敲击-回波法中传感器影响的LTI系统理论分析

敲击-回波法中传感器影响的LTI系统理论分析
刘明贵 张 杰 柴华友
（中国科学院武汉岩土力学研究所 武汉 430071）

摘要：利用一维波动方程对理想自由桩在桩顶受冲激力作用的动态过程进行数学仿真，用有限元法程序计算出桩顶处不考虑传感器的速度响应理论时程曲线并由LTI系统卷积积分及傅里叶变换得出冲激力和速度响应的频域表示；根据LTI系统理论对考虑传感器特性的动态过程进行分析，得出速度响应的频域表示；将典型的传感器频率特性与不考虑传感器的理想自由桩的速度响应在频域进行数字合成，经傅里叶逆变换还原成含有传感器特性的速度响应时程曲线；调节冲激力脉宽，计算与同一传感器特性对应的速度响应，得出冲激力与传感器对速度响应的联合影响规律并举出实例进行验证；最后，提出一种新的变换域抑制法，使速度响应中的传感器特性影响有可能通过计算机程序来抑制。
关键词：敲击-回波法检测， 传感器特性， LTI理论， 变换域抑制法
分类号： 文献标识码： 文章编号：


1 引言
在基桩及结构物质量的无损检测技术领域，敲击-回波法是一种常用的方法。技术人员采用手锤或力棒在基桩的顶面或结构物表面的某点通过敲击产生的冲激力来激励对象的振动与波动响应，安装于桩顶面或结构物表面特定位置的速度（加速度）传感器对系统在冲激力作用下的动态响应进行传感并由数据采集系统记录，速度响应时程曲线（加速度响应可经积分变为速度响应）中含有有关被检测对象的信息，为技术人员提供分析与判断的依据[1][2]。
由于速度（加速度）传感器在敲击-回波法检测过程采集的信号里除反映了被测点的速度响应外，还总是含有传感器固有特性引起的其它成份，严重时会干扰技术人员的正确判读。因此，人们通过实测对比的方法对不同传感器的影响进行了列举和总结[3][4]，其主要成果是指明了高阻尼与低阻尼传感器所采集的动态响应之间的差别。本文所反映的工作是利用LTI系统理论对敲击-回波法中传感器特性的影响进行研究，通过有限元法数学仿真及变换域分析找出冲激力脉冲宽度与传感器特性对速度响应信号的联合影响的一般性规律，并最终提出一种传感器特性影响的变换域抑制法。
2 不考虑传感器的理想自由桩的冲激响应
2.1 一维波动方程描述
不失一般性，忽略桩周土剪弹力与阻尼力的作用，不考虑传感器特性的影响，理想自由桩在桩顶受冲激力作用的敲击-回波法检测系统如图1所示。 p(t)为冲激力，v(t)为桩顶面的速度响应，L为桩长，A为桩截面积。

图1 敲击-回波法检测
Fig 1 Testing of impact-echo method
由一维应力波传播理论，桩顶受冲激力作用的桩-土体系的动态响应可用以下波动方程描述[1]：
（1）
式中：ρ——桩材质量密度
A——桩身截面积
c——阻尼常数
　　　k——桩固土剪切弹性常数
　　　u——轴向位移
　　　t——时间
当忽略桩周土的剪弹力和阻尼力作用时，（1）式可化简为：
　 （2）
式中： 为桩身纵波波速。
由（2）式可见，图1所示敲击-回波法检测系统可用一个常系数线性偏微分方程描述[5]，因此该系统是一个线性时不变系统（LTI系统）[6][7]。
2.2 时域和变换域表述
根据LTI系统理论，图1所示的理想自由桩可用反映其固有系统特性的单位冲激响应h(t)来表示[8]，如图2所示：

图2 单位冲激响应表示
Fig 2 Descri ption by unit-shock response
对于任意冲激力p(t)，其对应的速度响应可由LTI系统卷积积分得出：
（3）
或表示为：
（4）
对（4）式两边进行傅里叶变换：
（5）
由LTI系统卷积性质得：
（6）
式中：V（ω）——速度响应的傅里叶变换
P（ω）——冲激力的傅里叶变换
H（ω）——被测系统的传递函数（频率特性）
2.3 冲激力与速度响应的时域与频域曲线
（1）冲激力
不失一般性，用以下函数表达式来对手锤或力棒敲击桩顶或结构物表面所产生的冲激力作数学模拟[9]：
（7）
式中， 、 为常数， 为脉冲宽度。
对（7）式进行傅里叶变换可得：
（8）
p(t)、P(ω)分别 为冲激力的时域、频域表达式，其对应曲线分别如图3(a)、(b)所示， 为P( )的幅频曲线。

（a）时域曲线 （b）频域曲线
图3 冲激力的时域、频域表示
Fig 3 Time and frequency domain descri ptions of shock force
（2）速度响应
将图3(a)所示的p(t)时域曲线代入根据（2）式波动方程编制的有限元法数学仿真程序进行计算，可直接得出不含传感器的理想自由桩的速度响应时程曲线（如图4）。

图4 不含传感器的速度响应时程曲线
Fig 4 Time history of velocity without transducer
图4中，第一个峰为敲击-回波法检测中桩顶被观测点速度响应的直达波成份，第二个峰为桩端处反射波成份。当桩身存在缺陷时，在两个峰之间将会出现与其对应的反射峰。
由傅里叶变换式：
（9）
可编制FFT程序[10]，将图4所示v(t)曲线代入并运算，求得其对应的幅值响应和相位响应[如图5(a)、(b)]。

(a) v(t)的幅值响应 (b)v(t)的相位响应
图5 速度响应的频域表示
Fig 5 Frequency domain descri ption of velocity
3 考虑传感器的LTI系统分析
设传感器的单位冲激响应为s(t)，则可得其频率特性为S（ω）。考虑传感器的敲击-回被法检测系统如图6所示，其系统框图如图7。

图6 考虑传感器的检测系统
Fig 6 Testing system with transducer

图7 系统框图
Fig 7 Block sketch of the system
由图7可得含传感器的速度响应：
（10）
将（6）式代入（10）可得：
（11）
写成幅指形式即得：
（12）
其中： ——不含传感器的速度幅值响应
——不含传感器的速度相位响应
——传感器幅频特性
——传感器相频特性
和 可由传感器出厂所附频率特性标定曲线直接获得（应附有耦合条件的说明）。
4 传感器特性的频域合成及傅里叶逆变换
由（10）式得：


设某传感器实际标定所得幅频特性和相频特性如图8(a)、(b)所示。

(a)幅频特性 (b)相频特性
图8 典型的传感器频率特性
Fig 8 Typical frequency characteristics of transducer
按（13）式将 与 及 和 在各次谐波频率点进行合成，可得含有传感器的系统总的速度响应 ，然后对其采用傅里叶逆变换可得：
（14）
或 （15）
由（15）式经FFT逆变换计算机程序求得的 如图9所示。

图9 考虑传感器的速度响应