结构稳定分析漫谈：高山瀑布中蕴含的稳定计算方法

前言

前面咱们聊过了 稳定问题 的由 来和表现形式，直观 简单，大家读起来轻松愉快， 但是要进一步 理解 稳定性问题， 还是绕不开量化计算，计算的内容总是比较枯燥，但是 Alex 会用尽可能直白简单的语言给大家解释清楚。

稳定问题有两种计算方法， 一种是静力平衡法，一种是能量法。

咱们首先聊聊静力平衡法。

平衡法的概念

三种最简单的稳定及其受力见下面两图：

• 随遇平衡指小球无论滚到哪个位置都是平衡的，原因是处在任意位置时小球受到的合力都为0，不受力就没有加速度，就不会使小球动起来；

• 当小球位于凸面上小球仅在最高点时合力为0，在其它位置它受到的合力都远离最高点，合力使其向远离最高点的方向运动，所以最高点为其不稳定平衡点；

• 当小球位于凹面上时，在最低点时合力为0，其它位置所受合力都指向最低点，合力将使其回到最低点，所以最低点为稳定平衡点。

从而我们可以归纳出： 稳定平衡就是在外界因素干扰下离开了原来的平衡位置，当干扰因素消失之后，可以自动回到最初的位置。对于建筑结构来说，必须要保证它是稳定平衡的，才可以保证它不发生过大变形而破坏。

能量法的概念

对于类似上例那样简单的情况用平衡法容易判断合力的大小与方向，现在我们要做稳定分析的是下图这样复杂的框架：

理论上来说，只 要有了变形曲线y，根据M=EIy''（这儿用到了小变形时曲率的简化形式y''，后面的讨论不加说明都是指的小变形）可以画出M图，用材料力学的方法容易依次画出V与N图，然后我们就可以判断这个框架中任意一个切割出来的隔离部位受力是否平衡了，因为一般要求一个复杂的微分方程才可以求出曲线y的方程，求解过程非常复杂，对于复杂体系用平衡法往往很难解决。

因为 能量法 只和初始状态与最终状态有关，也就是所谓的状态量， 可以从宏观角度出发来解决问题，还可以方便的应用近似方法 ，即我们可以用近似的曲线方程去代替精确方程，所以对于复杂问题我们经常会用到能量法。

我们首先回忆一下初中物理，我们把一个小球举高h，此时重力与小球的位移方向相反，即重力对小球做负功，小球的势能增加了mg·h，当h高度的小球仅受mg作用自由下落h时，重力对小球做正功，它的势能减小了mg·h，势能转化为等量的动能，这就是 能量守恒定理 。

我们可以推广一下， 不管什么性质的力，只要对物体做正功，则与此力对应的势能减小，只要对物体做负功，与此力对应的势能增大。 由常识我们还可以知道，尽管总能量不变，但是我们把小球置于空中松开手，小球必然是下落的，原因是合力向下，等价的说法是体系的总势能总是倾向于减小的（可以把小球和地球看做一个系统，重力为两者间吸引力，两者间距离减小时总势能减小，反之增大），因为合力的方向必为运动的方向，因而对小球做正功，所以与 合力对应的势能必然是倾向于减小的，这叫做最小势能原理 ，是说物体只会由高势能状态向低势能状态转化，而不是相反，例如水总是向低处流，势能减小动能增加，见下图。

大家还能想出其它例子吗？

咱们聊完了能量守恒和最小势能原理，我们首先把最小势能原理应用于最简单的单质点体系，仍以图中小球为例：

我们假设接触面光滑坚硬，因此接触力始终与运动方向相垂直，不对小球做功，那么只有重力对小球做功，当小球位于最高点时，小球的任何位置变动都使得重力对其做正功，即使得重力势能减小，根据前面的论述，物体总是倾向于高势能状态转化到低势能状态，所以小球会不断的向下滚动使势能越来越低，因此最高点是不稳定的。当小球位于最低点时，任意的位置改变都使其重力势能增加，之后小球会自动的返回到势能更低的最低点，所以此点为稳定平衡点。

然后我们增加一点难度，把最小势能原理应用于刚性杆。见下图，轴力作用于一个刚性直杆（即直杆本身无变形）：

下端铰接，上端为水平弹簧，直杆在竖向力作用下不可能有侧移，采用水平外力给其一个微小的侧移，竖向力不是侧移的原因且保持其在此过程中为定值，产生侧移之后马上把这个水平外力去掉，然后，咱们考查这个变形状态能不能自动的回复到初始竖直状态。

 

因为发生变形的过程中力P保持不变，它做功为P（1-cosθ）L，力P对直杆做功则其在力-直杆体系中对应于一种势能，其做正功使势能减小，取力P变形后状态的势能为0，变形前势能则为P（1-cosθ）L。弹簧发生了变形必然产生变形能，变形能永远为正，弹簧力由0增大到K·Δ，变形能为 。根据最小势能原理，我们只需比较初始状态和变形状态哪个总势能大就可以知道平衡状态的性质了，也就是如果 ，变形后状态总势能更大，体系会自动回复到势能更小的初始状态，因此力P作用下初始状态就是稳定平衡的，反之 时，变形后的总势能更小，则回不到初始状态，当 时则为随遇平衡。

拉格郎日创立分析力学之后，能量法得到越来越多的应用

上面聊的小球属于质点，刚性杆属于刚体，而我们的结构是变形体，所以在进一步论述变形体之前，我们先补充一下变形能的概念，见下图小姐姐拉满的弓：

这个拉满的弓是不是给大家一种很有力度、能量满满的感觉？

Alex感受到了：）。

开弓之后箭的动能由何而来呢？

假设弓弦很硬，总长度没有被拉长，那么箭的动能只能来自于弓的变形，所以弓由于变形必然在内部贮存了能量，这种能量叫做变形能，能量可以产生力，所以张开的弓给我们一种蓬勃有力度的感觉。

我们用应变能的概念分析一下如下图所示悬臂杆：

此杆在顶部水平力作用下即产生了变形能，因为力与变形成正比，力由0增加到F，则外力做功为?F·Δ，我们把杆件切割为多个小段，则每个小段两端的力由内力变为外力，对每个小段来说，根据能量守恒，两端的力对小段做功之和等于小段的变形能，用微积分的思想当切割个数为无限多时，小段每个截面上有三个力，分别为M、N、V，分别对应的两截面相对变形为θ、δ、γ，见下图：

则总的变形能为∑M·θ+∑N·δ+∑V·γ（因为小段两端的力方向相反，所以做功的变形用相对变形），把所有小段做功之和加起来就等于外力做的功，更严谨一些，把无限细分的微段总变形能写成积分的形式则为∫M·θ+∫N·δ+∫V·γ。

当我们自己去解决复杂问题时就会发现能量法确实是解决问题的利器，以上Alex带大家学习了应变能，我们就可以欢快的研究变形体了！下图为竖向力P作用下的挺直压杆：

因为对于理想直杆，力再大也不可能压弯，所以弯曲必然是由其它因素导致的，我们可以想象偶尔出现了一秒钟的微风，使得压杆出现了微小的侧向变形，然后微风消失，让我们定格在这时刻，去考察它可不可以恢复到初始的挺直状态，如果可以恢复，则作用轴力P的挺直压杆就是稳定平衡状态，反之就是不稳定的。这个过程中，压杆最终的弯曲状态不是由力P这个原因导致的，可以看 做彼此无关的两个过程 ，力的过程为P下移了Δ，此力是一个固定值，则做功为P·Δ，变形过程我们只考查最终状态，一个杆件变形后的形状确定后则其变形能就确定了，忽略轴向与剪切变形能，可得下面公式：

ΔU(此处Δ代表变量，非位移)为变形能，取决于EI与轴线形状y，因为P对压杆做正功，所以势能减少，以变形状态时力P对应的势能为0点（0点可以任意指定，相对大小正确就可以），初始状态的总势能是P·，变形状态总势能为ΔU。根据最小势能原理，我们只需比较P·Δ和ΔU的大小，如果P·Δ<ΔU，则变形压杆会自动回复到初始位置，那么初始状态就是稳定平衡，否则压杆就回不到初始位置，则为不稳定平衡，如果P·Δ=ΔU，则为随遇平衡。

看到这里，相信你们已经轻松愉快地掌握了能量法的核心概念。这里ALEX还要再强调一点：就是已知的 外力不是变形的原因，关注的是外力能否使杆件保持变形形状。 下面例子可以帮大家更直观的理解，如下图所示：

假设一个大人先把臂力棒掰弯，然后把它交到一个5岁小朋友手上，所以小朋友不是掰弯臂力棒的原因，考察的是小朋友能否维持臂力棒这个形状，显然5岁小朋友的力气小于这个弯力，所以臂力棒必然无法保持这个形状。如果将臂力棒交给下图罗尼，让他用力去弯，大家说会怎么样？

静力平衡法与能量法和联系

由前面内容咱们知道，一个结构体系在指定力作用下发生变形后，其中任意隔离出的微段所受合力均指向初始位置，等价于此结构受此力时总势能增大，意味着外部扰动引起变形后去掉扰动结构会自动回复到初始位置。

杆件发生变形意味着原来的轴线方程由y0变为y1，用y1-y0得到一条新的曲线，这条曲线表示变形后曲线与初始曲线的位置差，数学上叫做曲线的变分，因为总势能是杆件曲线的函数，所以总势能的变分是曲线变分的函数（曲线变化时总势能也发生变化），当总势能变分为0时，意味着杆件发生微小变形时总能量不变，即此时不会发生变形，也就是杆件处于平衡状态，则总势能的变分为0也等价于平衡方程。

小结

这节我们讲解了稳定计算的两种方法，平衡法是最基本的方法，可以求出精确的临界力及其对应的屈曲变形，但是只能用于解决边界条件简单、杆件数量很少的结构体系。能量法总能量仅取决于最终变形，可以将变形后的曲线简化为仅由少数参数控制的曲线，然后用能量平衡法、能量驻值法、最小势能原理、有限单元法等方法求出，具体可以参考稳定理论书籍，作为以理解应用为主的工程师，我们把本节的概念清晰理解基本就够用了。

原创不易，本系列稳定文章是Alex经过长时间细致思考、字斟句酌之后用自己的语言写成的，喜欢的同学劳烦点赞与分享。

最后有几个问题留给大家讨论，欢迎讨论区积极留言

1、如何理解平衡法与能量法是等价的？    

2、如何理解判断变形状态是否稳定时外力与变形是相互独立的？    

参考文献：

1. 钢结构稳定理论与设计（第六版） 陈骥

2. 钢结构构件和框架的平面内稳定 童根树