H 形截面压弯杆弯扭屈曲承载力

对 H 形截面压弯杆弯扭屈曲承载力验算公式进行了理论研究,主要工作为: 1) 对我国、欧洲和美国的钢结构设计规范中 H 形截面压弯杆平面外稳定验算公式进行了比较,指出了改进的可能性; 2) 对有初始弯曲和扭转压弯杆的弹性弯扭变形进行了二阶分析,在引入初始弯曲和初始扭转的特定关系后,得到了二阶效应放大后的弯曲、扭转、弯矩和双力矩的简单的解析表达式; 3) 对 H 形截面绕强轴和绕弱轴的单向压弯塑性铰状态的强度公式分别进行了单一表达式拟合;对给定压力时双向弯矩作用下的塑性铰状态的双向弯矩相关关系进行了计算,提出了精度良好、略偏安全的公式;将提出的公式进行改造,使之能够考虑双力矩的影响; 4) 参照压弯杆平面内稳定验算公式的推导方法,利用已知的绕弱轴弯曲屈曲的柱子稳定系数公式,反推获得了压杆绕弱轴弯曲屈曲的等效初始弯曲,该等效初始弯曲综合考虑了残余应力、初始弯曲和塑性开展过程带来的额外挠度增量; 5) 引入该等效初始弯曲。采用平面内二阶分析获得的二阶弯矩,平面外二阶弯矩和二阶双力矩等,代入双向压弯强度计算式,得到压弯杆弯扭屈曲承载力的上限解。为了获得更为接近实际的承载力相关关系,对弹性分析得到的平面内二阶弯矩和平面外二阶弯矩以及双力矩进行弹塑性放大,得到了 H 形截面压弯杆的弯扭屈曲计算公式,画出了一系列曲线,在长细比小时,曲线接近强度相关曲线,长细比大时,曲线接近弹性屈曲相关公式。

结果表明:现行 GB 50017—2017《钢结构设计标准》中的平面外稳定计算公式是偏于安全的。同时借用强度相关关系和屈曲相关关系的插值,给出了比较复杂的拟合公式。

GB 50017—2017《钢结构设计标准》对 H 形截面压弯杆平面外失稳给出的验算公式为: 

式中: φ _y 为绕 y 轴弯曲屈曲的稳定系数;  φ _b 为纯弯时弯扭屈曲稳定系数;  N 为轴力; N _p 为屈服轴力; M _x,y 为绕弱轴边缘屈服弯矩; M _x 为绕强轴的弯矩。

式(1)是来自陈绍蕃教授的研究成果,与压弯杆的试验结果进行对比可知,式(1)是试验结果的下限。

AISC LRFD 2016 采用式(2)计算压弯杆的平面外稳定,并且不区分 H 形截面和箱形截面:

另外,美国 AISC LRFD 2005 采用如下公式:

式中:  M _{p x} 为横截面的塑性弯矩。

Eurocode 3 Part 1-1 对 H 形截面平面外失稳的验算公式中,区分了截面类别,对 Class 3 截面,有: 

式中: C _mLT 为等效弯矩系数,纯弯时取 1; λ _y 为绕 y  轴的正则化长细比。

对 Class 1 和 2 截面,有:

双轴对称截面弹性弯扭屈曲相关曲线为:

式中: M _{x cr} 为纯弯时的临界弯矩,计算式为:

式中: i ₀ 为绕剪切中心的极回转半径; L 为杆件长度; E , G 分别为材料的弹性模量和剪切模量;  J 为自由扭转常数: I _y 为绕弱轴的惯性矩; I _ω 为 H 形截面的翘曲惯性矩。

式(5)可以改写为:

其中 r _{y ω} = N _{E y}   / N _Eω

可见 AISC LRFD 2016 的式(2a)来源于式(8),取 r _{y ω} = 0.5 得到。式(2b)是式(5)在扭转屈曲临界荷载远大于弯曲屈曲临界荷载时的简化。

日本规范公式是:

式中:  f _y 为钢材的屈服强度。在获得式(5)的过程中,屈曲前未进行弯矩作用平面内的二阶分析。实际上屈曲前平面内弯矩被轴力放大,因此式(5)中的弯矩应理解为二阶弯矩,式(5)应修改为:

以上各式代表的强度相关关系和屈曲相关关系,以 H400×200×8×14 和 H200×200×8×12 两个截面为例在图 1 中示出,可见直线(式(1))和抛物线(式(2b))分别是下限和上限。

如果验算公式中采用一阶弯矩,则稳定相关曲线还与平面内的长细比有关,如图 1 所示的式(10)与式(5)的对比,式(10)是有可能下凹的,而式(5)是上凸的。

a—H400×200×8×14; b—H200×200×8×12。

图 1 平面外稳定公式对比

图 2 则是 Eurocode 3-1-1 给出的式(3)和式(4)的图示,虽然公式复杂,但曲线却接近于直线,仅在正则化长细比小于 0.4 的 Class 1 和 Class 2 截面处,曲线高于直线。

图 3 是对不同的长细比应用式(5)绘出的曲线,构件截面为 H400×200×8×14。构件短时相关关系更加接近直线,而长构件靠近式(2b)代表的抛物线。

可以猜想,平面外长细比小,稳定承载力曲线应接近强度相关关系,而长细比较大时又与屈曲相关关系接近。因此有必要对此问题进行一些研究。

下面如果不是特别指出,弯矩是指弯扭屈曲前被放大了的平面内弯矩。

a—Class 1、2 类截面; b—Class 3 类截面。

图 2 Eurocode 3 压弯杆平面外稳定相关曲线

图3 不同长度压弯杆弹性屈曲相关关系(H400×200×8×14)

压弯杆平面内稳定的轴力-弯矩相关关系,采用了工字形截面强度的相关关系推导得到的公式,略加修改甚至是不加修改可直接加以应用,见相关文献。但是平面外弯扭屈曲的相关关系还没有这样的推导方法,为此本文提出这种推导方法。

H 形截面绕强轴压弯塑性铰时的轴力和弯矩相关公式为:

H 形截面绕弱轴压弯塑性铰时的轴力和弯矩相关公式按中性轴不同位置而不同。

当中性轴位于腹板内时,有:

当中性轴位于翼缘内时,有:

分段公式(11)、(12)不便于下面的推导。为了一次性推导出后面的公式,先提出精度很高的简化公式:

其中    α = A _w / A _f

图 4 给出了拟合公式(13)与式(11)和式(12)的对比,可见精度非常好。

a—绕强轴(式(13a)) ; b—绕弱轴(式(13b)) 。

图 4 单向弯曲拟合公式对比

平面内受力时发生平面外的弯扭失稳,这涉及到轴力、双向弯矩和双力矩。给定轴压比下的双向弯矩相关关系,采用文献第 3 章的方法求得图5,两种构件截面分别为H400×250×8×14, H780×260×16×24。进一步归一化的曲线如图 6 所示,其中:

双向压弯形成塑性铰时的相关曲线为:

式(16a)反映了如下规律:在轴压比 n 较小时, m _x 对 m _y 影响较小, 而当 n 较大时, m _y 对 m _x 影响较小。

a—H400×250×8×14; b—H780×260×16×24。图 5 H 形截面双向压弯相关关系

图 6 给出了式(16)与数值分析结果,可见,式(16)略低于数值结果。

a—H400×250×8×14; b—H780×260×16×24。

图 6 不同高宽比下双向弯矩相关关系

双力矩在 H 形截面翼缘中产生弯矩,直接影响了翼缘能够提供的抗弯能力。双力矩在翼缘内产生的弯矩和绕弱轴的弯矩直接相加,就可以考虑双力矩的影响,即将式(16a)中绕弱轴的弯矩项修改为:

式中: B _ω 为双力矩。

有初始弯曲和初始扭转的双轴对称截面压弯杆的平衡微分方程为:

假设:

将式(19)代入式(18)得到:

设初始扭转和初始弯曲满足:

式中: N _cm 为给定弯矩下满足式(5)的轴力,将式(20)和式(21)代入式(22a),得到:

两个特例: 1) 弯矩为 0 时,此时 β _n = 0, 所以 θ _0m = 0,则:

绕弱轴弯矩和双力矩公式简化为:

初始弯曲取值应使轴压杆绕弱轴屈曲的承载力等于按照 GB 50017—2017 柱子曲线 b 计算的压杆的稳定承载力。将式(24)代入式(13b)得到:

因为轴压杆情况下,有:

代入式(27)得到:

这个等效初弯曲包括了初弯曲、残余应力和弹塑性过程放大的弯矩的影响。压弯杆计算时存在初始弯曲和初始扭转,此时本文要求侧移较大翼缘的初始侧移与式(29)给出的相同,即:

在随后的推导中,将采用 GB 50017—2017 中的曲线 b。

记 φ _b 为梁发生弹塑性弯扭失稳的稳定系数,并引入如下记号:

则:

注意式(26a,26b)已经是二阶弱轴弯矩和二阶双力矩,代入公式时不再需要放大,但是所有式子中 M _x  都取为平面内分析的二阶弯矩,这是因为研究弯扭失稳是分两步的:第 1 步弯矩作用平面内先出现二阶效应,第 2 步发生弯扭失稳。所以,利用式(16a),有:

于是得到:

从上式求解弯扭屈曲的 p - m _x 曲线的步骤为:给定 H 形截面和杆长;给定 p 从 0 到 1;从 0 到 1 搜索 m _x 使得式(34)得到满足;改变长度,获得不同平面外弯曲屈曲长细比对应的一系列曲线。

因为算法是先给定 p , 计算 β _n 的式(22b)中的 N _cm 就取为 N _cm = φ _y pN _p。

纯弯时 β _n = 1, 求弯扭屈曲稳定系数 φ _b 。此时:

式(34)变为:

用式(37a,b)、式(29b)计算的钢梁稳定系数由图 7a 给出,H 形截面作为压杆的稳定系数采用 b 曲线。可以发现,获得的钢梁稳定系数曲线高于压杆稳定系数曲线 b,见图 7a。

取 u ₀ = L / 500 计算,结果如图 7b 所示。按照上述方法获得的稳定系数与钢梁截面的高宽比关系很小,这是因为本文方法无法考虑残余应力的影响,柱子曲线也没有随截面的高宽比而变化。

a—取压杆等效初始弯曲; b—取 0.002 L 作为初始弯曲。

图 7 H 形截面钢梁稳定系数

先观察所有关系都是线性化时获得的曲线,即式(16a)简化为:

式(34)变为:

由式 38(a,b) 给出的曲线如图 8 所示,所有曲线都是外凸的,这与平面内稳定相关曲线是相反的。

图 8 所有强度公式线性化后的结果(H375×150×5×8, h / b = 2.5)

图 9 给出 7 种高宽比 H 形截面时利用式(34)计算的轴力和弯矩相关关系 曲线。从图 9 可知:

1) 在将弯矩解释为二阶弯矩的情况下,式(1)是相关曲线的下限。

2) 长细比小时,曲线形状更靠近强度相关曲线式(13a);长细比大时曲线更接近于屈曲相关曲线式(5);长细比不小于 1.2 的曲线基本重合,所以图中只显示出长细比 1.4 的曲线;长细比为 0.2 的曲线高于强度曲线但非常接近,所以图中未给出。

a— h / b = 1.0; b— h / b = 1.5; c— h / b = 2.0; d— h / b = 2.5; e— h / b = 3.0;f— h / b = 3.5; g— h / b = 4.0。

图 9 不同截面高宽比下的稳定相关曲线(式(34))

3) 采用平面内二阶分析弯矩的相关曲线,不同宽高比 H 形截面的曲线比较统一,仅略微受到腹板翼缘面积比(高厚比)的影响,这显示了采用平面内二阶分析弯矩的优越性和必要性。

式(34)依据强度公式(16a),引入初始弯曲和初始扭转即式(29a,b)和(30a,b),考虑二阶效应。参考平面内稳定公式的推导过程可知,依据这样的强度公式推导得来的平面外弯扭屈曲的轴力-弯矩相关关系会少量偏不安全。

为获得基本合理的相关关系曲线,必须对二阶效应进行放大。放大的部分如下:

1) 平面内的二阶弯矩,因弹塑性变形从式(33a)继续放大到式(39a) :

即式 (32b) 和式(32c)的 都改为 (1+ 。这个放大系数考虑了弹塑性变形影响。

2) 因为初始弯扭变形而带来的绕弱轴弯扭分析的弯矩项放大为:

即式(32b)和式(32c)分子上的中括号内 改为 。

因为平面外初始弯曲已经按照式(30)取值,这样引入的初始弯曲,综合地考虑了残余应力、初始弯曲以及在弹塑性失稳时弹塑性的二阶效应对平面外弯矩的放大作用,这部分的二阶弯矩不能再放大,否则这个公式在弯矩等于 0 时不能再退回到轴压杆绕弱轴屈曲。

引入式(39a,b)后得到的 相关曲线如图 10 所示,虽然横坐标仍然采用了二阶弯矩,与图9 相比,曲线仍然有下降。

a— h / b = 1.0; b— h / b = 1.5; c— h / b = 2.0; d— h / b = 2.5; e— h / b = 3.0; f— h / b = 3.5; g— h / b = 4.0。

图 10 引入式(39)后的稳定相关曲线

图 11 将不同长细比时,引入和不引入式(39a,b)放大了的弯矩进行对比,以对其影响有一个直观的印象。与平面内稳定的验算公式一样,在长细比较小时差别较小,而长细比为 1.0 和 1.4 时差别明显。相关曲线的下降使得构件弯扭失稳时具有必要的物理刚度来抵消轴力和弯矩的负刚度。

图 11 相关曲线对比

通过图 10 可知,H 形截面压弯杆弯扭屈曲,采用式(1)是偏于安全的。

更为精确的公式可以在强度公式(13a)和屈曲公式(8)之间极限插值:

与图 10 的曲线比较,式(40)偏保守,因为该式代表的曲线未能超越强度曲线(式(13a))和屈曲方程式(8)给出的外包线,而图 10 中显示的曲线很多是超越这个外包线的。

如果采用一阶弯矩来提出公式,所绘出的曲线如图 12a 所示( h / b = 1.0 )。可见:式(1)对长细比大的方形或接近方形的 H 形截面会偏不安全;当高宽比不小于 1.5 时曲线不再下凹。

a—H150×150×4×6; b—H225×150×4×6。

图 12 采用一阶弯矩的相关曲线

本文对 H 形截面压弯杆的弯扭屈曲承载力验算公式进行了理论分析,主要的结论如下:

1) 对比了规范公式和 H 形截面强度公式以及弯扭屈曲公式,指出在长细比较大时存在着抛物线形状发生变化的可能性。

2) 对有初始弯曲和扭转的压弯杆的弹性变形进行了二阶分析,给出了解析解,在对初始弯曲和初始扭转的比值引入特定的解析关系(即式(22))后,这些二阶分析解析解可以简化,并可以在后续的分析中方便应用。

3) 对 H 形截面的单向压弯塑性铰状态的强度公式进行了单一表达式拟合,以方便后续的推导,提出了精度很好的公式(即式(13)) 。

4) 对 H 形截面给定轴压比下双向弯矩的相关关系进行了计算和拟合,式(16a)在轴压比较大(轴压比 0.8,0.9) 且无量纲化的双向弯矩比较接近时偏安全略多,其他情况下精度良好略偏安全。

5) 双力矩的影响用式(17)来考虑。

6) 参照压弯杆平面内稳定的验算公式,引入初始弯曲,在式(13b)中取平面外弯矩为二阶弯矩,初始弯曲的取值应能够从该式得到压杆绕弱轴失稳的稳定系数,如此确定好压杆绕弱轴的等效初始弯曲,可作为弯扭失稳构件初始侧移最大翼缘的初始侧移,以备下一步应用。

7) 引入等效初始弯曲和平面内二阶弯矩、平面外二阶弯矩、二阶双力矩等,代入式(16a),为考虑弹塑性开展过程二阶效应的增加,引入弯矩的进一步放大(即式(39a) 和式(39b)),推导出了 H形截面压弯杆的弯扭屈曲计算公式,并绘出了曲线。

8) 式(1)是偏于安全的。通过强度公式和屈曲公式的插值给出的 H 形截面压杆弯扭屈曲计算公式(40),也是偏安全的,且宏观上符合导出的规律。

9) 弯扭屈曲计算宜采用平面内二阶弯矩,特别是对高厚比接近于 1.0 的截面。