1. 概  述

本文秉承本系列文章的一贯风格，用比较浅显的方式来说明桥梁结构的几何非线性特性，而尽量避免严格而复杂的理论推导，旨在给读者一个直观的概念。至于具体的非线性分析方法，有大量的教科书和参考书可以学习，此处不作详细介绍。

2.非线性是个啥？

提起非线性，不少人觉得很陌生、很不好学习掌握。其实，一点儿也不陌生，我们在中小学数学里就接触过了。 f(x)=ax+b是线性函数，f(x)=ax²+bx+c就是非线性函数了。也就是说，只要函数与自变量之间不是线性（一次）关系，就称为非线性函数。一次方程（如二元一次方程）就是线性方程，二次及以上方程（如一元二次方程）就是非线性方程。

回到桥梁与结构工程中来。在我们学过的力学课程中，基于小变形、小位移和线弹性假设得到控制方程中，内力、外力及位移之间的关系式是线性函数，所以就称为线性问题。例如，大家熟悉的悬臂梁(图1)，在自由端有一个垂直于梁轴线作用的横向力P1和沿着轴线方向作用的轴向力P2，由材料力学可知，任意横截面处的内力和挠度表达式为

弯矩：                                                       

剪力：                                                       

轴力：                                                      

挠度：                                                        

图1 悬臂梁（线性分析）

图2 悬臂梁（非线性分析）

内力与外力之间或位移与外力之间为线性关系（一次函数关系），所以就称为线性问题。注意，上面公式的推导过程中忽略了由于梁受弯，从原来的直线形杆（图1中实线）变成了曲线形杆（图1中虚线）这个几何形状的改变，即从始至终都是按照直杆来计算内力和位移，P1和P2始终作用在B点且方向不随杆件的变形而变化。如果我们考虑由于弯曲使得直杆变为曲杆(图2)，则容易看出，在变形过程中，P1和P2是作用在曲杆的端部B’点处，并且该点位置随着杆件的变形而变化。如果P1和P2的作用方向保持不变，则任意横截面的内力表达式为

               （6）

弯矩表达式右边多了个第二项，这是由于杆件发生了弯曲变形，使P2作用线与任意横截面形心之间产生了距离[vB-v(z)]，从而引起了附加弯矩-P2[vB-v(z)]。剪力和轴力表达式右边也都多了一项，这是由于任意横截面处的杆轴和横截面本身由于变形发生了转角a(z) =arctan[dv(z)/dz]=arctan[v’(z)]，竖向力P1和P2不再垂直或平行于杆轴，因此剪力等于P1和P2在轴线的法线方向（剪力方向）的分量之和，轴力等于P1和P2在轴线的切线方向（轴力方向）上的分量之和。例如轴力为P1sin[a(z)] -P2 cos[a(z)]，小变形情况下，a(z) = v’(z)， sin[v’(z)]近似等于v’(z)，cos[v’(z)]近似等于1，由此可得到式（6）和式（7）。式（5）~（7）右边都包含了挠度v(z)或其导函数与外力的乘积项，而由式（4）可知，即使按直杆计算时，v(z)也是P1的函数，在按曲杆计算时，它还同时是P2的函数（因P2也引起弯矩）。所以此时的内力跟外力之间不再是线性函数关系，而是非线性函数关系了，这就是结构的非线性问题。这种非线性关系是由于考虑结构发生变形而改变了结构几何构形引起的，所以称为几何非线性。假如在计算应力时，考虑应力可以超过弹性极限而进入屈服甚至强化阶段，那么应力-应变关系就不能用线性的虎克定律描述，而是非线性关系了。此时的非线性是由于材料特性的非线性引起的，所以称为材料非线性。限于篇幅，本文仅讨论几何非线性问题。

假如在结构受力变形过程中，外力P1和P2方向也随着结构一起转动（非保守力），即这两个外力不但作用点随着B’变动，其作用方向也同时跟着变化（图3），P1始终垂直于杆轴切线方向，P2则平行于杆轴切线方向。显然，在这种情况下，内力表达式又会不同于式（5）~（7）。

图3 外力为非保守力

瞧！非线性概念是如此简单，不陌生也不神秘，很容易理解。当然，这里仅仅是指概念，具体的结构非线性问题及其求解方法还是非常复杂的。

3．桥梁结构几何非线性

有了上面的基本概念，现在就可以分析一下桥梁结构中都需要考虑哪些几何非线性因素了。由上可见，对于刚度较大的桥梁结构，其变形较小，因而几何非线性的影响也较小，一般按线性计算不会引起大的误差。但当结构比较柔时，比如悬索桥、大跨度斜拉桥、大跨度拱桥等，几何非线性的影响就不能忽视。对其中的悬索桥由于柔度非常大，如果不考虑几何非线性影响，就会得出完全错误的结果。

从工程结构角度，一般把几何非线性因素分为P-Δ效应、大位移效应和缆索垂度效应。实际上还有其他几何非线性效应，如大应变效应等等，但在桥梁结构弹性分析中遇到的概率很小，一般不考虑。

如图4所示，所谓缆索垂度效应，是指一根柔性的缆索支承在A、B两点，由于自重q的所用，缆索产生垂度f（下挠）而成为曲线形状，该曲线的方程与自重q和张力TA、TB的大小相关，反过来TA、TB的大小又跟曲线方程相关，因而缆索的张力TA、TB与A、B点的相对位移之间呈非线性关系。

图4 缆索垂度效应

图5 大位移效应

至于P-Δ效应，就是前面悬臂梁例子中轴向力引起梁的附加弯矩（当然也会引起附加挠度）效应，如高的桥墩、高的桥塔、承受巨大轴力的大跨度斜拉桥主梁、大跨度拱桥的拱肋和立柱等都有这种效应。

而大位移效应包含大的平动位移和转动位移，前面悬臂梁例子中，式（6）和（7）考虑由于变形使截面转动而引起的轴力和剪力增量就是大位移效应的一种，当然在那里，仍然采用了小变形假设。如果位移比较大了，那么转角a就不能再用挠度的导函数v’表达，因为这时角度的正弦和正切不能再近似等于角度本身，余弦也不再近似为1，截面的曲率也不能用挠度的二阶导函数v”表达；同时除了考虑梁的挠度引起的附加弯矩外，还要考虑由于变形，使得梁的长度和方位也发生了变化（图5）。这些都将引起结构几何非线性效应。

广义地说，大位移效应应该包括P-Δ效应和垂度效应，但由于在工程结构计算时，特别是采用有限元法计算时，可以按照不同的具体方法来考虑P-Δ效应、垂度效应以及其余的大位移效应，比如采用专门的缆索单元（如对于悬索桥主缆）或者用等效弹性模量法（如斜拉桥的斜拉索）模拟垂度效应，采用几何刚度矩阵模拟单元的P-Δ效应，采用随动坐标模拟结构的大位移效应等，所以才会把P-Δ效应和垂度效应从大位移效应中剥离出来。实际上完全可以把一根缆索分为许多短的杆单元，然后通过随动坐标方法来模拟垂度效应；也完全可以把梁柱单元划分的很小，也通过随动坐标方法来模拟P-Δ效应，只不过这样做会增加计算量，且输出结果也不太方便应用于工程设计而已。这里的随动坐标法也只是求解非线性问题的内容之一，严格的理论描述并非如此简单。

4．结  语

上面简要介绍了几何非线性的基本概念和在桥梁结构分析中的几何非线性因素，整个过程并不是严谨的理论推导，而是粗略地提出并解释问题，希望对不太熟悉桥梁结构几何非线性的读者有所启示。