李乔：压杆稳定及预应力

惯性思维的误区

惯性思维是每个人常用的思维方式，运用得好，可以达到举一反三的效果，但若运用不好，则可能会进入误区。

误区1 ：众所周知，承受轴压荷载的细长杆件（图1），其失稳分为第一类失稳和第二类失稳，前者又称为弹性失稳，后者则又称为弹塑性压弯失稳或极值点失稳。于是有人认为，压弯构件的失稳破坏就是强度破坏，都是因材料达到强度极限所致。这是不正确的认识，是对失稳问题本质的误解。

误区2 ：预应力构件在预加力作用下也属受压构件（图2），因此预加力大到一定数值时，构件也会因此而失稳。这是一个惯性思维得到的结论，多数情况下是不正确的。然而，这个误区在一些文献甚至规范中还时常能够看到。

误区3 ：预应力平面曲线梁，由于初曲率影响，水平面内对称于轴心布置的体内预应力筋会有绷直的趋势，因而会引起绕竖轴的横向弯矩，试图使梁也产生变直的趋势。这也是一个误区。

误区4 ：在斜拉索水平分力作用下，斜拉桥的主梁也是受压构件，因此在最大悬臂状态（图3a），主梁的稳定性计算模型相当于一个悬臂梁，其上作用斜拉索力和主梁重力，如图3b所示。这同样是不正确的，这样计算得到的失稳荷载远低于正确结果。

图1 压杆失稳及变形

图2 预应力沿轴心布置的PC构件受压特征

图3 斜拉桥主梁稳定性

杆件失稳特征与定义

本文只讨论受压的非薄壁杆件的两类稳定性，不讨论薄壁杆件的压弯扭失稳和受弯侧向失稳模式。

如图4a所示，理想轴心受压杆件，当压力 P 达到某个临界值 P _cr 时（图4a中的A点），杆件平衡状态出现分支，即直线平衡状态和微弯平衡状态分支的临界状态，这是一种不稳定的平衡状态。这个临界状态就被定义为理想轴心受压杆弹性失稳，而 P _cr 就是大家熟知的欧拉临界力。

图4 压杆 P - δ 曲线

在图4a中，直线 AB 是采用小变形理论即弯曲曲率 K = δ ”得到的 P - δ 关系曲线，这时的挠度是不确定的。曲线 ACD 则是采用大变形理论,即 K = δ ”/[1+( δ ’) ² ] ^3/2 得到的，这时的挠度 δ 与荷载 P 具有一一对应关系。这两条曲线都未考虑材料弹塑性性能，如果考虑材料弹塑性性能，则曲线 ACD 将变为 ACD ’。

图4a中的 OG 和 OG ’分别表示不考虑和考虑材料弹塑性性能时，在轴力达到 P _cr 之前，应力就达到材料强度极限而使杆件失效，这显然是强度破坏而非失稳破坏，中短柱即属于这种情况。

前面讨论的是理想轴心受压杆件，在工程实际中，由于不可避免地存在材料的非均匀性、初始几何缺陷以及荷载位置误差等，必然会有初始偏心存在，因而杆件从开始受压就存在侧向挠曲，其 P - δ 曲线将如图4a中的 0H 、 0EF 和 0EF ’所示，其中 0H 为小变形理论结果，它向右延伸无限逼近直线 AB ； 0EF 和 0EF ’分别为采用大变形理论时，不考虑和考虑材料弹塑性性能的结果。 0EF ’曲线代表的就是弹塑性压弯失稳，即第二类失稳。类似地，对于图1b、c所示的偏心受压构件，其 P - δ 曲线将如图4b所示，其中 0CD 表示无初始挠度的偏压细长构件第二类失稳， 0C ’则表示偏压中短构件的强度破坏。 EFH 表示有初始挠度的偏压细长构件第二类失稳， EF ’则表示偏压中短构件强度破坏。

代表弹塑性失稳的曲线的最高点（图4b中的点 C 和 F ）对应的荷载，就是其极限轴向荷载 P _u ，即所谓的压溃荷载。

杆件弹塑性失稳

与强度破坏的区别

区分理想轴心受构件的弹性失稳与强度破坏是容易的，但对于一个受压弯联合作用的杆件，如何区分其弹塑性失稳与强度破坏却是一个经常令人困惑的问题，也是一个容易产生意见分歧的问题。

认为压弯构件的失稳破坏就是强度破坏是不正确的，著名的柏拉希(F. Bleich)批评这种观点时说：“偏心压杆的破坏荷载不是由于纤维应力达到某一临界值（如纤维开始屈服或杆中出现塑性铰），而是由于在某一屈曲荷载下，内外弯矩之间的平衡称为不可能，企图把偏心柱子的稳定问题作为应力问题来考虑肯定会失败的，因为这完全误解了问题的本质”。

仔细分析杆件的失稳特征，可以发现，使杆件失稳的最主要因素是非线性 P - δ 效应，即由于压力与变形交互影响而产生附加弯矩，也就是柏拉希所说的外弯矩，这是杆件失稳的“驱动力”；而杆件自身的抗弯刚度则提供抵抗弯矩，即柏拉希所说的内弯矩，是杆件失稳的“抵抗力”。以图4b的曲线 EFH 为例，曲线的上升段 EF 表示增大 P 所引起的“驱动力”与杆件自身产生的“抵抗力”处于稳定平衡状态。而到达 F 点时，杆件进入随遇平衡状态，随后杆件就进入不稳定平衡状态，挠度迅速加大，必须降低荷载 P 才能维持平衡，否则“驱动力”的增加速率就会大于“抵抗力”的增加速率。

由此可见，杆件失稳的最主要特征是从稳定平衡状态进入不稳定平衡状态，或者（不太严谨地）说，在杆件控制截面的材料尚未完全达到强度极限时，由于 杆件 的挠度迅速增加（失控）而使轴向力承载能力达到最高极限，要想继续维持平衡，就必须降低轴向荷载方可。而强度破坏的特征是在挠度“失控”之前，就已经因截面的材料全部达到强度极限而失去继续承载的能力（如图4b中的 F ’点）。

在工程上由于无法求得解析解，所以真正区分起来并不容易。一般采用有限元数值方法求解，并且是直接计算结构而非单个构件的极限承载力，作为结构的压溃荷载，而不去具体区分是强度破坏或者失稳破坏。

虽然上述的区分和描述仅具有理论意义，但从机理上理解失稳的内涵，对于正确分析结构特性和建立清晰的力学概念还是非常重要的。有限元只是数值计算工具，不能代替力学概念。

预应力构件的稳定性

对于图5a所示的轴心承受预加力的体内预应力构件，在只考虑预加力荷载时，如果发生侧向弯曲，则预应力钢筋与混凝土同步发生相同的变形（见图5b、c），作用在杆件端部的预压力 T 会随着杆端转动，同步变成曲线的预应力筋则会产生指向曲率中心的径向压力 p 。所以如图5b所示，预加力是非保守力，还是一个自平衡力系，并且任意截取一段作为分离体都是如此。 T 的水平分力 H 与杆件挠度δ构成附加弯矩 M ₁ = Hδ ，而分布力 p 与杆端压力 T 的竖向分力 V 引起反方向附加弯矩 M ₂ ，可以称其为“恢复力”。因预加力是自平衡力系，因此可以证明 M ₂ =- M ₁ ，总附加弯矩M= M ₁ + M ₂ =0，即 预加力不会因杆件侧弯而引起附加弯矩 。

这里的关键点在于： 1、同步变形；2、自平衡 。

根据这两点，对于非轴心和非直线布置预应力筋的构件，也容易得出上述结论。因为构件侧弯导致其挠曲线产生一个增量，由此引起的径向力 p 的增量及杆端预加力T方向改变量所产生的两个附加弯矩 d M ₁ =- d M ₂ ，总附件弯矩增量 dM = d M ₁ + d M ₂ =0。

图5 预应力混凝土构件力学分析

那么对于超静定构件如连续梁等，情况又会怎样呢？在超静定梁上张拉预应力，其挠曲变形会受到多余约束的限制，产生次反力和次弯矩。这种限制会减小预应力引起的挠曲变形总量，或者说只改变构件和预应力筋的曲率的大小，但因曲率变化引起的 d M ₂ 和 d M ₁ 始终反号，所以总附加弯矩 dM 始终为0。 

综上所述并参照前面关于压杆失稳的分析可得出结论： 体内预应力构件不会因预应力作用而发生失稳现象 。

因此，计算构件承载力时，如果轴向压力仅由预应力引起，例如预应力张拉阶段，则不必考虑稳定性因素，例如 不必验算构件在预应力弯矩面外方向的稳定性，验算面内承载力时也不必考虑二次效应产生的那部分偏心距增大效应 。

预应力曲线梁力学特性

假设图5b所示的轴心承受预加力的体内PC构件不是因受力而弯曲的，而是一个具有初曲率的平面曲线梁，那么根据前面的分析，容易得出一个推论： 轴心施加（体内）预应力的曲线梁，预应力在其横截面上引起的横向弯矩为零 。想象一下自行车手刹线的软管，就不难理解上述推论了。

体外预应力构件

前面的分析都强调是针对体内预应力构件，对于体外预应力构件，前述结论需要附加条件才能适用。在前面的分析中，很关键的一点是预应力筋与混凝土构件同步变形，这对于体内预应力构件是自然满足的，但对于体外预应力构件，如图6所示，只在端部锚点和中间固定点（或转折点）处满足，且转折点处产生集中恢复力 Q ，而在这些点之间的自由长度L范围不满足。因此若 L 较长，构件有可能在这些区间因预加力过大而失稳。只有当中间转折点较多， L 较小时，整个杆件性能接近体内预应力，因而才不会发生失稳。

图6 体外预应力构件示意图

斜拉桥主梁及自锚式悬索桥

加劲梁的稳定性

李乔说斜拉桥也可以看作是一种预应力结构，斜拉索相当于体外预应力筋。在分析斜拉桥主梁稳定性时，不管是竖直面内（竖向）还是水平面内（横桥向）的稳定性，斜拉索对主梁都具有弹性约束作用。如图7所示，主梁发生竖向变形时（图中虚线），会导致斜拉索索力增量 ⊿ T _i ，其作用相当于约束变形的竖向“恢复力”。当主梁发生横桥向水平变形时，会导致斜拉索横向倾角变化及对应的横向水平分力增量，从而产生横向“恢复力”。因此，在进行主梁稳定性分析时，不能仅仅用固定的索力代替斜拉索作用，而是要将斜拉索的刚度考虑在模型中，从而考虑其产生“恢复力”的作用。这样计算得到的压溃荷载远高于图3悬臂梁计算模型得到的结果。斜拉桥桥塔虽然与也有类似的特性，但由于塔的侧向位移对斜拉索索力的影响不如对主梁变形那样敏感，所以其对塔稳定性的影响也较主梁小一些。

图7 变形引起斜拉索“恢复力” ⊿ T _i

对于自锚式悬索桥，主缆对加劲梁产生轴向压力，而吊杆力则会因加劲梁竖向位移而产生变化，即“恢复力”，因此也有类似斜拉桥的特性，只是此时的吊杆力变化规律与斜拉索不同而已。

作者简介 ：李乔，西南交通大学教授，博士生导师，在中国公路学会桥梁分会等学术组织任常务理事或理事，在土木工程学报等重要学术期刊任编委会委员。曾任国务院学科评议组成员、全国土木工程专业评估委员会委员、国家科学技术奖会评专家等。研究兴趣为桥梁结构力学行为、大跨斜拉桥结构理论及施工控制方法等。主要理论成果：提出结构的过程-状态相关性原理及曲线箱梁空间分析理论等。主要技术成果：研发桥梁结构分析系统BSAS、桥梁非线性分析系统NLABS及曲线桥分析系统ASCB等软件系统，长期在多家设计院使用。

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拓展阅读：

压杆失稳是欧拉 (Leonhard Euler,1707-1783) 在研究梁的弯曲曲线时首次提出来的，欧拉临界载荷公式为人们认识压杆失稳提供了重要的参考，随着桁架桥梁的推广，在不断的试验探索中，逐步完成了对细长杆、短柱、各种约束下压杆失稳问题的深入认识。

17世纪末期，莱布尼兹 (Gottfried Wilhelm Leibnitz, 1646-1716) 提出微积分后，在欧洲大陆产生了极大的影响，许多科学家提出各种各样的问题来扩展微积分的应用领域。雅各布·伯努利 (Jacob Bernoulli, 1654-1705，莱布尼兹的学生) 提出了利用微积分求解梁弯曲挠曲线的问题，如图1所示。

图1 雅各布·伯努利和梁弯曲变形的例题

“如图1(b)所示的悬臂梁，在其自由端作用一集中载荷 P ，求梁的挠曲线。”

随后，不甘落后的弟弟，约翰·伯努利 (Johann Bernoulli, 1667–1748) 又以公开信的方式，向全欧数学家挑战著名的“最速降线问题”，这直接导致了变分法的诞生。此时的欧拉正在向约翰学习数学，在丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli, 1700–1782，约翰的儿子) 的建议下，也转向了梁弯曲变形的研究。

图2 Leonhard Euler, 1707-1783

欧拉利用变分法研究雅各布提出的梁变形问题，不久后得出了与雅各布相同的结果：梁的弯矩 Px  与曲率成正比

只要与材料力学稍加对比，就可以发现上式中的 C  即为梁的抗弯刚度 EI ，但在当时弹性模量和截面惯性矩的概念还没有被认识时，欧拉称 C  为“绝对弹性”。之后，欧拉围绕上式开展了各种载荷施加方式，以及梁存在微弯情况下的挠曲线求解，如图3所示。压杆失稳就是其中的一个问题，如图中的AB杆。

图3 欧拉研究的各种挠曲线

欧拉大致是这样提到了压杆失稳问题：在雅各布的例子中，图1(b)，载荷 P  施加在悬臂梁的自由端，且垂直于梁轴线。如果把载荷 P  的施力方向与变形梁施力点处切线所形成的夹角作为一个关键指标，当这一夹角很小时（已接近于压住），忽略上哪式中的一阶导数求解上式。该问题在数学上存在多个平衡解，而使得压杆发生弯曲的最小载荷即为压杆失稳的临界载荷（直线状态是压杆的另外一个解）。

不过，欧拉导出该公式后，只是对压杆失稳的初步认识。欧拉不仅不理解 C  的力学意义，也没有讨论压杆的约束情形。尽管如此，欧拉开启了人们对压杆失稳的认识，得到了临界载荷与杆长平方成反比的结论，这为压杆失稳研究奠定了基础。可以看出，上式实际上给出了对于两端铰接压杆的临界失稳载荷，在材料力学教材中，这一结果为

1729年，荷兰科学家Pieter van Musschenbroek (1692-1761) 在他出版的《实验物理与几何》(Physicae experiment imentales et geometricae) 中第一次做出了压杆失稳的实验研究成果。他指出，失稳临界载荷与压杆长度的平方成反比，这正是欧拉公式中的结论。

图4 Musschenbroek和他测定压杆失稳的实验装置

随着桁架桥梁的推广，铸铁杆、柱等构件在桥梁工程上的广泛使用，压屈（失稳）问题显得越来越重要，研究压杆失稳的工作也越来越多。毕业于巴黎综合理工学院的A.Duleau也曾讨论棱柱杆的压屈，他用很细长的杆子作为试样，小心的沿着轴心方向施加力（避免偏心压缩），得到了与欧拉理论一致的结果。大约在1824年，苏格兰机械师威廉·费尔班恩 (William Fairbairn, 1789-1874) 设计了一款杠杆式材料试验机，如图5所示。1840年，英国工程师霍芝肯逊 (Eaton Hodgkinson, 1789-1861) 利用费尔班恩试验机做出了压杆失稳方面的研究成果，验证了欧拉公式存在一个适用范围。

图5 费尔班恩试验机与霍芝肯逊各类试样

在霍芝肯逊的实验中，圆截面细长的实心压杆压屈结果与欧拉公式非常吻合。如上式，圆截面惯性矩为 πd  ⁴ /64，代入后上式变为

霍芝肯逊给出结论圆截面细长实心杆的临界失稳载荷与 d  ⁴ / l  ² 成正比（ d  为试件直径， l  为试件长度)。在实验过程中，他也发现压杆的两端为平头和圆头时，以及压杆的长度和直径的比例 ( l  : d  ) 对临界载荷有很大的影响。例如，霍芝肯逊发现对于 l  : d  在121~15之间的圆头压杆，其临界载荷与 d  ^3.6 / l  ^1.7 成正比。这个结论虽然看起来很不简洁，但在19世纪中期，处理桁架中的短柱失稳问题（这些杆件更多的不像欧拉公式要求的那样细长），在没有更好的理论成果下，霍芝肯逊的结果在工程上得到了广泛使用。可以看出，霍芝肯逊的实验也没有考虑压杆端部的约束，虽然考虑了平头和圆头两种形式，但在实际加载中很容易发生偏心压缩。后来，勒夫 (Love) 和利卫斯·果尔顿都提出过一些简化的计算公式。这一切都在暗示，欧拉公式在实际工程应用中存在着明显的不足。

根特大学 (Ghent University, 比利时学术排名第一的世界顶尖研究型大学) 的桥梁专家拉马尔 (E. Lamarle, 1806-1875) 最早提出了欧拉公式的适用范围。他用临界应力 σ cr  替代临界载荷 P cr ，给出了两端铰接杆件的压屈临界应力公式

式中， i  被称为截面惯性半径， i = I / A ， l / i  为杆件的长细比。以长细比为变量，可以看出，临界应力 σ cr  与长细比 l / i  的平方成反比，在 ( l / i  )- σ cr  平面内为双曲线的一支。拉马尔指出只在 σ cr  在不超过材料弹性极限时，欧拉公式是合理的。对于铸铁压杆，拉马尔将弹性极限视为屈服点的应力，给出了长细比的极限值为

他建议当杆件的长细比大于该极限值时，采用欧拉公式。当长细比小于该极限值时，用屈服应力 σ yp  作为临界应力σcr。

图6 临界应力随长细比的变化

图中 r  等价于 i ，材料常数为： E  = 200GPa，屈服应力为240MPa。

现在的教材中，上式考虑了长度因数 μ ，写成

长度因数 μ  是根据不同的约束，杆件在轴向压缩下发生变形后，与两端铰接压杆相比，得到有效杆长的系数。如图7b所示为两端铰接压杆变形后的曲线，该杆长为标准长度 l ，当一端固定、一端自由，杆在轴向压缩时，变形如图7a。可见将其向下对称后，可将其视为是一个长度为2 l  的两端铰接压杆，因此，其长度因数为2。对于一端固定、一端铰接时，可从变形曲线上的拐点位置确定出长度因数为0.7。同理，两端固定时，可确定出长度因数为0.5。由于拉马尔采用了两端铰接的压杆试样，所以长细比的极限值公式中，可认为是 μ =1的情况。

图7 不同约束下的等效长度计算

1900年左右，约翰逊 (J. B. Johnson, 1887-1970，个人信息待查证) 针对于短压杆给出了一个抛物线的经验公式，引入弹性极限，欧拉公式适用的临界细长比所对应的应力低于屈服应力，从临界细长比所对应的应力到屈服应力之间，约翰逊用一条抛物线进行插值计算，如图8所示，失稳临界应力可通过下式求得

图8 约翰逊抛物线公式与欧拉公式对比（图中红色为Johnson公式）

在工程上，人们更喜欢直线公式，而不是抛物线公式。为此，工程师们又从约翰逊抛物线公式简化出了直线公式，首先，定义出柔度

将欧拉公式改写为

令

有

得到

当压杆的柔度（长细比）大于 λ p  时，用欧拉公式求解。小于 λ p  时，用下面的直线经验公式求解

其中， a  和 b  为材料常数，由实验测定。后来人们发现，仅依赖于上式，有可能得出临界应力 σ cr  超过屈服应力的结果，随后又引入了 λ 0 ，即

求解上式，有

最终将压杆失稳问题区分为三个区域，当 λ > λ p  时，称为大柔度杆，用欧拉公式求解。当 λ 0 < λ < λ p  时，称为中柔度杆，用直线公式求解。当 λ < λ 0  时，称为小柔度杆，用屈服应力 σ s 代替失稳临界应力，如图9所示。

图9 压杆失稳的分段求解公式

压杆失稳以一维杆件为研究对象，较完整了研究了承受构件的失稳问题。在工程上，承压构件一般都要进行失稳校核，例如拱结构、承受压力的薄板、薄壳，这些问题使得失稳理论从一维走向二维。对于某些构件，虽然整体上看，结构不是受压，但在局部承受压力时，也可能出现失稳。例如，梁在弯曲时，一侧受拉、一侧受压，在受压一侧就可能发生失稳，虽然这是一种局部的失稳，但由于局部结构的突然改变，在整体上造成整个结构受力的重新分布，从而引发强度不足致使整个结构坍塌，这些都是工程中需要极力避免的问题。