恒定磁场的能量及能量密度

知识点：恒定磁场

现在在电感和感应电动势概念的基础上，就可以来讨论恒定磁场的能量。由于恒定磁场是由恒定电流建立的，考虑从无到有地建立起恒定电流的过程，并认为这样的过程足够缓慢以致于在这个过程中外部做的功完全能转化为磁场的能量。

在外部电源逐渐建立恒定电流从而建立起恒定磁场的过程中的每一瞬时，穿过分布着电流的区域的磁通量在变化（直到恒定电流和恒定磁场完全建立起来，磁通量不再变化为止），这一变化必然在存在电流的区域中产生感应电动势，因此按上述理想假定，外部电源至少要能完全平衡感应电动势并对自由电荷做功才能维持感应电流的存在。设在这一过程中的某一瞬时，外部电源产生的用于建立磁场的电流为 ，相应的感应电动势为 ，外部电源这时应当至少与感应电动势相等从而才能维持这一电流，因此在时间内外部电源做的功为 ，则在恒定电流从0增大到从而建立恒定磁场的整个过程中，外部电源做的功就全部转化为磁场的能量：

上式中， 是单个恒定电流分布的区域的自感。如果恒定磁场不仅仅由单个恒定电流分布产生，而是由多个恒定电流分布 、 、…、 所产生，则产生每一个恒定电流分布 的各自的外部电源，在建立磁场的整个过程中，其电动势除了要平衡该电流分布的自感 引起的自感电动势，还要能平衡其他恒定电流分布在 处引起的总互感电动势 ，于是整个过程中所有的外部电源做的功就转化为磁场具有的能量：

这里的 称为电流分布 所具有的自感磁能，自感 也就是电流分布自身对自身的电感。 称为电流分布区域 对另一电流分布区域 所具有的互感磁能，互感 也就是电流分布 对另一电流分布 的互感， 是所有的电流分布在电流分布区域 产生的磁通量。上式定义的 就称为这一恒定电流分布体系建立的磁场的磁场能。

根据磁矢势的定义，将磁通量用磁矢势沿边界的环量表示，并将所有存在电流分布的区域无限细分后取上式的极限，因而电流元由 换成 ，磁矢势对区域边界的环量变为对整个区域的积分，从而得到：

由于恒定电流不随时间改变，因而这一磁场能量并非储存在恒定电流上，而是储存在磁场中，因此需要将上式进一步用只与磁场本身有关的物理量表示，为此将安培环路定理 代入上式，并利用矢量分析中的公式、散度定理、以及磁感应强度与磁矢势的关系 ，得到：

如果恒定电流只分布在有限区域内，则按式和安培环路定理可知，在距离恒定电流区域很远的距离 处 ， ，作积分的表面 的面积正比于 ，可得在无限远处的表面，上式最后一个等号的第一项为0，于是得到：

这个结果中的被积函数就是应用磁场强度和磁感应强度描述的，单位体积内的恒定磁场的能量，称为恒定磁场的能量密度，相应的数学形式就是：

讨论到这里，经典电磁理论中静磁学理论的最后一个要点——恒定磁场的能量——就介绍完毕了。

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