尬聊变角度桁架模型②

说在前面，为了增加本文的趣味性和可阅读性，帮助读者理解概念，本文尽可能少地罗列复杂公式，试图用最简单的模型把问题讲明白。

1. 压杆角度 θ 与纵筋的关系

为了保证极限状态下形成的桁架受力合理，设计时应该对\theta角的范围进行限制。EN1992-1-1规定，ctg θ  的取值范围由国家附录指定，建议是1 θ <2.5，那么对应的 θ 角范围应该是 22°～45°。

FIB90、德国DIN和欧洲规范EN1992中对压杆角度的限制要求。[1]

那么接下来呢，用一个简单的模型来演示：压杆角度 θ   的在规定范围内的变化对纵向配筋（桁架中的上、下弦杆）和腹筋（桁架中的竖腹杆）的影响。

当然对于一个静定桁架，每一个杆件的内力可以有手算的解析解。这里限于篇幅就不赘述，有兴趣的同学可以自行推导。

有一根简支梁，跨径10m，跨中处施加集中力Fp=100kN，左半部分压杆角度为22°，右半部分压杆角度为45°。下图中 红色为压杆 ， 蓝色为拉杆 。

简支梁变角度桁架模型

单位力100kN下的桁架内力

结构力学 “优+” 的同学肯定觉得，这道题太简单了：简支静定桁架，100kN集中力，剪力就是50kN每侧。

ok，so，竖腹杆的轴力就全是50kN，oh Yeah，全程心算，“概念结构力学”。

不过对比左、右两侧上、下弦杆的内力就有点意思了：

左边，压杆角度小

压杆越平坦， θ   越小，腹杆越少；没人帮忙分担，出了事情只能自己抗，可怜的上、下弦杆的内力贼大，斜压杆自己也很累；

右边，压杆角度大

反过来，如果压杆陡一点，角度 θ   越大，那么会有更多的腹杆帮忙去分担上、下弦杆的内力，把竖向力pick up起来；

众人拾柴火焰高，上、下弦杆的内力就小了，and，压杆自己的内力也小了。

以下引用《混凝土桥梁结构实用精细化分析与配筋设计》P288页的原文：

变角度桁架模型的理论基础仍然来自于桁架理论体系，但是θ 的如何取值确实可以根据设计者对结构的理解“自由”选取的，是“开放”给设计者的。[2]

如果Designer觉得上、下缘的纵筋已经不少，就可以取较大的θ 角度，增加箍筋。如果觉得纵筋配置不足，箍筋过密，那么可以减小θ 角度，以获得更多纵筋和较少的箍筋。[2]

变角度桁架模型最重要的特点就是将腹筋和纵筋组成一个整体考虑，在保证两者总的抗剪capacity满足demand时，又可以满足配筋的构造要求。[2]

有了上述算例和严肃论述，相信读者就不难理解“变角度桁架模型”的真正奥义了。

技能解锁+1。

2. 变高悬臂梁桁架模型

2.1 直线变高桁架模型

接下来，稍微加一点难度，如果是一根变高悬臂梁，桁架模型会是什么结果呢？

梁底按直线变化的变高梁桁架模型

假如有一根变高悬臂梁，悬壁10m，梁高从根部3m变化到梁端1.5m，梁顶水平，梁底按直线变化，3米端固结。假定压杆倾角都是45°。

荷载工况：悬臂端集中荷载100kN（向下）；

桁架内力和悬臂梁剪力图

结构力学“ 优+ ”的同学肯定又觉得，这道题太简单了：悬臂梁，悬臂端集中力，剪力哪哪都一样，100kN。

那么问题来了？梁一变高，腹杆越靠近固结端，从84kN到49kN，拉力怎么会越来越小呢？是谁在帮助腹杆受力呢？

试着计算最后一根斜压杆截面内的竖向剪力合力，看看

斜腹杆的竖向分力，V strut :

受压下弦杆的竖向分力，V bottom chord

于是，竖向合力，V total 等于

我去，加起来刚刚好等于竖向剪力100kN，难道？

下弦杆轴力的竖向分力 V bottom chord 可以为截面抗剪提供贡献，在这个模型里，受压下弦杆对竖向抗剪的贡献约有47/100≈47%。

容我三思?Baidu

2.2 二次抛物线（Parabolic）变高桁架模型

如果觉得直线变高太单调了，我们接下来要玩一点有趣的变化，把梁高按梁底2次抛物线进行变化，然后重复上述动作，看看结果如何？

梁底按2次抛物线变化的桁架模型

梁底2次抛物线桁架模型内力结果和竖向力分配

上述表格的结果就很有意思了，在梁底按2次抛物线变化时，最靠近固结端的区间， 下弦杆对竖向抗剪的贡献达97.2% ；相反， 斜腹杆对竖向抗剪几乎没有贡献 。

看来，这个例子也告诉了我们， 桁架下弦杆搞成抛物线，挺好看的，就是和直线比，压力大了21%。压力??????。瞬间想到了“工程师之戒”，加拿大魁北克大桥的故事。

魁北克大桥第一次事故发生前的照片

（https://csce.ca/en/historic-site/the-quebec-bridge/）

魁北克大桥第二次事故发生前的照片

（https://csce.ca/en/historic-site/the-quebec-bridge/）

2.3 附加题

不过，如果再来一点变化，给读者留下两道思考题，有兴趣的读者可以在下方留言。

如果边界条件和外荷载不变，其他条件如下，竖向剪力是如何分配的？

• 梁底按3次抛物线变化;

• 如果考虑梁顶纵坡，比如+5%，梁底2次抛物线变化;

附加题

3. 验 证（Verification）

为了验证上述理论的合理性，在Midas Civil中使用板单元建立了“等高”和“变高”悬臂箱梁模型，顶板水平无纵坡，并在自由端施加100kN的竖向力，使用Civil自带的板单元积分功能（Local Direction Force Sum）计算板单元内力，而从得到悬臂根部顶板、腹板、底板的竖向力分配情况。

“等高”和“变高”悬臂箱梁模型，自由端100kN竖向力

对于悬臂梁，挑臂根部全截面竖向力合计应为100kN。对于等高悬臂梁，从下图积分的结果来看，每侧腹板承担了49.9kN的竖向剪力，可以说：

对于等高截面，假定全截面竖向力仅由腹板承担是充分、合理的。

等高悬臂梁腹板承担全部竖向力

但是，对于 变高悬臂梁，结果就有点意思了 。无纵坡的顶板依旧没有贡献任何竖向抗力。两侧腹板合计竖向抗力62.4kN；

底板因为变高，局部坐标系下Fx，Fy在整体坐标系下的竖向合力为36.5kN。顶板、腹板和底板三者竖向合力约为100kN，满足隔离体平衡条件。

变高悬臂梁，挑臂根部竖向力的分配

对于上述变高悬臂梁模型， 挑臂根部竖向力抵抗分配约为： 顶板0%，腹板62.4%，底板36.5%， 验证了桁架模型竖向力分配假设的合理性。

因此，对于变高截面，挑臂根部底板的竖向抗力相当可观的。若设计仍考虑全截面竖向力仅由腹板承担，可能会导致该处腹板厚度富余（over-design）。

4. 变高度连续梁箱截面剪力分配的思考

任意均布荷载下的变高度连续梁桁架

（From ETH Zürich | Vorlesung Stahlbeton I Querkraft ）

对于变高度连续梁的腹板厚度，根据剪力ULS组合包络图设计，通常跨中处薄，靠近墩顶处加厚。

但是，实际上箱梁腹板上的剪力还是非常复杂的，是竖向剪力V shear ，自由扭转剪力流和约束扭转畸变的耦合的结果。不过，其中占大部分的还是竖向剪力 V shear 。

竖向剪力，自由扭转剪力流，约束扭转畸变的耦合

对于箱梁的竖向抗剪承载力V R,shear ，其中主要又由三方面的贡献，即：

• 腹板抗剪， V R,web

• 顶板纵坡导致的竖向分力 V R,deck

• 变高梁底板的竖向分力V R,soffit

如果仅考虑全部竖向剪力仅由腹板承受，而忽略 V R,deck 和 V R,soffit 这两项，即：

这是一个保守却又偏安全的假设。

不过，如果可以分别计算出上述三部分对竖向抗剪贡献的比例，举个栗子： 顶板、腹板、底板的竖向抗剪比例为5%、75%、 20% ，并考虑顶、底板竖向分力的贡献，就可以为 腹板厚度降低25% 提供条件。

于是，如果想优化箱梁根部腹板厚度，可以从桁架模型入手。

5. 下集预告

估计有的同学会留言说：

“固体力学的三大支柱，平衡方程（ Equilibrium ）、协调方程（ Kinematics ）、本构关系（ Constitutive ）。你这个什么乱起八糟桁架搞来搞去也都只是在玩” Equilibrium “，根本还没有”本构“和”协调“嘛。”

我只想说：”同学，厉害了！“

下一集，让我们一起进入M.P.Collins大神所创立的 “修正压力场理论“（Modififed Compression Field Theory, MCFT)的世界。