1776年法国的库伦（C.A.Coulomb）根据极限平衡的概念，并假定滑动面为平面，分析了滑动楔体的力系平衡，从而求算出挡土墙上的土压力，成为著名的库伦土压力理论。该理论能适用于各种填土面和不同的墙背条件，且方法简便，有足够的精度，至今也仍然是一种被广泛采用的土压力理论。

1.基本假定

　　库伦理论的基本假定为：

①墙后填土为均匀的无粘性土（c=0），填土表面倾斜（β＞0）；

②挡土墙是刚性的，墙背倾斜，倾角为ε；

③墙面粗糙，墙背与土本之间存在摩擦力（δ＞0，称为外摩擦角）；

④当墙后填土达到极限平衡状态时，其滑动面为一通过墙踵的平面。

库伦把处于主动土压力状态下的挡土墙离开土体的位移，看成是与一块楔形土体（土楔）沿墙背和土体中某一平面（滑动面）同时发生向下滑动。土楔夹在两个滑动面之间，一个面是墙背，另一个面在土中，土楔与墙背之间有摩擦力作用。因为填土为砂土，故不存在凝聚力。根据土楔的静平衡条件，可以求解出挡土墙对滑动土楔的支撑反力，从而可求解出作用于墙背的总土压力。按照受力条件的不同，它可以是总主动土压力，也可以是总被动土压力。这种计算方法又称为滑动土楔平衡法。应该指出，应用库伦土压力理论时，要试算不同的滑动面，只有最危险滑动面AB对应的土压力才是土楔作用于墙背的P_a或P_p。

2.库仑主动土压力计算

当挡土墙向前移动或转动时，墙后土体作用在墙背上的土压力逐渐减少。当位移量达到一定值时，填土面出现过墙踵的滑动面BC，土体处于极限平衡状态，那么土楔体ABC有向下滑动的趋势，但由于挡土墙的存在，土楔体可能滑动，二者之间的相互作用力即为主动土压力。所以，主动土压力的大小可由土楔体的静力平衡条件来确定。

（1）作用在土楔体ABC上的力

假设滑动面AC与水平面夹角为a，取滑动土楔体ABC为脱离体，则作用在土楔体ABC上的力有：

（2）E与a的关系

滑动土楔体在以上三力作用下处于静力平衡状态，因此三力必形成一闭合的力矢三角形，如上所示。由正弦定理可知

为求得E的极大值，可令dE/dα＝0，从而解得最危险滑动面的倾角α（过程略），再将此角度代入上式，整理后可得库仑主动土压力计算公式为：

由此可见，在这种特定条件下，两种土压力理论得到的结果是一致的。

同时可以看出，主动土压力合力E_a是墙高的二次函数。将上式中的E_a对z求导，可求得离墙顶深度z处的主动土压力强度p_a，即   

可见，主动土压力p_a沿墙高呈三角形分布，如下图所示。

 墙背土压力合力E_a作用点在墙高1/3处，E_a作用方向与墙背法线成δ角，与水平面成θ角。

若将E_a分解为水平分力E_ax与竖向分力E_az两个部分，则E_ax和E_az分别为

式中：θ—— E_a与水平面的夹角，θ＝ε＋δ，°。

  土对挡土墙墙背的摩擦角↓

挡　土　墙　情　况	摩　擦　角　δ
墙背平滑、排水不良 墙背粗糙、排水良好 墙背很粗糙、排水良好 墙背与填土间不可能滑动	（0－0.33）φ (0.33－0.5)φ (0.5－0.67)φ (0.67－1.0)φ

3.被动土压力计算

当挡土墙在外力作用下推向土体时，墙后填土作用在填背上的压力随之增大，当位移量达到一定值时，填土中出现过墙踵的滑动面BC，形成三角形土楔体，此时，土体处于极限平衡状态。此时土楔ABC在自重G、反力R及E三力作用下静力平衡，与主动平衡状态相反，R和E的方向均处于相应法线的上方，三力构成一闭合力矢三角形。

土楔与墙背的相互作用力即为被动土压力，则被动土压力可由土楔体的静力平衡条件来确定。

按上述求主动土压力同样的原理，可求得被动土压力的库仑公式为：

式中　K_P——库仑被动土压力系数。，K_p为φ、ε、δ、β的函数；其余符号的意义与主动土压力公式相同。

由上式可以看出，库仑被动土压力合力E_P也是墙高的二次函数，因此，被动土压力强度沿墙高仍呈三角形分布，合力作用点在墙高1/3处，E_P的作用方向与墙背法线成δ角，在外法线的下侧。

 

4.库伦理论的实际应用

实际工程中某些较复杂的情况，经简化处理后可用库伦理论求解。

（1）填土表面不规则

下面是填土表面不规则的几种情况。对于此类问题，常按填土表面为水平或倾斜的情况分别进行计算，然后再组合。

对于图a所示的情况，可延长倾斜面交墙背于C点，分别计算出墙背为AB而填土表面水平时的主动土压力强度分布图ABD，以及墙背为BC而填土表面倾斜时的主动土压力强度分布图CBE。这两个图形交于F点，则实际主动土压力强度分布图形可近似取图中ABEFA，其面积就是总主动土压力P_a的近似值。

 

图b的情况可分别计算墙背AB在填土表面为倾斜时的主动土压力强度分布图形ABE，以及虚设墙背BC而在填土表面为水平时的主动土压力强度分布图形BCD。两个三角形相交于F点，则ABDFA图形面积就是总主动土压力P_a的近似值。

 

图c所示的填土表面自距墙背一定距离处开始倾斜。此时应分别计算墙背为AB而填土表面水平时的主动土压力分布图形ABG，墙背为BD而填土表面倾斜时的主动土压力强度分布图形DBF，以及虚设墙背BC在填土表面为水平时的主动土压力强度分布图形CBE。这三个三角形分别交于I、H点，则ABEHIA的面积就是总主动土压力P_a的近似值。

 

（2）折线形墙背

折线形墙背在工程中经常遇到。现以图为例，研究作用于折线形墙背上的主动土压力的计算问题。

先将AB段墙背视为挡土墙的单向墙背，计算AB段的主动土压力强度分布图形和总主动土压力P_a1。再延长CB与地表水平线交于A′， 将 A′BC 视为 单向墙背，计算A′C段的主动土压力强度分布图形，从图中去掉A′B段土压力强度分布，剩下的就是作用在BC段上的土压力强度分布图（图c中的阴影部分）。阴影面积就是作用在BC段的总主动土压力P_a2。因P_a1和P_a2的作用方向不同，还必须求出它们的矢量和作为整个折线形墙背上的总主动土压力。

 

（3）墙后填土表面有均布荷作用

墙背倾斜、墙后填土表面作用有均布荷载的情况，可按库伦理论处理。

在计算土楔重量W时应加上土楔范围内的总均布荷载W_q。采用类似于无超载作用时的公式推 导，可得出此情况下的总主动土压力

式中：ε——墙背与铅垂线夹角；

β——墙后填土表面与水平面夹角；

K_a——无超载时的库伦主动土压力系数；

P_a——无超载时的总主动土压力，kN/m。

 

（4）粘性填土的土压力

当墙后填土为粘性土时，也可考虑用图解法求解主动土压力。如图所示的情况下，滑动土楔的破裂面上以及墙背与填土的接触面上，除了有摩擦力外，还有粘聚力c的作用。根据前述的朗肯理论可知，在无荷载作用的粘性土表层z₀深度内，由于存在拉应力，将导致裂缝出现。所以在z₀深度内的墙背面和破裂面上无粘聚力c的作用。

该表达式不因地表倾角不同而变化。

假定破裂面为ABC，则作用在滑动楔体上的力有：

用与无粘性土同样的方法，试算多个破裂面，根据矢量P和R的交点的轨迹，画出一条光滑曲线，找到最大的P值即为主动土压力P_a。

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知识点：库伦土压力理论