弹性力学边界条件的数学分类

【导读】 弹性力学问题从数学角度看是微分方程中的边值问题，即微分方程求解时在其在边界上的取值，用以确定积分后的积分常数。 弹性力学教材一般将边界条件区分为力边界条件、位移边界条件和混合边界条件三类，也可以从微分方程边界条件的角度来理解。

例如，考虑一个纯数学微分方程： 

其中，自变量t是定义在[a, b]上的时间变量。该方程的通解为 ，为了确定解中的积分常数A和B，使解变为唯一解，需要再给出一组y(t)在特定值上的取值。德国数学家狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859）首先给出了一类边界条件 ，其特点是给出自变量域上边界处的取值，对于上述微分方程，狄利克雷边界条件为

图1  Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859

狄利克雷边界条件也被称为固定边界条件，或第一类边界条件，其中 α 和 β 为已知的常数。可见，弹性力学中使用位移边界条件时，对点的位移约束，如

区别在于式(1)是一个微分方程，其边界条件为函数y(t)的固定边界条件。而弹性力学方程为微分方程组，以位移法求解将会写出三个位移方程，因此式(3)给出的是三个位移函数的固定边界条件。因此，式(3)所示的位移边界条件在数学上可称为狄利克雷边界条件。

弹性力学应力边界条件写为

每个式子中都有三个应力分量函数，但它们都是原函数，没有用到函数的导数，可以认为应力边界条件为狄利克雷边界条件。如果我们不写出应力分量，而只写出每一点的全应力，设边界上某一点的全应力函数用p表示，该点处总的面力写为 ，而不写分量形式，应力边界条件就可以写成

其中，下标s表示该全应力取值位于边界上，这样就可以清楚的看到应力边界条件就是狄利克雷边界条件。

在数学上，如果给定的是边界上的导数值，如对于方程（1）给出边界条件

这类边界条件为诺依曼边界条件，也被称为第二边界条件，由德国数学家诺依曼（Carl Gottfried Neumann，1832-1925）给出。在梁弯曲中，对于固定端已知梁的转角为0，若用 v 表示梁的挠度，写出固定端转角位移边界条件为

如果一个弹性力学问题中仅需要考虑转角约束，该边界条件可称为诺依曼边界条件。

     

前面两类边界条件分别从函数和函数的导数写出边界条件，确定微分方程的解。法国数学家柯西（Baron Augustin-Louis Cauchy,1789-1857）讨论了一类不同的边界条件，如当微分方程(1)只在a点知道其取值，而不清楚在b点的取值，此时柯西对微分方程进行了扩展，写出其导数的值，如 

从而确定解中的两个未知常数，这类边界条件也称为柯西边界条件。可见，在弹性力学中，写出固定端约束的转动约束，如

这类边界条件就是在固定边界条件上加上了函数导数的已知值，用以确定待定常数，被称为柯西边界条件。

参考文献