象在当前时刻t所占据的区域，用ω表示；而参考构形是指分析的对象在t时刻以前的某一时刻所占据的区域（当然也包括t=0时刻的初始构形），用Ω表示。参考构形用来作为分析现时构形的参考，也因此而得名。拉格朗日坐标是用来描述参考构形的。图2中示出了参考构形和现时构形的关系，其中矢量X为质点M的参考坐标，矢量x为质点M的现时位置坐标，矢量u为质点M的位移。

非线性方程及其求解方法

采用有限元法进行桥梁结构分析时，若考虑几何非线性因素，则得到的结构方程组是非线性的，这种非线性是因为几何方程为非线性方程所导致的。

求解非线性方程组一般采用线性化方法，即把求解过程分解为许多步骤来进行，在每一步骤中，把非线性方程组当作线性方程组进行计算。这种分解可以是分为许多迭代步骤，每一迭代步按线性计算（称为迭代法，包括牛顿-拉普森法，修正牛顿-拉普森法，拟牛顿-拉普森法等）；也可以是把求解的荷载或位移分为许多增量步，每一增量步按线性计算（称为增量法，包括欧拉-柯西法，修正欧拉-柯西法，半增量法等）；也可以迭代法与增量法混合使用（称为混合法，包括欧拉-牛顿法，欧拉-修正牛顿法，欧拉-拟牛顿法，欧拉一次迭代法等）。混合法是在增量法的每一增量步内再进行迭代，是目前使用比较多的方法。

分步计算时，在某计算步（迭代步或增量步）内，非线性的单元增量刚度方程为如下形式

其中：

[k_o]^e是单元线弹性刚度矩阵。

[k_σ]^e是初应力刚度矩阵或称几何刚度矩阵，它与本计算步的单元位移增量{Δu}^e无关，在本计算步内是线性的。但它与本计算步的初应力有关，即与之前的位移增量可能相关。

式中[B_N]和[B_N^*]为非线性几何矩阵，与单元位移增量{Δu}^e有关，因此[k_l]^e在本计算步内是非线性的，称为单元大位移刚度矩阵。

{p}^e为单元节点力，{r}^e为单元初应力节点力，与本计算步的初应力有关，即与之前的位移增量可能相关。

从方程（3）可以看出，由于[k_l]^e为非线性刚度矩阵，所以直接求解方程（3）单元刚度方程所组集而成的总体刚度方程比较困难。而由上面可知，目前求解非线性方程组一般采用线性化方法，所以，在实际求解非线性有限元方程组时，在每一迭代步和增量步内，不考虑大位移刚度矩阵[k_l]^e，因而使得每一步计算都是线性的。但由于每一步计算之后，会更新（不同的方法可能不完全相同）结构的构形、线性刚度矩阵、几何刚度矩阵以及初应力节点力向量，因此，整个求解过程还是非线性的，从而可以得到正确的非线性解。 

非线性有限元的T.L法与U.L法

如上所述，对于桥梁结构等固体力学几何非线性问题，采用拉格朗日描述比较方便，即采用与参考构形相关的拉格朗日坐标X_J为自变量。在用有限元法分步求解该问题时，例如采用混合法求解时，如果采用初始构形作为参考构形，则称为全拉格朗日法（Total Lagrange），简称T.L法。如果采用现时构形的前一个相邻的构形（即t-Δt时刻）作为参考构形，则称为修正的拉格朗日法（Updated Lagrange），简称U.L法。

以上简要介绍了桥梁结构几何非线性分析中用到的一些概念和方法，希望能够对读者有所帮助，更多有关非线性有限元的知识请参考相关文献。