圆曲线两端缓和曲线不等长的基本曲线形式：第一直线段→第一缓和曲线段→圆曲线段→第二缓和曲线段→第二直线段。曲线形式及各要素如图4所示，由于圆曲线两端的缓和曲线不等长，故曲线中点与圆曲线的中点不一致，一般取曲线交点与圆心的连线与圆曲线相交之点M作为曲线中点。

1 曲线要素计算

2 切线支距坐标计算
缓和曲线： (3-10)
式中：l 计算点至直缓点ZH或缓直点HZ的曲线长，ls 为缓和曲线长度。

圆 曲 线： (3-11)
式中：l 为计算点至缓圆点HY或YH点的曲线长，为该点圆曲线部分的长度，即该点里程与HY或YH点里程之差；φ为弧长l对应圆心角。

3 中桩坐标计算
参见图5，分段对各曲线组成段进行坐标计算。

3.1 HZ点(包括路线起点)至ZH点之间的中桩坐标计算 
此段为直线段，即第一直线段，计算点坐标按下式计算：

 (4-1)

式中：Ai-1,i 为路线导线JDi-1 至JDi 的坐标方位角；Di 为计算点至HZi-1 点的距离，及计算点里程与HZi-1 点里程之差。

实际计算过程中，通过换算Ai-1,i 的反方位角即JDi 至JDi-1 的坐标方位角Ai,i-i 来计算第一直线段中桩坐标。计算式如下：

 (4-2)

式中：Di 为计算点至JDi 的距离，及计算点里程与JDi 里程之差。
3.2 ZH点至YH点之间的中桩坐标计算
此段包括第一缓和曲线及圆曲线，可按式(3-10)和式(3-11)先分别计算出切线支距坐标x、y，然后通过坐标变换将其转换为测量坐标X、Y。坐标变换公式为： 

 (4-3)

当曲线为左转角时，应以yi=-yi代入；ZHi点的坐标采用(4-2)计算。

3.3 YH点至HZ点之间的中桩坐标计算

此段为第二缓和曲线，仍按(3-10)计算切线支距坐标，再按下式转换为测量坐标：

 (4-4)

当曲线为右转角时，应以yi=-yi代入。

实际计算过程中，Ai,i+1应换算成Ai-1,i与转角α的关系式，即：

 (4-5)

当为右偏角时取“+”号，当为左偏角时取“-”号。

4 中桩切线方位角计算

如图5，第一直线段切线方位角即Ai-1,i，第二直线段切线方位角即Ai,i+1。第一缓和曲线段、圆曲线段及第二缓和曲线段切线方位角计算分别如下：
4.1 第一缓和曲线段切线方位角计算

 (5-1)

式中：右转角时G=1，左转角时G=-1；其中l为计算点至ZHi点的里程差。

4.2 圆曲线段切线方位角计算

 (5-2)

中：G同前；β1按式(3-1)计算。

4.3 第二缓和曲线段切线方位角计算

 (5-3)

式中：G同前； 其中l为计算点至HZi点的里程差。

5 边桩坐标计算
在计算出中桩坐标及中桩法线方位角后，只需给出左偏角(或右偏角)、左边距和右边距，就能求出边桩坐标。如图6所示，左、右偏角只需给出其中任一个，另一个偏角可通过±180°求得。

偏角值输入及计算如图6所示，A为中点切线方位角，WL、WR分别为左、右边距，中桩坐标为Xi、Yi，则边桩坐标计算如下式：

左边桩：(6-1)

右边桩：(6-2)

6 坐标反算

坐标反算即已知路线外任意点坐标，反算该点对应线路中桩里程及至中线的垂距。

如图7所示，AB为一曲线元，点P为一地面点，点P的坐标为已知或可用仪器测得。过点P作垂线PP′，lP为垂足点P′到起点A之间的弧长，DP为点P与线路中线的垂距。由图可知，点P与线路中线相对位置可由2个唯一的量lP和DP确定。由于点P可能位于中线的左边或右边，所以为了区分，DP也分正负，当P点位于线路左边时取负值，反之取正值。

直接求解DP和lP十分困难，故采用趋近原理来达到计算目的。如图7所示，已知曲线元起点A的坐标（XA，YA），过点A的切线方位角αA，地面点P的坐标（XP，YP），现求lP 和DP。

坐标反算计算原理如下：

⑴取点P到起点A法线的垂距l1的绝对值作为lP的近似值，计算该近似弧长对应里程中心桩号(即P1点里程)及中桩坐标与切线方位角；

⑵再以P点到通过P1点法线的垂距l2加上l1作为新的lP的近似值，同样计算该近似弧长对应里程中心桩号(即P2点里程)及中桩坐标与切线方位角；

⑶如此类推，直至计算P点至上一近似弧长对应里程中心桩号法线的垂距绝对值等于0或小于精度要求范围内的某一微小数值(一般取<0.001m)，则此时所得近似弧长对应里程即所求P点对应路线中心桩号(即P′点)，并计算该里程中桩坐标及切线方位角；

⑷根据P点及P′点坐标计算两点间距，即DP；为满足前面所说的当P点位于线路左边时DP取负值，反之取正值的目的，DP值用如下公式计算：

 (7-1)

式中：α法 即P'点处法线方位角。

计算过程中点到直线的垂距公式如下：

(7-2)

该公式推导原理为，分别以P点和P′点坐标及P′点切线方位角和法线方位角计算垂点坐标X或Y

推荐资料（点击文字跳转）：

72.5+135+72.5m箱梁纵向预应力钢束竖曲线、平曲线要素表

根据平曲线要素表在CAD中绘制道路中心线

知识点：基本曲线要素及坐标计算