桥渡设计05：洪水理论频率曲线拟合的三种元启发式算法

介绍三种元启发式算法，用于拟合基于皮尔逊Ⅲ型分布的洪水理论频率曲线，以推算指定频率的设计洪水流量。

通过统计学分析，经典情况下皮尔逊Ⅲ型曲线比较符合我国多数地区水文现象的实际情况。我国水利、公路、铁路等工程有关规范在水文统计中，大多采用皮尔逊Ⅲ型曲线作为近似于水文现象的频率密度分布函数，在洪水流量、暴雨径流以及波浪高度等频率分析中广泛应用。实际应用中通常通过确定水文统计参数CS、CV来进行计算，以节约计算工作量，方便工程人员使用。随着计算能力提升和电算的普及，可采用元启发式算法，直接确定皮尔逊曲线分布的细化参数，进一步推算指定频率的设计洪水流量。

已知皮尔逊概率分布曲线满足以下微分方程：

         (1)

其中参数 a、b ₀ 、b ₁ 和 b ₂ 是实数。更准确地说，皮尔逊曲线是 p( x ) 作为 x 的函数的图表。方程(1) 的解的分布与超几何分布的极限形式一致。皮尔逊曲线根据方程(2)根的性质分类：

       (2)

此时，当

  (3)

此时分布为皮尔逊Ⅲ型，这个分布是偏伽马分布的，特殊情况下为卡方分布和伽马分布。

皮尔逊Ⅲ型曲线可表示为：  

        (4)

其中：x 是变量， μ 是位置参数 (Location Parameter) , 控制曲线的中心位置， σ 是尺度参数 (Scale Parameter) ,控制曲线的宽度和波动， γ 是形状参数 (Shape Parameter) , 控制分布的偏斜程度， Γ(γ) 是伽马函数，用于归一化。

拟合皮尔逊Ⅲ型曲线的目标是找到三个参数 (μ,σ,γ) 的最优值，使得拟合后的皮尔逊三型分布与原始数据之间的均方差最小。均方差(MSE) 可以表示为：

        (5)

其中 n 是数据点的数量，第 yi 个数据点的原始值即统计洪水流量 Qi， 是通过皮尔逊三型曲线模型预测的第 i 个数据点的值。

这是一个典型的NP（Non-deterministic Polynomial）问题，可采用各种启发式算法来求解。初始启发式算法的初始可行域较大，为了缩小可行域，减少搜索时间，本文采用元启发式算法。首先采用贪心算法求出可行解，再采用不同的启发式算法（粒子群、蚁群、差分进化算法）进行求解。贪心算法也可以嵌入启发式算法的某些步骤中，从而得到更快的求解时间和更优的结果。

某水文站有1958年至1987年30年的实测洪峰流量资料。通过历 史洪水调查与考证，在200年中历史洪峰流量最大是1903年的 洪水，第二位是1921年的洪水，此外还调查到1956年的洪水是 近50年中的第一位，但在200年考证期中序位无法得到。求 Q _1%

基于已知洪水的经验频率，可通过求矩目估适线法求解得到，当 C _S =0.331, C _V =6C _S ≈2时，具有较好的拟合效果（如图1）。但求矩手算过程耗时且繁琐，目估适线带有较大主观性。

图1 求矩目估适线法求解结果

PSO是模拟鸟群狩猎行为的一种算法。在PSO中，每个“粒子”代表潜在的解决方案，本应用场景中的指确定皮尔Ⅲ形曲线的一组参数 (μ,σ,γ)。

初始化：随机生成一群粒子，每个粒子有随机的位置（代表一组潜在的参数值）和速度。在更新粒子速度和位置时，考虑当前解和个体历史最佳解的均方差（MSE），贪心选择更好的解作为参考点。另外，考虑预测百年一遇的洪水流量。我们将 Q _0.1% -Q _10% 的洪水比重设置为70%，其余的设置为30%。

评估：利用当前参数值计算均方差（MSE）计算每个粒子的适应度。

贪心更新：每个粒子根据自己的历史最优位置（个体最优）和群体中的最优位置（全局最优）来更新自己的速度和位置。

迭代：重复评估和更新过程，直到满足停止条件（如达到最大迭代次数或适应度达到预设阈值）。

通过上述算法得到的拟合曲线如图2所示。

图2 贪心-粒子群算法求解结果图

ACO是模拟蚂蚁寻找食物路径的算法。在ACO中，蚂蚁代表搜索空间中的路径，本应用场景中的指确定皮尔Ⅲ形曲线的一组参数 (μ,σ,γ)。

初始化：蚂蚁在搜索空间中随机选择路径。此外，考虑预测百年一遇的洪水流量，我们将 Q _0.1% -Q _10% 的洪水比重设置为70%，其余的设置为30%。

构建解决方案：每只蚂蚁根据概率规则选择路径，结合信息素强度和贪心选择机制，优先考虑导向当前已知最佳解的路径。

更新信息素：在每只蚂蚁完成其路径后，更新路径上的信息素量，优秀的解会增加更多信息素。

蒸发信息素：降低所有路径的信息素量，避免过早收敛于局部最优解。

迭代：重复上述过程，直到达到终止条件。

通过上述算法得到的拟合曲线如图3所示。

图3 贪心-蚁群算法求解结果图

DE是一种简单且有效的全局优化算法，特别适合连续函数优化问题。它通过对种群中个体间的差异进行操作来搜索最优解。

初始化：生成初始种群，每个个体代表一组可能的参数 (μ,σ,γ)。另外，考虑预测百年一遇的洪水流量。我们将 Q _0.1% -Q _10% 的洪水比重设置为70%，其余的设置为30%。

变异：对于每个个体，从种群中随机选择三个不同的个体，利用它们的差异生成一个变异向量。

交叉：将变异向量与当前个体结合，生成试验个体。

贪心选择：在选择阶段，比较试验个体和当前个体的适应度，贪心地选择更好的解作为下一代个体。

迭代：重复变异、交叉和选择步骤，直到满足终止条件。

通过上述算法得到的拟合曲线如图4所示。

图4 贪心-差分进化算法求解结果图

不同方法的计算结果如上表所示。三种算法都具备出色的计算速度，尽管是启发式算法，由于减小搜索域、初始数据点较少，在启发式算法的种群200，迭代少于100次的条件下就可以收敛，总耗时不超过1秒，相较于其他传统方法大大减少了所消耗的时间。

由上述图表可见，不同方法拟合曲线和洪水记录点存在不同程度的偏差， 设计流量的计算结果也存在一定的波动，可考虑进一步的优化方法，提高推算精度。

本文介绍的三种元启发式算法直接确定皮尔逊III分布的三个参数，而非简化后的参数C _S 、C _V 等，计算速度快，避免了反复查表的繁琐，但不同方法的设计流量推荐结果具有一定的波动，实际工程应用时需评判不同方法的适用性。