李乔说桥-40：十分钟理解约束扭转

自由扭转与约束扭转

    为便于理解约束扭转，首先回顾一下材料力学中关于杆件扭转分析的内容。如图1a所示，在材料力学中，主要讲述圆形截面直杆的扭转分析方法，包括实心圆杆和薄壁圆管。这种圆形截面杆受扭变形有一个重要特征，即平截面特征，受扭前为平面且与杆件轴线正交的横截面，受扭后仍然为平面且与杆件轴线正交，并且横截面上各点处无轴向变形。而对于矩形截面杆件（图1b），受扭后横截面不再为平面，横截面上各点处会发生大小和方向各不相同的轴向变形。这种非均匀的轴向变形被称为翘曲(warping)，图1b中杆件右端红色虚线所示为矩形截面边缘处翘曲位移示意图，为清晰，此处将其画在了截面变形前原位置上。除了矩形截面杆件外，实际工程中使用的多数非圆形杆件受扭后都会发生翘曲。

    知道了翘曲现象以后，就可以定义自由扭转和约束扭转了。翘曲不受约束的扭转称为自由扭转，翘曲受到约束的扭转则称为约束扭转。

    很显然，圆形截面直杆受扭本来就没有翘曲，自然不存在受到约束的问题，所以属于自由扭转。除了圆形截面外，正多边形截面也不产生翘曲位移，这可以从正多边形边数趋于无穷时就变为圆形这点来理解）。而矩形等受扭时有翘曲的杆件，如果翘曲没有受到约束，可以自由地变形，就属于自由扭转，否则就属于约束扭转。

图1 杆件受扭变形示意图

   

   

   

判别准则

    虽然根据上节的定义可以判别自由扭转和约束扭转，但过于抽象，不熟悉的人很难一眼看出翘曲是否会受到约束，不便于应用。

    对于有翘曲的杆件，通过受力特征分析可以总结出更直观的判别准则，即满足“等截面直杆，外扭矩只作用在两端，各横截面无对翘曲的外加约束”这三个条件时，为自由扭转，否则为约束扭转。

    有人可能会问：有上述第三个条件就够了，前两个条件不是多余吗？

    请注意，对于翘曲位移的约束不仅来自外部的直接约束，如固结约束或刚性块约束等，还有来自杆件内部的约束。当杆件的扭矩沿轴向不是常量时，翘曲位移也不是常量，因而相邻截面由于变形不一致就会产生相互制约，即产生相互约束效应，从而发生约束扭转。

    回到上述的前两个条件：如果杆件是变截面杆、曲杆或外扭矩作用在杆件中间区域，则杆件的扭矩必然不是常量，必然会产生对翘曲的内部约束，从而发生约束扭转。

   

   

   

约束扭转引起的附加应力

    首先，由于翘曲位移受到约束，翘曲引起的横截面上任意一点处的轴向位移w的轴向（z轴）变化率dw/dz不为零，因此会在横截面上引起正应力，                 

    该正应力称为约束扭转正应力或翘曲正应力。

    此外，由于翘曲位移与扭转引起的其他效应耦合，因此约束扭转还会引起其他附加应力，包括约束扭转剪应力、畸变剪应力以及扭曲应力等。

    理论分析和试验结果都表明，约束扭转引起的附加应力只在薄壁截面杆件中有较大的数值，有时跟弯曲应力属同量级，在其他截面形式杆件中数值很小，工程上可以忽略不计。工程结构中的钢制杆件绝大多数都属于薄壁杆件（图2，图3a），而混凝土箱梁等也属于薄壁杆件（图3b）。

    对于开口薄壁杆件，仅需考虑约束扭转正应力，而对于闭口薄壁杆件，需考虑约束扭转正应力、约束扭转剪应力、畸变剪应力和扭曲应力，其中的约束扭转正应力在混凝土箱梁中因数值不大而可忽略，扭曲应力在钢箱梁中一般数值也不大。

图2 型钢薄壁杆件杆段

(a)

(b)

图3 混凝土箱梁及钢箱梁截面

   

   

   

翘曲位移的发生机理

    翘曲位移对于约束扭转如此重要，那么它是如何产生的呢？如图4所示的具有两个对称轴的工字形截面薄壁杆件，在一对力P构成的力偶矩作用下，其各横截面的上下翼缘绕扭转中心转动，其水平位移分量相当于每个翼缘在其自身平面内发生了横向弯曲，导致横截面发生绕竖直轴的转动，从而引起横截面上各点处的纵向位移w。因上下翼缘横向弯曲方向相反，因此对应位置的纵向位移w也相反，横截面不再保持为平面，这就是翘曲位移。

图4 开口薄壁杆件的约束扭转

图5 闭口薄壁杆件的约束扭转

     对于其他形状横截面杆件，其变形规律虽然没有工字形那样显而易见，但基本机理是相同的。例如矩形闭口薄壁截面杆件（图5）受扭后，其顶底板和两个腹板也会发生各自平面内的弯曲变形。由于各板件在截面角点处互相连接在一起，因此相连板件在此处的纵向位移会相互约束，该处总的纵向位移等于各相交板件纵向位移相互约束后的结果。显然，如果是两个板件相交且各自的纵向位移等值反向，则该处总的纵向位移为零；如果截面上每个相交点处都这样，这个截面就不发生翘曲，比如相同材料的等壁厚正方形截面就是如此。

    上述的翘曲位移是由于横向弯曲产生的正应变和剪应变双重变形所引起的，但对于开口薄壁杆件，自由扭转剪应力在中曲面上为零，不引起面内剪切变形，而约束扭转剪应变又很小，因此每个板件在其面内的弯曲变形服从平截面假设，但杆件整个横截面各板件弯曲方向不同，因此整个横截面不服从平截面假设。而对闭口薄壁杆件，由于自由扭转剪应力和约束扭转剪应力在中曲面上都不为零且不可忽略，各板件的面内弯曲变形不符合平截面假定，因此存在两类理论方法，一类是把剪切变形均摊在板件宽度范围内，认为翘曲引起的纵向位移在板件宽度范围内仍按直线规律变化（如图5），但变形后的板件截面不再正交于其轴线；另一类对纵向位移采用非线性分布规律，这类方法主要应用于不考虑横截面畸变的情况。

   

   

   

为何薄壁闭口截面比开口截面抗扭刚度大得多？

    众所周知，对于薄壁杆件，闭口截面比开口截面的抗扭刚度要大得多，一般会大1到2个数量级，所以大跨度桥的主梁多采用闭口截面形式的箱形梁。但为什么会是这样呢？不要直接拿二者的抗扭刚度公式来解释，因为当被问为什么时，是要回答其原理，而不是数学公式。

    以图6所示的双对称矩形闭口和开口薄壁截面为例来说明，其他类型截面的原理与此相同。图中的开口薄壁截面是由闭口截面在底部中间切开一个很小的切口得到的。如果不计切口的面积，则二者的面积和抗弯惯性矩相同。同时注意，切口后，截面扭转中心A从形心位置移到了顶板上方。

    假设二者受扭时均为自由扭转，且受相同扭矩T，则抗扭刚度越大，其扭转剪应力就会越小，反之亦然。实验和理论均表明，二者的扭转剪应力τ分布如图所示。由图可知，将各板剪应力合力τth或τtb乘以它们到扭转中心A的距离（力臂）并求和，即得闭口薄壁截面的剪应力所合成的扭矩，即 T ₀ =2[(τth)b/2+(τtb)h/2]，它们的力臂分别是b/2和h/2；而开口薄壁截面每个板件中线外侧和内侧剪应力合力τth/4（或τtb/4）恰好等值反向，构成一个力偶矩，力臂为2t/3。因此整个截面的剪应力所合成的扭矩为 T ₁ =2[(τth/4)2t/3 +(τtb/4)2t/3]。由于薄壁截面的壁厚t远小于板的宽度b或h，且闭口薄壁截面剪应力沿壁厚为同向均匀分布，开口薄壁截面剪应力沿壁厚线性分布且内外侧方向相反，因而图中二者的剪应力合力也相差4倍。所以，如果二者剪应力τ相等，闭口截面剪应力合成的扭矩 T ₀ 远大于开口截面的合成扭矩 T ₁ ，即前者抗扭能力（即抗扭刚度）远大于后者。

    进一步简化可得： T ₀   =τtΩ， T ₁ =τt2S/3。其中Ω=2hb，为周边所围面积的2倍；S=2(h + b)，为周边长度。可明显看出， T ₀ >> T ₁ 。

图6 闭口及开口薄壁杆件的扭转剪应力及合力

   

   

   

有限元计算中是否包含了约束扭转效应？

    有限元软件是目前计算分析桥梁等结构的有力工具和主要手段，其计算结果中是否包含了约束扭转效应呢？这要看你采用什么单元模型进行计算。如果采用一般的平面梁单元（每节点3自由度）或者空间梁单元（每节点6自由度），则没有考虑约束扭转效应；如果采用带有约束扭转自由度的梁单元，则包含了部分或全部约束扭转效应。比如每节点7自由度（6个常规自由度加一个翘曲自由度），则可计算开口薄壁杆件或不考虑畸变的闭口薄壁杆件结构，而若每节点还有畸变相关自由度，则包含了全部约束扭转效应。

    如果采用壳单元模型，并且划分为较密的单元网格，则包含了所有的约束扭转效应在内。但如果单元网格很稀疏，比如箱梁的每块板在横向只用一两个单元模拟，则无法准确模拟约束扭转效应。实际上这样稀疏的网格对所有的力学效应都不能较好地模拟。

2022. 3.9  于海南

   

   

   

作者简介：李乔，西南交通大学教授，博士生导师，在中国公路学会桥梁分会等学术组织任常务理事或理事，在多个重要学术期刊任编委会委员。曾任国务院学科评议组成员、全国土木工程专业评估委员会委员、国家科学技术奖会评专家等。研究兴趣为桥梁结构力学行为、大跨斜拉桥结构理论及施工控制方法等。主要理论成果：提出结构的过程-状态相关性原理及曲线箱梁空间分析理论等。主要技术成果：研发桥梁结构分析系统BSAS、桥梁非线性分析系统NLABS及曲线桥分析系统ASCB等软件系统，长期在多家设计院使用。

来源：西南交大桥梁/李桥