工程结构可靠度分析方法的综述

均值一次二阶矩法早期结构体系可靠度分析中，假设线性化点x就是均值点m,而由此得线性化的极限状态方程,在随机变量X(i=1,2,…,n)统计独立的条件下,直接获得功能函数z的均值mZ及标准差σZ,由此再由可靠指标β的定义求取β=mZ/σZ。该方法对于非线性功能函数,因略去二阶及更高阶项,误差将随着线性化点到失效边界距离的增大而增大,而均值法中所选用的线性化点(均值点)一般在可靠区而不在失效边界上,误差较大。改进一次二阶矩法针对均值一次二阶矩法的上述问题，人们把线性化点选在失效边界上，且选在与结构最大可能失效概率对应的设计验算点上，以克服均值一次二阶矩法存在的问题，提出了改进的一次二阶矩法。该方法无疑优于均值一次二阶矩法，为工程实际可靠度计算中求解β的基础。但该方法只是在随机变量统计独立、正态分布和线性极限状态方程才是精确的，否则只能得到近似的结果。
JC法针对工程结构各随机变量的非正态性，拉克维茨提出了JC法。其基本原理是将非正态的变量当量正态化，替代的正态分布函数要求在设计验算点处的累积概率分布函数(CDF)和概率密度函数(PDF)值分别和原变量的CDF值、PDF值相等。当量正态化后，采用改进一次二阶矩法的计算原理求解结构可靠度指标。几何法用JC法计算时，迭代次数较多，而且当极限状态方程为高次非线性时，其误差较大，为此人们提出了几何法。该方法仍采用迭代求解，其基本思路是先假定验算点x*将验算点值代入极限状态方程G(x*),沿着G(x)=G(x*)所表示的空间曲面在x*点处的梯度方向前进(或后退)，得到新的验算点,然后再进行迭代。几何法与一般的一次二阶矩法相比，具有迭代次数少、收敛快、精度高的优点，但其结果亦为近似解。中心点法中心点法是结构可靠度研究初期提出的一种方法。其基本思想是首先将非线性功能函数在随机变量的平均值（中心点）处作泰勒级数展开并保留至一次项，然后近似计算功能函数的平均值和标准差。中心点法的最大特点是计算简便，不需进行过多的数值计算。但也存在明显的缺陷：不能考虑随机变量的分布概型；将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合理，随机变量的平均值不一定在极限状态曲面上；对有相同力学含义但不同数学表达式的极限状态方程求得的结构可靠度不同。因此，中心点法计算的结果比较粗糙，一般常用于结构可靠度计算精度要求不高的情况。
二次二阶矩法当结构的功能函数在验算点附近的非线性化程度较高时，一次二阶矩法的计算精度就不能满足一些特别重要结构的要求了。近年来，一些学者把数学逼近中的拉普拉斯渐进法用于可靠度研究中，取得了较好的效果。从公式的表达上可以看出，二次二阶矩法的结果是在一次二阶矩法结果的基础上乘1个考虑功能函数二次非线性影响的系数，所以可以看作是对一次二阶矩法结果的修正。需要强调的是，在广义随机空间中，对于随机变量变换前后相关系数的取值依据的是变换前后的相关系数近似相等，这相当于一次二阶矩法随机变量间的一次变换，对于二次二阶矩法是否考虑随机变量间的二次变换项，以及二次变换项如何考虑是需要进一步研究的问题。

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