前言

 

      结构由杆件构成，单个的杆件在受力下会变形，轴力下的拉伸与压缩变形、剪力下的剪切变形、弯矩下的弯曲变形，那么由杆件组成的结构在荷载下各个杆件会产生相应的变形，这些变形宏观体现在结构上会引起结构各处位置的变化，称为结构的位移。

      计算结构位移有两个目的，其一是校核结构刚度，结构变形应满足某一量值，否则首先就不满足结构的适用性。其二，为后续求解超静定结构作铺垫，超静定结构因为有多余约束，仅靠三大平衡方程无法求解，需要补充变形协调条件。具体体现：超静定结构各种解法中力法首当其冲，直接计算位移，建立位移等式；位移法虽说建立的是附加约束上力的平衡方程，但其基本杆件的形常数、载常数是依靠力法求解的，且超静定结构的求解所运用的本质就是力与变形(位移)一一对应，也就是所谓的变形协调；后续的矩阵位移法、力矩分配法又是以位移法原理作为基础的；甚至到了动力学质量的运动方程建立中柔度法同样需要计算位移。从本质上讲结构位移计算的重要性不言而喻，它既是结构求解的一个重要量值，也是求解超静定结构的一个重要纽带。

 

位移计算公式的推导

 

1

   

虚功原理

      首先给出虚功原理的表述，”变形体处于平衡时，外力所做虚功之和=变形体接受的虚变形功“

①先将功按力进行分类，总虚功可分为外力虚功与内力虚功，因内力是成对出现的，故内力虚功为0，变形体在虚位移中的总虚功只有外力虚功W_外，即W_总=W_外

②再将功按位移进行分类，总虚功可分为刚体虚位移上的虚功与变形虚位移上的虚功，由刚体系虚功原理知，刚体虚位移上的虚功为0，总虚功只有变形虚位移上的虚功，即W_总=W_变形

③综上，W_外=W_变形

2

   

W     _外与W     _变形的计算

      功定义为力×位移，虚功区别于实功，在于力与位移这两项中有一项是虚拟状态下的量，另一项为实际状态下的量。或者说力与位移之间是相互独立的，不存在因果关系。

①W_外的计算；为了应用虚功原理，须先假设一个虚拟受力状态，求外力虚功最简单的情况是去掉结构上的实际荷载，仅在所求位移处施加相应的任意大小的力，该力结构中本不存在，是虚设的力，故求解结构位移应用的是虚功原理中的虚力原理，W_外=虚力×实际位移，即W_外=F×Δ，如图：

      注意到，此处的实际位移就是上文所述的虚位移，虚功原理其一的应用条件是在无限小的可能的虚位移上才满足，故此处将实际位移视为无限小的虚位移其实已不严格满足条件，只是一种近似。当实际位移相对于结构尺寸是小量时，误差不大，精度满足工程要求。

      另外，上文中提到的虚力与虚位移中的“虚”并不是一个意思，虚力中的“虚”指的是该力是虚设的；虚位移中的“虚”在此主要指的是这个位移须是个小量，在这里指的是待求的实际位移。

②W_变形的计算；杆件上任一微段的变形可分解为轴向虚变形、剪切虚变形、弯曲虚变形，如图：

同①中所述，公式中的虚变形为实际状态下相应的变形量，力为虚拟状态下的内力，可得微段上的虚功为

dW_变形=F_Nεds+F_Qγ₀ds+Mκds

整个结构的总虚功W_变形=Σ?(F_Nε+F_Qγ+Mк)ds(各杆分别沿杆长对微段虚功进行积分，再将各杆虚功求和)

通过材料力学的知识，将微段的轴向应变ε=F_NP/EA、剪切角γ₀=kF_QP/GA、弯曲曲率κ=M_P/EI代入，得

W_变形=Σ∫F_NF_NPds/EA+Σ∫kF_QF_QPds/GA+Σ∫MM_Pds/EI

其中F_N、F_Q、M表示虚拟状态下的内力，F_NP、F_QP、M_P表示实际状态下的内力。

③综上，平面杆系结构的虚功方程为

F×Δ=Σ∫F_NF_NPds/EA+Σ∫kF_QF_QPds/GA+Σ∫MM_Pds/EI

④引入单位荷载法，如①中所述，虚力可任意虚设力的大小，但当该虚设力为单位力时，方程最为简便，故统一规定虚设力为相应的单位力。

公式简化为

Δ=Σ∫F_NF_NPds/EA+Σ∫kF_QF_QPds/GA+Σ∫MM_Pds/EI

3

   

计算内容的简化

      如上所述，我们通过引入单位荷载法对外力虚功作以简化，已经得出了结构位移计算的一般公式，但不难发现公式右端变形虚功的计算仍非常复杂，需要求三项内力虚功，是否可以简化呢？

      我们知道，梁和刚架及组合结构的受弯杆主要以弯曲变形为主，轴向变形与剪切变形可以忽略，故变形虚功项可仅考虑弯曲的贡献；桁架及组合结构中的二力杆只有轴向变形，故变形虚功可仅考虑轴向变形的贡献。

综上可得，

对梁与刚架，Δ=Σ∫MM_Pds/EI

对桁架，Δ=Σ∫F_NF_NPds/EA

对组合结构，Δ=Σ∫F_NF_NPds/EA+Σ∫MM_Pds/EI

4

   

计算难度的简化

      通过上述简化，在不同变形结构(杆件)中略去了一部分次要因素，虽然计算的项个数变少了，但每一项仍需要计算积分，我们需要一个更简单直接的计算公式。

对梁与刚架，引入图乘法代替积分运算∫MM_Pds/EI，具体如图：

等截面直杆下ds=dx，图乘的每段刚度相同，则1/EI可提出积分号，有，

∫MM_Pds/EI=(∫MM_Pdx)/EI=(tanα∫xM_Pdx)/EI=(tanα∫xdA)/EI

由材料力学中静矩的定义，∫xdA=Ax₀，且几何关系，x₀tanα=y₀,有，∫MM_Pds/EI=Ay₀/EI

对桁架，每杆截面形状和所受轴力一般沿杆长不变，则积分计算可常数化，有，∫F_NF_NPds/EA=F_NF_NPL/EA

综上可得，

对梁和刚架，Δ=ΣAy₀/EI

对桁架，Δ=ΣF_NF_NPL/EA

对组合结构，Δ=ΣAy₀/EI+ΣF_NF_NPL/EA

5

   

一些补充

      上述推导仅考虑静定结构在荷载下的位移计算，现考虑静定结构非荷载下的情况，一般包括支座位移、制造误差or材料收缩、温度变化三种。非荷载情况下静定结构不产生内力，故与荷载下虚功项不同的是，荷载下虚功项中的各虚应变ε、γ、κ是由三大内力引起的，非荷载因素中的制造误差与温度变化下虚功项中的各虚应变ε、γ、κ是由于非荷载因素本身引起的；支座位移下静定结构发生刚体位移，结构无内力，变形虚功为零，通过建立外力虚功为零这个等式来求解位移。具体为：

I.当仅有支座位移时，显然支座反力对结构而言属于外力，支座反力所作虚功=虚拟状态下的支座反力×实际的支座位移，此时W_外=荷载所做虚功+支座反力所做虚功，即W_外=1×Δ+R_{支座(虚拟状态下的力)}×Δ_{支座(已知的实际状态下的支座位移)，}

II.当仅有材料收缩or制造误差时，将其引起的实际变形作为公式中的虚变形(ε、γ、к)直接代入计算即可。

即1×Δ=Σ∫(F_Nε+F_Qγ+Mκ)ds

III.当仅有温度变化时，与材料收缩or制造误差类似，通过推导得出温度变化下的虚变形(ε、κ)的公式(杆件不存在剪切变形，略去γ项)直接代入即可。推导略。

1×Δ=Σ∫F_Nαt₀ds+Σ∫MαΔ_tds/h=Σαt₀A_FN+ΣαΔtA_M/h

 

公式推导逻辑图

 

完整的熟悉了结构位移计算公式的简化，来看下公式推导逻辑图巩固一下吧。

 

小结

 

       实际考试做题中，并不会考这些推导过程，更多的是运用最终简化的公式做到正确快速的计算，但我认为，知其然，也要知其所以然，公式背后的原理才值得深究，很多人经过一年的考研复习，回过头来提到结构的位移计算，脑中仅想到图乘法这个东西，却忘记了公式的根本，体现的是重要的虚功原理，希望大家不会变成一个只会做题的机器，你说呢？

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