李乔说桥-44：由约束扭转所联想到的

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No.1

力学行为解析思路的相似性

在长期的教学实践中，作者始终坚持课程内容与科学研究方法并重的理念，在讲解课程内容的同时，也对这些内容的研究方法和思路进行解释，并总结其与以往学过的知识之间的关联和相似性。本文拟通过开口薄壁杆件约束扭转问题的研究思路，来展示与结构或构件相关的力学问题在研究方法上的相似性。鉴于这个目的，文中并不完整地列出全部推导过程和公式，只是展示问题研究思路的主线。

回顾一下学过的材料力学、弹性力学等工程力学知识，可以6发现在进行构件或固体力学行为分析时，所采用的基本途径（或通俗地说是基本套路）是相似的：先设定问题的前提条件，即基本假设；接着通过变形分析找出位移与应变之间的关系，即几何方程；再通过应力-应变关系（即物理方程）得到应力与位移之间的关系，通过平衡条件得到内力与应力或内力与位移之间的关系。然后，通过微元体分析，利用平衡条件、协调条件、能量方法等推导出问题的控制微分方程。根据具体情况，给出初始条件和边界条件，求解微分方程，得到问题的解答。

控制微分方程是所研究问题的数学描述，不仅力学问题如此，所有物理学及相关领域的理论大都会归结为一个或一组微分方程，例如广义相对论方程、薛定谔方程、麦克斯韦方程等等，这是科学与数学在探索宇宙奥秘中的完美结合。

扯远了，回归正题，从以上的叙述可以看出，研究结构、构件、块体等各种力学行为的基本途径具有相似性，所以，如果你是一位博士或硕士研究生、年轻的教师、研究人员或工程技术人员，当你希望进行一项新的力学行为问题研究时，不要首先想着用有限元计算，虽然那是一个强有力的计算工具，但毕竟只是计算工具，不能代替数学方程来描述规律。你应该试一下，看可否通过前述的基本途径推导出控制微分方程，即使导出的方程不能求得解析解，也可以通过微分方程及变形分析得到很多解析的规律性东西，对了解问题的本质具有指导性作用。

如果读者对约束扭转不太熟悉，则建议在阅读本文之前，首先读一下李乔说桥-40，以便于理解本文的一些术语。

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No.2

必要前提—基本假设

与物理学等基础理论研究不同，作为应用基础理论的工程力学问题都有其适用范围和前提条件，所以都要首先明确其基本假设。开口薄壁杆件约束扭转问题的基本假设如下：

（1）材料为弹性、匀质、各向同性的，且服从胡克定律；

（2）小变形假设；

（3）扭转时横截面周边（各分肢中线）投影不变形，即横截面不发生畸变（见图1）；

（4）   忽略中曲面上的剪应变。  

 

图1 周边投影不变性假设  

前3个假设较为容易理解，现解释一下第4个假设。由于中曲面上存在约束扭转剪应力，所以也存在剪应变，但实验和理论都证明，约束扭转剪应变与自由扭转剪应变相比很小，在分析位移与变形规律时可以忽略不计，从而使问题得以简化。这个假设是开口薄壁杆件约束扭转理论的关键。

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No.3

前序铺路—变形与应力、内力分析

（1）坐标系  

坐标系是任何研究和分析的基本参照系，所以必须首先明确定义，否则就会带来混乱和错误。

本问题总体坐标系如图1所示，z轴顺杆件轴线方向，与x和y轴构成右手坐标系。流动坐标系如图2所示，s和n分别为周边切线和法线方向坐标轴。

（2）翘曲位移分析  

约束扭转就是指翘曲位移受到约束的扭转，所以有必要先分析翘曲位移的分布规律。   首先分析自由扭转时翘曲位移，然后根据基本假设（4），以此来表达约束扭转时的翘曲位移。  

图2(a)所示为开口薄壁杆件自由扭转时的剪应力分布规律，其在中曲面上为零，由物理方程知，中曲面上剪应变     必为零，即：  

 

图2 剪应力与扭转变形  

其中：w=w(z,s)为周边纵向（z向）翘曲位移，v=v(z,s)为周边切向（s向）位移。

参考图2(b)，图中θ为扭转角，s   _o 为坐标s的起点，r(s)为扭转中心A到周边任意一点M的垂直距离。根据小变形假设，可得:

代入式(1)并积分可得:

式中w   _o   (z) 为s积分起点s   _o 处的翘曲位移。

将式(2)代入并设

可得开口薄壁杆件自由扭转翘曲位移表达式:

ω(s)称为扇性坐标，因其等于图2c中扇形   As   _o   M 面积的2倍，在式(4)中又起到一个坐标（广义坐标）的作用，故得名。

（3）应力与内力  

在约束扭转情况下，翘曲位移受到约束，所以对应的约束扭转正应变为:

如果采用主极点和主零点为参考点（见文献[1]），则有     。   再由胡克定律，可得约束扭转正应力:  

 

作为杆件，横截面上的应力一定对应着一个内力。但由于约束扭转正应力在横截面上是自相平衡的，所以其对应内力不是诸如弯矩那样可以通过平衡条件得到的常规意义上的内力，而是一个广义内力。我们定义这个广义内力为:

并且把B   _ω 称为双力矩，因为从上式可以看出它的量纲为力乘以长度的平方，例如kN-m   ² ，相当于力矩再乘以长度，为力矩之矩，故称为双力矩。而     ，称为扇性惯性矩或抗翘曲惯性矩，量纲为m   ⁶ 。

将式(7)代入式(6)，可得如下用双力矩表示的约束扭转正应力，形式上与弯曲正应力表达式非常相似，而且明显看出ω(s)相当于一个坐标。

因采用了中曲面剪应变为零的基本假设(4)，所以不能利用几何与物理方程求得约束扭转剪应力τ _ω ，而要类似求解弯曲剪应力那样，利用分离体平衡条件求得τ _ω 。 类似前面的分析，亦可推导出约束扭转力矩   M _ω   、自由扭转力矩   M _t   及剪应力   τ _t   （限于篇幅，此处略去推导过程），即：

其中，I   t 为圣维南扭转常数，   为部分面积扇性静面矩。

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No.4

规律描述—控制微分方程

前面已经推导出所有应力和内力表达式，但其中都含有一个未知函数-扭转角θ(z)，需要建立   关于 θ(z)的控制微分方程才能求解。建立微分方程可以采用能量法，也可以直接采用微分杆段平衡条件，本文采用后者。

从图3a所示受扭杆件中取一长度为dz的微分杆段，其受力状态如图3b所示，两端横截面上作用有扭矩L(z)和L(z)+dL(z)，杆段上作用有分布外扭矩m(z)。其中扭矩L(z)是横截面上的总扭矩，等于约束扭转力矩M   _ω (z) 和自由扭转力矩M   _t (z)之和，即:

利用微分杆段的扭矩平衡条件，可得：

 

图3 微分杆段的平衡力系  

将式(9) 、(10) 及(13)代入并整理，可得开口薄壁杆件约束扭转控制微分方程：

其中   。

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No.5

必要条件—初始条件或边界条件

控制微分方程(14)为四阶常微分方程，其通解含有4个待定积分常数C   ₁ ~C   ₄ ，必须另外找出4个初始条件或边界条件来确定它们。对于受扭杆件，总是能根据其两端的约束及受力情况找出4个边界条件的。

因待定积分常数C   ₁ ~C   ₄ 只有数学意义，而无明确的物理意义，使用不方便，所以可先用z=0处有明确物理意义的4个初始条件：

表示4个积分常数C ₁ ~C ₄ ，从而列出各位移和内力的表达式。 θ o 、θ o '、B o 、L o 称为初参数，含有它们的位移和内力的表达式称为初参数方程。 在进行具体构件分析时，可利用具体的边界条件确定4个初参数。 本质上还是相当于利用边界条件确定积分常数，只是为了使待定常数具有物理意义，从而可以利用其力学涵义方便地确定其值。

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No.6

利用物理意义求微分方程特解

控制微分方程(14)是一个非齐次微分方程，由高等数学可知，其通解为对应齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的一个特解。由于方程是典型的形式，所以采用纯数学方法容易求得其齐次通解，将其求导并代入各内力表达式，然后采用初参数表达积分常数，便可得到含有4个初参数的内力与位移表达式，即初参数方程：

其中：

[P(z)]为4×4的矩阵，称为影响矩阵，描述{F(z)}随z的变化规律。

对于其非齐次特解，如果仍采用纯数学方法求解较为麻烦。此时要再次   充分利用前面提到的思路，即充分利用物理意义进行求解，这样可避开繁琐的数学推导而达到同样的目的。  

观察方程(14)，使其成为非齐次方程的右端项m/EI   ω 是外扭矩的影响。参考图4，如果把距离原点ξ的微分杆段dξ上的外扭矩合力矩mdξ看作是一个集中扭矩，那么它对z>ξ的截面之影响规律，与总扭矩初参数L   ₀ 对这些截面的影响规律应该是相同的，只不过二者作用的位置不同而已。所以，可以利用关系式(16)中对应初参数L   ₀ 的函数（矩阵[P(z)]的对应元素）来描述mdξ的影响，但须把坐标z换成z-ξ，以反映作用位置的不同。于是均布外扭矩m对截面z总的影响等于将mdξ的影响从ζ到z的积分，这就是微分方程的非齐次特解。

对于其他类型的外力，也可采用类似的方法求得其对应的影响，即非齐次特解。

 

图4 分布外扭矩的影响  

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No.7

总结

通过上述的分析和推导过程，可以大致了解结构或构件的力学行为研究的基本路径，并对其中常用的策略和技巧有所感知。当然，文中所及仍然有限，虽然管中窥豹，但移动管口多窥几斑，亦可略知豹色。

参考文献  

[1] 奚绍中、郑世瀛，应用弹性力学（第8、9章），中国铁道出版社，1981.12第1版。

2022.4.30 于成都

 

作者简介   ： 李乔   ，西南交通大学教授，博士生导师，在中国公路学会桥梁分会等学术组织任常务理事或理事，在多个重要学术期刊任编委会委员。曾任国务院学科评议组成员、全国土木工程专业评估委员会委员、国家科学技术奖会评专家等。研究兴趣为桥梁结构力学行为、大跨斜拉桥结构理论及施工控制方法等。主要理论成果：提出结构的过程-状态相关性原理及曲线箱梁空间分析理论等。主要技术成果：研发桥梁结构分析系统BSAS、桥梁非线性分析系统NLABS及曲线桥分析系统ASCB等软件系统，长期在多家设计院使用。  

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