塑性铰的那些事儿(中)-塑性铰有限元的实现方法

2、塑性铰有限元的实现方法

(1)塑性铰表达方式——骨架铰中的滞回曲线

描述混凝土桥墩在地震作用下的受力特性，或者说刚度变化情况，我们称之为 滞回曲线 。

中文是奇妙的，通过这个新的名词不难猜想，这条曲线一定不像上述P-M曲线或者M-φ曲线那样处于 单值状态 。

先上图看看地震作用下桥墩底部弯矩和曲率的图形是什么样子吧！

对抗震不熟悉的朋友一定对这个图形很陌生，感觉乱七八糟的一堆线，那么我们把问题变得简单一些，假如我们只模拟地震的一次震动，也就是加速度从0开始到-0.2g。

且我们将塑性铰类型选择为 “修正武田三折线” （暂且不用考虑这是什么鬼东西，后边会慢慢解开）。

经计算桥墩底部设置塑性铰的单元弯矩曲率图如下：

上图曲线明显分为三段，如果没有定义塑性铰按弹性计算，曲线将是与第一条曲线重合的射线。

通过上述的设置地震荷载作用下，桥墩呈现了由 弹性到塑性的变化过程 。

接下来要解决的问题就是如何设置塑性铰，或者说如何考虑桥墩进入塑性后的 荷载位移规律 （弯矩曲率关系）。

比较遗憾目前主流的描述混凝土桥墩荷载位移曲线的力学模型都是由外国人通过试验得到。

比较知名的是克拉夫和武田提出的退化模型。其中又以修正武田三折线应用最多。

接下来我们就要介绍 骨架铰最核心的内容—滞回曲线 ，下图即为修正武田三折线的滞回曲线：

因为地震荷载是往复震动，桥墩经历不断加载和卸载的过程，故我们称这种力和位移呈现 往复滞回 的特性为滞回曲线。

此曲线需要描述任意计算时刻结构计算所要采用的刚度值（曲线的斜率）。

图中的箭头表示加载或者卸载的过程。

确定滞回曲线需要两方面的内容，一方面是基本曲线的形态，比如是 双折线、三折线、还是四折线 等（本图从原点出发后的曲线显然是三折线），并通过特征点（强度与曲率）描述基本曲线。

另一方面是明确加载和卸载的曲线滞回规则，换言之加载或者卸载时曲线的走向。

图中的 P1、P2、D1、D2 、是曲线的特征点， 需要人为指定 ，除此之外还要 指定强度超过P2点后的刚度 。

这就是滞回曲线需要做的第一件事情， 先确定一条基本曲线 。

上图11便通过自动计算的方式确定了三折线的基本曲线，故图14计算出来的曲线自然满足三折线的特性。

至于加载卸载规律是滞回曲线最核心的内容，是通过试验数据回归出来的结论，也是相对比较复杂的内容。

比如下图描述了内力小于第二屈服强度时的滞回规律：

①         时， 为线弹性状态，沿着经过原点斜率为 K0 的直线移动(Rule:0)。

②变形 D 初次超过 D1(±)时，沿着第二条折线的斜率 K2(+)、 K2(-)移动(Rule:1)；在第二条折线移动时卸载，将沿着指向反向最大变形点移动，反向没有发生屈服时，反向第一屈服点为最大变形点(Rule:2)；在到达反向最大变形点之前重新加载，将沿着相同的卸载直线移动(Rule:3)； 当到达骨架曲线位置时，重新沿着斜率为 K2(+)、K2(-)的骨架曲线移动(Rule：4)。

③变形D初次超过D2(±)时，沿着第三条折线的斜率K3(+)、K3(-)移动(Rule:10)；此时卸载时，将沿着斜率为 Kr(+)、Kr(-)的直线移动(Rule:11)；反向没有发生过第二屈服时，反向的第二屈服点为最大变形点。

     

④ 超过恢复力为0的点时，将向反向最大变形点移动(Rule:14)；在向反向最大变形点移动时卸载，则开始进入内环(Rule:15)；在内环中到恢复力为0的点之前，沿斜率为 Kun(-)、Kun(+)的直线卸载，超过恢复力为 0 的点后，将向反向的最大变形点移动(Rule:16)

不知道读到这里有几位能耐心看完所有四条规则，实际如果不是从事计算机编程，我们大可不必研究那么仔细。

只要了然骨架铰选择不同的力学模型就是采用了不同的滞回规律即可。

留给软件使用者的空间只是去定义基本曲线。

以修正武田三折线为例，其中的三折线程序可以通过自动计算得到。

具体定义界面如下图:

通过上图可以看出程序输入三折线可以采用的方式是输入强度位移或者刚度折减系数，两者没有本质区别，而选择自动计算后，两个折减系数用户需要认为指定，屈服强度由程序自动计算。

除此之外用户可以控制初始刚度（默认值EI/6）,至于卸载参数的含义见滞回规律中的β。

程序如何 自动计算强度值这一问题还不明朗 ，本着刨根问底的思路我们继续挖呀挖，让我们看下程序根据截面配筋计算得到的屈服面信息（确定屈服强度信息）：

曾经一度我被这个界面吓到，信息量太大了。

各种数据不知所云，经过我一周加班加点的钻研，终于一窥究竟。

首先示意图中的三条曲线含义如下：

◆ 外侧曲线： 被定义塑性铰单元截面的屈服面（P-M曲线）

◆ 直线： 被定义塑性铰单元截面的开裂线

◆ 内侧曲线： 根据上述两条线近似模拟的开裂屈服面

程序计算塑性铰的三折线特性点P1、P2即为开裂弯矩及屈服弯矩。程序会根据初始轴力画一条水平线，与直线相交的点即为P1,与外侧曲线相交的点即为P2。

另外需要注意，程序并没有直接取用截面的P-M曲线作为外侧曲线，而是通过十二个点近似描述这条曲线。

这十二个点的计算依然不同于P-M曲线的计算原理，而是通过类似椭圆方程的方式计算。

首先程序计算P-M曲线上的 三个特征点，轴压、轴拉、和最大弯矩点 。在程序界面中给出了这三个点的数值：

其中：PY(t)——轴拉承载力

PY(c)——轴压承载力

PYBy——最大弯矩My对应轴力

MYy,max——最大弯矩My

程序通过这三个特征点计算“近似”P-M曲线的公式和曲线指数的取值如下：

根据上式可以计算轴力对应的屈服强度My，认真观察公式和图19，可以发现这个公式非常类似移轴后的椭圆公式（Gama和Beta均等于2时），椭圆的半径分别等于MYy,max和         ，椭圆中心沿Y轴上移         的距离。

程序界面最后给出了绘制这条近似P-M曲线上十二个点的取值：

图中比例表示计算点与“椭圆”半径的比值，比如D(c)=0.42，表示此点的轴力为： ，此点对应的弯矩M值为0.797254*（MYy，max）。

关于 开裂面 ，对于PM铰不必将其近似为图19中的内侧开裂曲线，可直接根据直线计算P1。

开裂直线的计算方法很简单，源自 开裂弯矩表示截面受拉侧强度达到混凝土的抗拉强度标准值 。

偏心受压构件混凝土 边缘的应力 等于:

当边缘应力等于混凝土的抗拉强度标准值 ，则考虑符号后此时的弯矩即为开裂弯矩， 开裂弯矩与轴力呈现线性关系 :

至此，关于骨架铰的特性值已经全部了然。

曾经一度我以为已经把骨架铰研究得很透了。

但如牛顿所说 “无知识的热心犹如在黑暗中的远征” ，我们仍然忽视了两个重要的内容：

◆实际地震荷载作用下，桥墩的轴力可能会发生较大的变化，而我们前边讲P-M曲线时提到，截面的承载能力与其所受轴力直接相关。那么在计算的过程中铰特性值中的P1和P2也应该发生改变。

◆三折线我们只是确定了P1、P2,另外需要输入的两个刚度折减系数α1，α2如何确定。

先考虑第一个问题，还记得我们的那个简单的测试模型吗？

我们在原有模型的基础上给桥墩施加竖向地震波如图23，经计算，桥墩地震荷载下的轴力如下图24所示，输出墩底塑性铰的弯矩曲率曲线如下图25。

比较图14和图25会发现即使地震作用下桥墩的轴力已经与恒载轴力不同，但最终程序采用的滞回曲线（此时由于荷载是单向的，曲线仅为三折线）依然不会改变。

换言之 程序只能考虑初始轴力下的开裂强度和第二屈服强度 ，并用之确定滞回曲线中的三折线特征点。

地震过程中桥墩轴力的改变 程序是不考虑其带来屈服强度需改变这一事实的 。

经过测试还会发现，程序考虑初始轴力的方式 必须要求接续的荷载工况为时变静力荷载 ，接续施工阶段合计或接续静力荷载工况 均不能“正确”考虑这类荷载效应引起轴力所计算得到的P1、P2点 。

而对于桥梁工程，只要存在体系转换（比如悬臂浇筑连续梁或连续刚构等），桥墩的恒载轴力与施工阶段密切相关， 而时变静力荷载无法考虑施工过程的累加效应 。

不得不承认这一结论大大降低了骨架铰采用P-M相关的方式计算存在体系转换的桥梁类型中的塑性铰特性值。

绕了很大一圈仿佛把自己走到了绝路。

那么是否有一种更好的方法解决三折线特征点的确定问题呢？

让我们稍事停留，回头整理下思路，骨架铰表现桥墩塑性特征的方法是通过某一力学滞回曲线，滞回曲线需要明确滞回规律，滞回规律基于某一特定的n折线，选择P-M方式程序可以根据初始内力计算P1和P2强度，且需要用户指定初始刚度和刚度折减率α1和α2。

且 程序不会因为地震力作用下轴力改变修正滞回模型 。

那么问题就变得简单了，如果我们知道 特定轴力下桥墩从弹性到塑性的变化规律 ，并且用三折线去描述它，那么所有问题都得以解决。

“特定轴力下桥墩从弹性到塑性”是不是很耳熟，开篇我们就讨论了两条很重要的曲线，M-φ曲线的含义不正如此吗？

于是我们何不借用M-φ曲线拟合一条三折线。

这样即 可以规避P-M铰初始轴力必须用时变静力荷载的局限性 ，又可以得到有据可循的刚度折减系数α1和α2。

虽然没有P-M方式自动计算看起来那么爽，但这种方法更具通用性。

具体拟合方式顺其自然可以想到通过 开裂点（或初始屈服点）确定第一折线 。

屈服点确定第二折线的终点 ， 极限点确定第三折线的终点 。

特别注意由于滞回规律的限制，三折线不允许出现负刚度（斜率小于0），有时候M-φ曲线计算出的第三条折线会出现负值，这时候可以将其与第一刚度的比值设置为0.001（近似取水平线）。

相信读到这里很多看客已经被我说晕了。

建议读不下去的朋友重新整理下思路，重新思考我们的研究对象（一个底部发生破坏的桥墩）。

想想如果让你去计算在外荷载的作用下，他的受力和变形的情况。

做MIDAS的技术支持，我一直有个习惯，那就是时刻抱着一颗好奇心，力图探究程序计算各种效应的内部方法。

就像我特别崇拜的大咖 胥博士所云，一旦掌握了程序的“脾气秉性”，你便成为程序的主人，这样才是你做分析，而不是程序再做分析 。

扯远了，继续下边的内容吧。

骨架铰是利用 通过实验得到的滞回力学模型表达桥墩刚度变化 的方法，理解到这里也就足够了。

特别注意它只能考虑定轴力的情况。

其余内容不过是如何设定这个力学滞回曲线的方法而已。

(2)塑性铰表达方式——纤维铰中的材料本构

在讨论P-M曲线和M-φ曲线的时候，关于材料的本构一直没有展开，我将把这部分内容放到这里。

因为 纤维铰唯一的“技术活”就是定义材料的本构 。

首先看下最简单的钢筋的本构：

从图中可以看出，钢材本构采用最简单的双折线模型， 屈服前刚度即为其弹性模量 ，屈服强度取材料的标准强度， 屈服后刚度取很小值 。

混凝土一般分为箍筋内的约束取混凝土部分和保护层区的无约束混凝土部分。

由于有箍筋的约束，核心区混凝土处于三向应力状态，其强度将提升。

下图为约束混凝土和无约束混凝土的本构曲线。

而Mander等建议的约束混凝土的本构（应力应变曲线）是规范提到的建议本构关系，其数学表达式如下：

式中：         ——约束混凝土的峰值应力（抗压强度）；

        ——约束混凝土达到其抗压强度时的应变；

        ——无约束混凝土达到抗压强度时的应变，一般取0.002；

        ——无约束混凝土抗压强度（按规范表格可查，切记折减）；

        ——混凝土初始弹性模量（按规范表格可查）；

        ——约束混凝土在其约束抗压强度时的割线模量；

虽然公式貌似复杂，但本质依然是在描述         与         之间一元函数关系。

为了确定函数关系需要知道无约束混凝土的特性值（         、         、         ）以及约束混凝土的         。

无约束特性值后续专门提及 ，此处暂时认为已知。

于是问题转换为如何确定约束混凝土的峰值应力或说抗压强度         。

关于         的计算方法目前我看到的比较权威的资料依然是范立础院士所著《“桥梁抗震设计理论及应用”丛书》，其值主要与横向箍筋屈服时混凝土所受到的有效约束应力         有关，现简要摘录主要计算公式：

对于圆形截面：        

对于矩形截面：                    

Ke为有效约束系数，圆柱截面取0.95，矩形截面取0.75，矩形薄壁截面取0.6，ρ值为箍筋的含箍率。

关于mander本构最值得探讨的问题是 无约束混凝土强度的取值问题 。

首先让我们回顾一下混凝土各种抗压强度含义，然后根据规范条文说明给出的各种换算公式得到计算mander本构时无约束混凝土强度取值的计算方法。

①立方体抗压强度标准值          

按标准方法制作、养护至28d龄期的边长为150mm立方体试件，以标准试验方法测得的具有95%保证率的抗压强度，即为         。

《桥规》（JTG D62）规定的强度等级按边长150mm的立方体抗压强度标准值确定，并冠以C表示，如C30表示30级混凝土。

世界各国规范中用以确定混凝土强度等级的试件形状和尺寸不尽相同，有采用立方体试件，也有采用圆柱体试件。根据我国的试验资料，圆柱体强度与150mm立方体强度之比为0.83~1.04，平均值为0.94；

但过去我们习惯于与200mm立方米强度之比为0.85进行换算。

考虑到新旧规范（旧规范为85规范）立方体强度试件尺寸和保证率的不同，圆柱体强度与《桥规》（JTG D62）规定的边长为150mm立方体强度之比，可近似按0.85换算。

②轴心（柱体）抗压强度标准值          

我国采用150x150x450mm的柱体作为混凝土轴心抗压试验的标准试件，按与上述立方体试件相同的制作、养护和标准试验方法测得的具有95%保证率的抗压强度称为轴心抗压强度，记为         。

式中：β为脆性折减系数C40、C80之间按1.0和0.87内插。α为对C50及以下混凝土取0.76，C55—C80取0.77—0.82。

按上述公式可计算得到规范表格：

     

③轴心（柱体）抗压强度设计值fcd

构件中混凝土抗压强度设计值fcd，由混凝土轴心抗压强度标准值除以混凝土材料分项系数γfc=1.45求得。进而可得到下边表格：

     

④ 《85规范》混凝土抗压强度与《14》混凝土抗压强度对比

《85规范》为边长是200mm的立方体抗压强度标准值作为区分强度等级的标准。

与150mm新规范立方体抗压强度标准值之间的换算关系为:

式中：         为新规范混凝土强度等级；         为《85》规范混凝土标号；         为混凝土的变异系数，取值如下表;

     

⑤Mander本构中混凝土抗压强度取值

美国和日本 等国家，采用 圆柱体强度 作为混凝土标号。

他是采用龄期为28d、直径150mm高度300mm的标准圆柱体试件试验获得，用符号记为：         。

混凝土立方体标准试件的强度与其他各种试件的强度之间换算关系如下：

        为棱柱体抗压强度，也称为轴心抗压强度。R20 为200mm立方体抗压强度。

根据上式可得到150mm现行规范换算为Mander所需圆柱体抗压强度。换算公式应为：

各级强度转换系数β如下表，常用下部计算的C30至C40混凝土近似可取0.9。

     

⑥结论

立方体抗压强度标准值         ，经常被称为“标号”强度，更严格意义上应为强度等级，是以立方体（150mm）试件试验为依据给出。

轴心抗压强度标准值         为采用更接近实际使用状态的（150x150x450mm）棱柱体试件试验得到的强度指标。

其值可根据αβ两个参数由立方体强度求得。

轴心抗压强度设计值，只是考虑了1.45的分项系数由         得到。

新旧规范混凝土强度等级可以通过变异系数         相互转换。

Mander本构中的无约束混凝土强度为圆柱体抗压强度，其与现行规范强度转换系数可根据0.85倍的转换关系和新旧混凝土强度转换公式计算得到， 常用下部结构抗震计算可取0.9 。

无约束混凝土的本构对计算结果影响不大。

可按《混凝土结构设计规范》的相关条款取值，本文不再赘述。

了解了材料的非线性本构再介绍纤维铰就变得非常轻松。

纤维铰用我的老朋友 王宇（MIDAS有史以来台风最潇洒的讲师） 的比喻是“一把筷子”。

把桥墩想象为一把筷子，或者说把桥墩沿纵向切割为很多纤维，分割过程中将截面的不同区域划分为 无约束混凝土、约束混凝土和钢筋单元 。

下图29为MIDAS Civil划分纤维的界面：

纤维模型的 基本假定和计算原理 如下：

◆满足 平截面假定 ，即变形过程中截面保持平面状态并与构件纵轴垂直。所以不能考虑钢筋与砼之间的粘结滑移。

◆单元各位置截面 形心的连线为直线 。

◆截面内力(弯矩、轴力)通过对各纤维的 应力进行积分获得 ，截面的刚度通过对截面的柔度矩阵取逆获得，单元的刚度可通过对积分点(集中型或分布型)进行积分获得。

纤维模型不仅可以准确模拟受弯构件的力学特性，而且 可以考虑截面内纤维的局部损伤状态 。

另外纤维模型还可以考虑轴力和弯矩、两个弯矩之间的相互影响， 但是因为不能反映剪切破坏 ，所以一般 用于剪切变形不大的线单元 。

纤维铰最后需要说明的问题是，软件定义纤维铰时依然需要输入三折线特性值，输入的目的是什么，如下图所示：

细心的朋友还会发现，这里无需选择滞回曲线的力学模型（比如修正武田三折线），计算铰特性值的屈服强度等内容时可以自动计算 也可以人为手动输入 ，特别注意由于图30中已经不能选择P-M相关， 程序自动计算的屈服强度必然不能准确考虑轴力贡献 。

为何纤维铰无需选择滞回模型呢？

因为 纤维铰 的计算原理是直接通过计算各纤维单元的 应力应变非线性关系 ，进而考虑整个桥墩的弹塑性状态，而 骨架铰 是 人为 的设定了桥墩的 塑性变形和内力关系 。

两者考虑的方式大相径庭。

那么纤维铰不需要设定滞回模型为何还需要设定三折线的刚度折减规律呢？

主要是因为纤维铰不像骨架铰在定义时就 有明确的屈服强度等特征点 。

所以需要人为的指定这些特征点以便于查看计算结果时可以同样给出类似骨架铰的内容，比如屈服状态、延性比等。

这里特别注意， 无论纤维铰的三折线定义成什么值 ，最终模型的计算结果（内力、位移等）均不会改变，因为三折线只是像一把“尺子”一样， 只负责去量取纤维铰的计算结果 。

计算过程中三折线毫无用武之处。

纤维铰不同于骨架铰，是通过将单元截面细分为若干具备非线性本构的纤维，进而考虑截面刚度的变化。

（3）铰类型的选择及各自特点总结

下表比较了一座主梁跨度布置为（81+142+81）m的刚构桥，下部结构采用双肢薄壁墩，墩高23m，顺桥向墩宽1.8m，横桥向墩宽15m，双薄壁截面的中心距6.2m。

本桥地震相关控制指标为： 地震分区特征周期0.4s，场地类别Ⅱ类，抗震设防烈度8度（0.3g）。

模型如下图：

采用纤维铰和利用M-φ曲线自定义特性值的骨架铰，桥墩顶底塑性铰区地震作用下的最大曲率对比如下表所示：

     

通过比较不难发现两者计算结果相差悬殊。

究其原因主要是计算理论不同。

骨架铰基于实际的桥墩结构定轴力作用下的荷载位移试验得到的力学滞回模型，而纤维铰是将桥墩截面理想化为若干具备非线性应力应变关系材料的纤维单元。

两种塑性铰各自有着自身的优点和缺点：

◆ 骨架铰 运行 效率高 ，特别是 大型计算模型，耗时较小 ；

◆ 骨架铰无法考虑变轴力对结构刚度的影响，只能考虑固定屈服强度的n折线滞回模型；

◆ 骨架铰是通过荷载试验得到，其滞回规律更贴近实际结构的受力特征；

◆ 纤维铰无法考虑滑移等实际可能存在的破坏形态，其基本假设“偏”理想化；

◆ 纤维铰理论上可以考虑轴力变化对结构刚度的影响；

◆ 纤维铰可以输出截面各位置地震作用下的应力应变结果；

◆ 纤维铰由于是有限元中的有限元，计算量大工作效率较骨架铰低；

实际工程项目塑性铰类型的选择要根据 具体情况（特别是地震荷载作用下的轴力） ，综合考虑上述特点酌情选取。

当然从保守设计的角度，两者均能满足规范要求当然是最好的结果。