这学期正在上《高层建筑结构设计》，虽然这门课已经上了好几年了，但每次讲到“结构稳定”这一小节，心里总有点虚，因为自己对书上内容理解得也不是很明白。以下是教科书（包世华、张铜生编著）上的相关内容：

“高层建筑结构的稳定设计主要是控制在风荷载或水平地震作用下，重力荷载产生的二阶效应不致过大，以免引起结构的失稳、倒塌。结构的侧向刚度和重力荷载之比（简称刚重比）是影响重力 P - Δ 效应的主要参数。只要结构的刚重比满足下列规定，则在考虑结构弹性刚度折减50%的情况下，重力 P - Δ 效应仍可控制在20%之内，结构的稳定具有适宜的安全储备。若结构的刚重比进一步减小，则重力 P - Δ 效应将会呈非线性关系急剧增长，直至引起结构的整体失稳。”

上面这段文字实际上是《高层建筑混凝土结构技术规程（JGJ 3-2010）》（以下简称《高规》）的5.4.4条的条文说明，上述的“下列规定”就是5.4.4条的条文内容：

1 剪力墙结构、框架-剪力墙结构、筒体结构应符合下式要求：

2 框架结构应符合下式要求：

以上两式中的 EJ _d 和 D _i 为等效抗侧刚度（更完整的定义可参看规范条文）， G _i 为每层的重力荷载， H 和 h _i 分别为结构总高度和层高。一般认为剪力墙、框剪和筒体结构是整个结构发生失稳，而框架是局部楼层失稳，所以就有了上面的区别对待。前面提到的“ 刚重比 ”用符号表示就是 和 。

后来我又找到了以上条文的由来，为徐培福和肖从真两位前辈大师于2001年发表的论文 ^[1] ，文中推导了考虑P -Δ 效应和不考虑P -Δ 效应的侧移比（采用的是简化方法，有些情况下误差可能会比较大），并给出了侧移比随刚重比变化的曲线，进而有了“ P - Δ 效应增幅大于20%后，结构刚重比稍有降低，会导致 P - Δ 效应急剧增加，甚至引起结构失稳”的结论。

而我一直的困惑是

结构失稳到底是怎样的？能给人一个直观感受吗？

P - Δ 效应大点难道就会失稳吗？

如果本来一阶位移就很小呢，也会失稳吗？

看了两位前辈大师的论文，还是没有打消我心中的疑问，于是，我只好自己翻书琢磨，以下是我的琢磨所得。

1

在谈高层结构的稳定之前，我觉得有必要先回顾下结构稳定的一些基本概念。简支压杆通常被用来介绍稳定的基本概念，其临界荷载 N _cr 为

上式是根据完全直杆发生微小侧移后存在平衡位形这个条件得到的，其推导过程在《材料力学》和《钢结构》教科书中一般都会给出，这里就不再详述了。

图1  简支压杆的变形

真实杆件都有初始缺陷（initial imperfections），也就是说，压杆不是完全直的。假定杆件的初始位形 v ₀ 为

由杆件各截面的弯矩平衡可得如下控制方程：

上述微分方程的解为

柱中的侧向位移（包括初始位移）为

上式也可以改写成如下形式：

由上式得到的轴力-柱中侧向位移（ N - δ ）曲线如下图所示。

图2  弹性分析得到的 N - δ 曲线

由上图可知，轴力存在上界，即临界荷载 N _cr ；当轴力趋向于临界荷载时，水平位移会急剧增大。换个角度讲，如果轴力是按位移控制施加的（结构试验一般属于这类情况），那么压杆会承担着接近于 N _cr 的轴力一直变形下去。

实际情况真是这样的吗？当然不是！前面的公式是在结构完全弹性的前提下推导得到的， 真实结构不可能一直处于弹性状态，受力最大的位置总会达到材料强度，上述压杆是不可能维持着接近 N _cr 的轴力一直变形下去的 。

所以， 要描绘出简支压杆的真实受力行为，必须引入材料强度 。

2

我们假定材料是刚塑性的，则对于矩形截面，可以推导得到给定轴力 N 下的截面受弯承载力：

上式就是正截面承载力分析常用的 N - M _u 相关关系。式中， M _p 为轴力为0时的受弯承载力， N _p 为轴心受压承载力。对于刚塑性模型，柱中（弯矩最大处）会形成塑性铰，如下图所示。由弯矩平衡可得

图3  简支压杆的刚塑性分析模型

联立上面两式可以得到形成塑性铰后的 N - δ 关系：

把由弹性分析和刚塑性分析得到的 N - δ 曲线画在同一张图上，可以大致描绘出构件的全过程荷载-位移响应。下图曲线对应 N _cr / N _p = 0.5、 M _p = 0.04 N _p l 、 δ ₀ = l /200的情况。

图4  弹性分析和刚塑性分析得到的 N - δ   曲线与真实响应的关系

在构件初始屈服前，真实 N - δ 曲线与弹性分析得到的一致，屈服以后，真实曲线会偏离弹性分析得到的曲线，并逐步向刚塑性分析得到的曲线靠近。 塑性铰形成后，由于 P - Δ 效应，压杆的承载力会逐步降低 。

以上公式推导在文献[2]中都能找到，并非我的原创。

3

前面谈了简支压杆的失稳，作用荷载只有轴力。高层结构的受力状况与其不同，它虽然也承担轴力作用（由重力荷载引起），但高层结构的轴力水平是被控制的，它不会直接导致结构失稳。我们更关心的是，在水平荷载作用下，由重力二阶效应（ P - Δ 效应）导致的结构失稳。

为简化分析，我们用一根底部固接的悬臂杆来代表高层结构，轴力 N 和水平力 F 都作用在悬臂杆顶端，如下图所示。实际竖向荷载和水平荷载都是分布的，但采用集中荷载并不会影响我们对稳定问题的解释，只是推导得到的位移和内力结果会与荷载分布的情况相差一个系数。

图5  高层结构受力分析模型

在结构变形后的位形上建立平衡方程（即考虑二阶效应），可得弹性杆件（无分布荷载作用）位移响应的控制微分方程为

上式的推导过程可参看陈惠发先生的著作 ^[3] ，再结合底部固接悬臂杆的四个边界条件：

可得悬臂杆的侧移曲线方程为

对于底部固接的悬臂杆，临界轴力 N _cr 为

由上式可得

也就是说， 轴力与临界轴力的比值 N / N _cr 为刚重比 EI / Nh ² 的倒数再乘以0.4 。

由侧移曲线方程可得结构的顶点位移为

上述位移为 考虑二阶效应的顶点位移 。

不考虑二阶效应的顶点位移为

二阶位移Δ _II 和一阶位移 Δ _I 的比值为

由上式可知， 二阶位移和一阶位移的比值 Δ _II / Δ _I 只与轴力水平 N / N _cr （或刚重比 EI / Nh ² ）有关 。下图绘制了 Δ _II / Δ _I 和 N / N _cr 以及 Δ _II /Δ _I 和刚重比 EI / Nh ² 的关系曲线，两条曲线对应的 N / N _cr 的范围都是0.05~0.7（相应的 EI / Nh ² 的范围是8~0.57）。

图6   Δ _II / Δ _I - N / N _cr 和 Δ _II /Δ _I - EI / Nh ² 曲线

有意思的是，上面两条曲线的切线斜率变化幅度相差甚大。对于 Δ _II /Δ _I - N / N _cr 曲线， Δ _II /Δ _I 会随着 N / N _cr 的增大而增大，但在图示 N / N _cr 范围（0.05~0.7）内， Δ _II /Δ _I 并没有随着 N / N _cr 发生剧烈变化。相反，对于 Δ _II /Δ _I - EI / Nh ² 曲线，同样是对应 N / N _cr =0.05~0.7，我们确实能看到：当刚重比 EI / Nh ² 小于某个值（比如2）后， Δ _II /Δ _I 会随着刚重比 EI / Nh ² 的减小而急剧增大，似乎印证了《高规》里说的“若结构的刚重比进一步减小，则重力 P - Δ 效应将会呈非线性关系急剧增长，直至引起结构的整体失稳”。

产生上述两个互相矛盾的感受的原因是啥呢？我们前面说过， N / N _cr 是刚重比 EI / Nh ² 的倒数再乘以0.4，那么，刚重比 EI / Nh ² 也是 N / N _cr 的倒数再乘以0.4。 N / N _cr 从0.1变到0.4， EI / Nh ² 从4变到了1，减小了3； N / N _cr 从0.4变到0.7， EI / Nh ² 从1变到了0.57，减小了0.43。同样是 N / N _cr 增加了0.3，前一次 EI / Nh ² 减小了3，后一次 EI / Nh ² 只减小了0.43。所以， “ 当刚重比 EI / Nh ² 小于某个值（比如2）后， Δ _II /Δ _I 会随着刚重比 EI / Nh ² 的减小而急剧增大”并不是因为 Δ _II /Δ _I 本身在急剧增大，而是在这个范围内，增大轴力对刚重比数值的影响在急剧减小 。

为了更直观地说明这个问题，我们只绘制 EI / Nh ² = 0.57~1（对应 N / N _cr =0.7~0.4）时的 Δ _II /Δ _I - EI / Nh ² 曲线，见下图。这回，我们并没有看到“ Δ _II /Δ _I 随着刚重比 EI / Nh ² 的减小而急剧增大”这个现象。

图7 EI / Nh ² = 0.57~1（对应 N / N _cr =0.7~0.4）时的 Δ _II /Δ _I - EI / Nh ² 曲线

当刚重比 EI / Nh ² 为0.57时， Δ _II /Δ _I 的比值为3.3，也就是说， 考虑二阶效应的顶点位移为不考虑时的3.3倍，这能说明结构有失稳的风险吗？我觉得不能，它只能说明：考虑二阶效应后，结构的抗侧刚度为不考虑时的0.3倍 。

《高规》通过把 P - Δ 效应增幅（即， Δ _II / Δ _I -1）控制在20%以内来保证结构不发生失稳。根据以上分析，我认为： 在没有其他前提条件的情况下， Δ _II /Δ _I -1>0.2并不能跟结构失稳相关联。要说清楚高层结构的失稳，必须涉及结构强度（承载力） 。

4

我们沿用前面的底部固接悬臂杆，假定杆件底部出现塑性铰，受弯承载力为 M u，如下图所示。

图8  底部形成塑性铰后的分析模型

由弯矩平衡可得

由上式可以得到形成塑性铰后，水平力 F 与顶点位移 Δ 之间的关系：

由上式可以看出， P - Δ 效应会降低结构的抗侧承载力 。

前面我们已经得到了弹性阶段 F 与顶点位移 Δ 之间的关系：

把弹性分析和刚塑性分析得到的 F - Δ 曲线画在同一张图上，可以大致描绘出结构的全过程荷载-位移响应。下图曲线对应 M _u =0.04 N _cr h 、 N / N _cr =0.4（ EI / Nh ² =1）的情况。如果结构一直保持弹性，水平力 F 会随着顶点位移 Δ 的增大而一直线性增大，并不存在上界，这和前面的简支压杆是不同的，所以， 只要 N / N _cr <1，水平力作用下的弹性结构不会发生失稳 。

图9  弹性分析和刚塑性分析得到的 F - Δ 曲线与真实响应的关系

结构屈服以后，真实曲线会偏离弹性分析得到的曲线，在 P - Δ 效应的作用下， F 会达到最大值（即抗侧承载力），然后逐步减小。

因此， 结构失稳是由于外荷载超过了结构抗侧承载力导致的，而《高规》只关注 P - Δ 效应对结构抗侧刚度的降低作用，并没有抓住问题的本质（斗胆下了这个结论，如有错误，请批评指正，huhs09） 。

我们近似把弹性 F - Δ 曲线和刚塑性分析 F - Δ 曲线的交点作为结构的抗侧承载力（实际抗侧承载力会更低），由此得到的抗侧承载力 F _u 表达式为

由上式可知， 结构的抗侧承载力与不考虑 P - Δ 效应时的抗侧承载力 M _u / h 和 N / N _cr （或刚重比 EI / Nh ² ）有关 。下图是 F _u h / M _u 与 N / N _cr 、 F _u h / M _u 与 EI / Nh ² 的关系曲线。

图10   F _u h / M _u - N / N _cr 和 F _u h / M _u - EI / Nh ² 曲线

可见， F _u h / M _u 会随着 N / N _cr 的增大而减小，且两者近似呈线性关系。结构是否发生失稳，不但与 N / N _cr （即刚重比）有关，还与结构本身的承载力 M _u / h 和外荷载的大小有关 。