关于悬索桥的几何非线性的分析

　　在有限元线性分析中假设：节点位移为无限小量。当这条假设不能满足时即为几何非线性。所谓几何非线性是指结构经历了大位移和大转动而其应力应变关系仍然是弹性的。
　　索结构是以一系列受拉的索作为主要承重构件的结构形式, 通过索的轴向拉伸来抵抗外荷载作用, 可以充分发挥钢材的强度, 从而大大减轻结构的自重。因而索结构可以较为经济地跨越较大的跨度,成为大跨径桥梁的主要结构形式之一。

　　 1 悬索桥的几何非线性影响因素

　　悬索桥的承重结构主要为主缆、塔桥及锚碇构成的大缆系统，其次为加劲梁，吊索用来连接主缆和加劲梁，主缆为几何可变体系，主要靠其自重及恒载产生的初始拉力及改变几何形状来获得结构刚度，以抵抗荷载产生的变形，缆索受力呈明显的几何非线性性质，对于大跨悬索桥，通用的计算方法是以有限位移理论为基础的几何非线性有限元法。
　　从有限位移理论的角度来分析，引起悬索桥结构几何非线性的因素主要有3个：
　　第一,缆索在初始恒载作用下具有较大的初张力，使索桥维持一定的几何形状。当作用外荷载时，索梁发生变形，初张力对后续状态的变形存在抗力，这种来自恒载自重的刚度称为重力刚度。
　　第二,由于悬索桥主梁和缆索相对纤细，引起整个结构在外荷载作用下产生较大变形。在进行结构分析时，力的平衡方程应根据变形后结构的实际几何位置来建立，力与位移的关系是非线性的。
　　第三，缆索在自重作用下具有一定垂度，垂度大小与张力成反比。若用两力杆模拟缆索单元时，应计入垂度的非线性影响。
　　在结构分析时, 任何微小的应变都可能会引起索单元较大的内力和位移， 大变形的发生改变了单元的形状, 最终导致了单元刚度的改变，但这种特性是有利于结构受力的，因为发生的几何大变位可使结构自动调整内力分布, 从而改善结构的受力状态。提高结构的承载能力。同时, 结构的面外刚度可能受到结构中面内应力状态的严重影响。

　　 2 大跨度桥梁的几何非线性静力问题

　　随着桥梁跨度的增大，使得结构越来越柔，几何非线性特性越来越显著。
　　桥梁的几何非线性源于3个方面：①斜缆垂度效应；②梁－柱效应；③大变形效应。
　　普通的结构计算位移和内力时并不需要考虑自重的影响，但是对于悬索桥，恒载作用下，在索中产生巨大的拉力，对结构的整体刚度影响较大，从而对结构的位移，内力有影响，解决方法是：在刚度矩阵中考虑几何刚度项。关于缆索的垂度效应，它也是一种大变形效应。

　　 3 几何非线性有限元方法

　　几何非线性的主要特点是构形（结构的几何形状）在变形前后的变化很大。基于初始构形建立的刚度矩阵[K]随着构形的变化也是变化的，即[K]是几何变形的函数，平衡方程为：

　　式中：{F}为外荷载，δ为结构在外荷载下的变形，[K(δ)]为与结构变形有关的刚度矩阵。
　　在几何非线性问题中，结构的刚度除了与材料及初始构形有关外，与受载后的应力、位移状态也有关。
　　几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理论和大位移大应变理论即有限应变理论两种。
　　在大跨度桥梁结构分析中，几何非线性问题常采用以笛卡尔坐标表示的有限位移理论，在选取参照系坐标系时，一般有两种方式：一是以结构已知状态作为参照系，称为拉格朗日（Lagrangian）坐标系，与这种坐标相应的描述方法称为拉格朗日列式法。二是以运动终态（未知）作为参照系，称为欧拉（Eulerian）坐标系，与这种坐标相应的描述方法称为欧拉列式法。
在固体力学非线性分析中，一般采用拉格朗日坐标。拉格朗日列式法又可细分为两类：一类是以初始时（t=t0时刻）的物体位形为度量基准的全拉格朗日列式法，简称T.L法；一类是以最后的一个已知的平衡位形（t=ti时刻）为度量基准的修正的拉格朗日列式法，简称U.L法。

　　4 几何非线性方程组的解法

　　对于几何非线性问题, 平衡条件必须建立在预先未知的变形后的几何位置上, 因此, 通常需要通过迭代过程来求解。
　　迭代法是将整个外荷载一次性加到结构上，节点位移用结构变形前的切线刚度求得，迭代过程的实质是用多次反复线性分析来逐步逼近正确解。由于力和位移关系的非线性，由此时的位移求出的力与原外荷载有一差值，即不平衡力，将不平衡力作为节点荷载作用于结构，修正节点位移，通过反复这一迭代过程，直至不平衡力小于某一允许值为止，迭代法主要有Newton-Raphson法，拟N-R法，修正的N-R法。
　　增量法是指荷载以增量的形式逐级加到结构上，在每个增量荷载作用过程中，假定结构为线性反应，求得的位移增量最后累加。增量法由于每一级荷载作用下都未得到精确的解答，随着增量过程的继续，将会产生“漂移”现象，误差越来越大，这一“漂移”现象并不因荷载的细分而有明显的改善。为提高计算精度，提出一种改进的增量法——自修正增量法，它将不平衡力作为一种修正荷载并入下一级荷载增量。这一改进，克服了“漂移”现象。
　　混合法是一种将增量法和迭代法相结合的方法。它在每个增量步内都采用迭代法，使得每个步长内都达到精确解。这种方法要求迭代次数很多，因此计算量特别大。目前最有效的方法是：结合自修正增量法和迭代法，即首先采用自修正增量法，在最后一级外荷载作用过程中使用Newton-Raphson迭代法，这样计算量大大减少，同时精度并未降低。

　　5 几何非线性分析的基本原理

　　应用虚功原理建立非线性方程时的拉格朗日列式法分为全拉格朗日式法与更改的拉格朗日列式法两种[5]。 全拉格朗日列式法推导的几何非线性方程为：
　　( [K 0]+ [Kσ]+ [Kδ]) *{δ}= [K T ]*{δ}= {R }， (1)
　　式中, [K T ], [K 0 ], [Kσ]及[Kδ]分别为切线刚度矩阵、弹性刚度矩阵、几何刚度矩阵及大位移刚度矩阵。更改的拉格朗日列式法导出的几何非线性方程为：
　　　( [K 0 ]t+ [Kσ]t)*{δ}= [K T ]*{δ}= {R }， (2)
　　式中[K 0 ]t 及[Kσ]t 分别为t 时刻的弹性刚度矩阵及几何刚度矩阵。
　　更改的拉格朗日列式法与全格拉朗日列式法相似, 重要区别在于没有大位移矩阵, 并且[K 0 ]及[Kσ]是在t 时刻物体域中进行积分, 而全拉格朗日列式法[K 0 ]、[Kσ]及[Kδ]是在未变形前, 即t= 0时刻物体域上进行积分, 因此, 更改的拉格朗日式法在每一增量结束时, 必须计算结构变形后新的坐标, 弹性刚度矩阵[K 0 ]及几何刚度矩阵[Kσ]建立在已变形的t 时刻结构初始状态。 工程界俗称的非线性刚度矩阵法属于全格拉朗日列式法, 而拖动坐标法则属于更改的拉格朗日列式法。悬索桥主要是靠主缆的初始拉力来获得结构刚度, 更改的拉格朗日列式法更适合于悬索桥的结构计算。

　　6 基本步骤

　　采用更改的拉格朗日列式法及Newton－Rapshon 迭代法解非线性方程的基本步骤：
　　a) 以t 时刻的初始状态, 形成t 时刻的初始切线刚度矩阵[K T ]， 荷载矩阵{R }; 解线性方程[K T ]*{δ}= {R }, 得位移{δ1}及内力{F1}, 即为位移及内力的第一次近似值。
　　b) 依据{δ1}计算结构各节点的新的整体坐标, 在新的坐标下形成弹性总刚[K 0 ]1及几何刚度矩阵[Kσ]1.
　　c) 计算新的结点力向量{F (δ1) }= [K T ]1*{δ1}.
　　d) 计算不平衡力列阵{ΔP 1}= {R }- {F (δ1) }.
　　e) 解方程[K T ]1*{Δδ1}= {ΔP }1, 求出位移增量{Δδ1}, 得到位移的第2次近似值{δ2}={δ1}+ {Δδ1}.
　　f) 检查收敛性, 若不满足, 返回步骤2) , 直至为止。