合理拱轴线推导及应用

拱桥在山区峡谷、城市河道、上跨道路等环境得到广泛应用，相比连续梁、斜   拉桥、悬索桥等结构，拱桥无边跨，桥梁主体结构长度最短；  

拱桥的主梁高度较小，可以减少接线桥梁规模；

在中等跨径桥梁上拱桥具有经济比较优势。

本文以   数学分析的手段探讨合理拱轴线 ；采用力形分离统一的思路，提出分离型参数和量纲参数的类设计方法；针对目前常用材料，推导了   钢和混凝土拱桥的极限跨度 ；针对在建的三座超大跨径拱桥，提出了   调整拱轴线参数 的建议。

1.前言
 

桥梁为沟通而生，是跨越障碍的建筑物。

桥为体，承担结构物本身和活载重量；梁为用，方便通行活载。

本文在完成拱轴线力形分析的同时，探讨了钢和混凝土结构拱桥的静力跨度极限；

提出了   分离型参数和量纲参数的类设计方法 ，简化了桥梁设计流程，为后续智能化设计、参数化出图提供理论支撑；

利用扰动方程和振动分析，针对不同的拱轴线方程提供了统一的面内屈曲和面外屈曲计算模式；

针对在建的三座超大跨径拱桥，提出了优化拱轴线m参数的建议。

2.拱轴线静力分析  

将拱桥吊杆比拟为仅在竖向有抗力的膜，通过微分方程求解拱轴线线形，   加劲梁内无弯矩附加应力 ，吊杆竖直，沿跨密布，拱轴线及吊杆的应力长度关系通过体积柔量换算闭合，以求达到力与形的统一。

 

如图1所示，任意IP点坐标下，合理拱轴线承受梁自重均布荷载p，均布活载q（忽略车道集中荷载），拱轴线均布荷载c，需要通过微分方程求解合理拱轴线y。

设主缆曲线方程为：

 

任意微元段平衡方程，T为拱的水平推力：

 

考察(2)式右侧，微分方程的解为抛物线+双曲函数形式，构造函数(3)满足微分方程(2)，坐标系建立在拱顶位置时，令拱脚处(x=L/2)曲线斜率为sinh(θ),求待定系数A、B、C；

 

求得

 

拱的合理轴线方程为：

 

利用拱脚斜率公式求出拱脚水平力T：

 

   

根据拱脚轴向受力和材料强度f、安全系数K求出拱的截面积A；

 

   

求出拱的均布荷载c值：

 

   

   

(9)式ξ为拱材料的重强比系数。

拱的合理曲线方程改写为：

 

根据矢跨比求解参数θ

 

拱轴线长度s计算：

 

   

 

 

 

 

桥梁全重（含活载）G：

 

   

3.不同材料下拱结构的极限跨径
 

 

 

 

函数取值在1.25以下时，   拱的自重为梁自重加活载的25%以下 ，拱桥造型轻盈，属于强梁弱拱，对应ξ≤0.2；

函数取值范围1.25~1.5，   拱的自重为梁自重加活载的25%~50% ，拱桥造型协调，属于强梁强拱，对应0.2＜ξ≤0.35；

函数取值1.5~2，   拱的自重为梁自重加活载的50%~100% ，拱结构厚重，属于强拱弱梁，对应0.35＜ξ≤0.5。

函数取值为2 时，基本达到主拱材料的   极限跨径 ，此时   ξ≈0.5 。

考察(9)式，画出不同材质随跨度变化的重强比系数ξ，横轴虚线0.25、0.35、0.5划定的区域分别对应不同材质的拱桥经济跨径、适中跨径和极限跨径。

 

4.拱的面内屈曲
 

根据动力准则：   杆件或体系在荷载作用下处于平衡状态 ，对其施加微小扰动，则其会   绕平衡位置自由振动 ，若振动有界则初始状态稳定，反之则不稳定。

以两端铰接、轴心受压曲杆为例，沿曲线施加的微小扰动方程为：

 

其平衡微分方程满足：

 

（14）式代入（15）式求出杆件的欧拉临界轴力Ncr。

 

(16)式中S为曲线长度，r为曲线的名义曲率半径，EIx为强轴方向的抗弯刚度，n为简谐波的波数，当n为奇数时为对称失稳，n为偶数时为反对称失稳，一般低阶失稳最易发生，临界轴力最小，n取1或2。

以表格形式列出了常见曲线的欧拉临界轴力。

 

注：*抛物线悬链线组合函数里面，抛物线占主导地位，矢跨比λ见下式：

 

(17)式的前后两个部分分别代表抛物线和悬链线的矢跨比组成。

用   抛物线公式 计算的组合函数曲线长度比实际的曲线长度约小   1.6? ；

用θ代替arcsinh(4λ)计算的组合函数曲线长度比实际的曲线长度约大1.2‰；

用   悬链线公式 计算的曲线长度比实际的曲线长度约小   1.2% 。

矢跨   比λ≤1/12的坦拱 有   跃越失稳的风险 ，其失稳模态为对称失稳，n取1计算。

求解出来曲线的欧拉临界轴力后，可以与实际的轴力比较，得到两端铰接、轴心受压曲杆的稳定系数，同时可以推导其临界均布荷载。

 

注：圆曲线的均布荷载为径向；抛物线的均布荷载为沿横轴分布，重力方向；悬链线的均布荷载沿曲线分布，重力方向；抛物线悬链线组合曲线的自重沿曲线分布，梁和荷载重量沿横轴分布，重力方向，也可以近似将拱自重沿横轴分布。表中系数

 

，代表曲线上各点的斜长与水平长度的比值，拱顶K=1，拱脚    

5.拱的侧倾
 

当作用在拱平面内的荷载达到一定临界值，由于   绕拱纵轴的扭矩和侧向弯矩的复合作用 ，拱离开其平面向空间弯扭形式的平衡状态过渡，发生拱的面外屈曲，也叫侧倾，侧倾为单波形态。

以两端铰接、轴心受压曲杆为例，沿曲线面外施加的微小扰动方程为：

 

其平衡微分方程满足：

 

   

   

联立(18)(19)(20)式求解面外屈曲欧拉临界轴力：

 

以表格形式列出了常见曲线的面外欧拉临界轴力。

 

求解出来曲线的面外欧拉临界轴力后，可以与实际的轴力比较，得到两端铰接、轴心受压曲杆的稳定系数，同时可以推导其临界均布荷载。

 

6.与悬链线m系数法的对照
 

空腹式无铰拱桥一般采用实腹式拱桥推导的悬链线拱轴线，其拱轴线坐标方程如下：

 

   

   

实腹式拱桥m系数法推导的悬链线拱轴线，当m取1时，悬链线变化为抛物线。

空腹式无铰拱桥设计 的时候，无法直接利用定义来确定m的合理取值，   一般按照经验法试算，过程费时费力，很难一步到位 。

利用本文的计算方法 ，可以很顺利的得到合理拱轴线，利用得到的拱轴线坐标，反推m值，可以将方程（10）和方程（23）完美拟合，从数学概念上讲，方程（10）和方程（23）是等价的。

以凤来特大桥为例，主跨580m，矢高116m钢桁拱桥，主拱圈采用Q420qD钢材，按照本文方法和悬链线m系数法计算合理拱轴线如下表。

 

 

 

 

 

调查了目前国内在建的三座特大跨径拱桥，原设计m参数普遍取值过大，偏离合理拱轴线较大，导致拱脚和1/4断面存在较大负弯矩，造成了拱圈材料的浪费。

 

7.结语
 

通过推导合理拱轴线方程，提出了   重强比系数 ，   分离型参数和量纲参数 ，将拱桥的合理线形计算显性化，避免悬链线拱轴m参数法的试算过程；

同时针对不同材料推导了   拱桥的极限跨度 ；

采用扰动方程结合振动分析，对拱的面内和面外屈曲提供了统一的解决方案，对于拱桥的概念设计和技术设计阶段具有指导意义。

提出的   参数化设计思路 ，结合   数字化和智能化设计手段 ，将大大加快设计工作的进展。

相比斜拉桥和悬索桥，拱桥具有主体桥梁长度最短，下承式拱桥梁高较矮，接线桥梁长度较短等优势；

在坚实基础、V型山谷、跨越河流等条件下具有天然的经济优势，相信在不久的将来，拱桥会迎来更大的发展。

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