从数学视角看索膜找形

对于索膜结构的设计，我们的首要任务是找形。

如今的工程师越来越习惯于应用数值方法进行索膜结构的找形。基于迭代原理的数值方法虽适用性广、效率高，但有些时候其精度又让人有所担忧。

让我们回到此类问题的原点，从数学视角去思考索膜结构的找形问题。也许更加准确和直观的解析方法能够更好的解决我们的工程问题。下文将给大家介绍数学届大名鼎鼎的拉普拉斯方程，并将其应用于索膜工程的找形技术。

皮埃尔-西蒙·拉普拉斯

拉普拉斯方程是由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）首先提出。拉普拉斯则是一位世界著名的法国数学家。在1799年，他证明了在天文时间单位里，太阳系是一个稳定的系统，推翻了一个世纪前牛顿的假设。在这个过程中，拉普拉斯方程诞生了。

如上式所示的拉普拉斯方程看似简单，但它存在于电磁学，存在于流体力学，存在于万有引力，存在于热力学，也存在于表面张力……它几乎无处不在。

如下图所示拉索，拉索曲线方程为u(x)，拉索索力为N(x)，拉索受线荷载q(x)，拉索处于平衡状态。在拉索上任取一微小段AB进行受力分析。

由水平向内力平衡知， ，即拉索各处的水平力保持不变，记为 。

由竖向内力平衡知， ，即

                （1）

由B点受力平衡知， ,即 ，带入式（1），得

                    (2)

由式（2）可知，当已知外荷载 时，给定拉索水平分力 ，便可确定出拉索的曲线方程。

将膜面离散为双向索网，并且在XY平面投影为正交索网，如下图所示。

膜面方程记为u(x,y)。膜面在初始态下只受预应力，不考虑自重。因此两方向索网在膜面上每点处的平衡荷载之和为零。根据平面单根拉索的平衡荷载公式（2），假定两方向预拉力水平分量相等，可得膜面微分方程如下:

                                    (3)

式（3）为二维 拉普拉斯方程 ，其通解求解方法如下：

作变换 ， ，

     (4)

      (5)

式（3）变为 ，其通解为

即式（3）通解为：

               (6)

膜面方程的通解为复变函数，设法消去虚数 便可得到实数域的曲面方程，以下为几个典型例子。

a）令 ， ，则

                             (7)

式（7）为马鞍形曲面，即马鞍形曲面可作为膜面方程，如下图所示。

b）令 ， 则

                      (8)

式（8）为帐篷膜的典型曲面方程，如下图所示：

c）如令 ， ，则

    (9）

d）特解的线性组合仍为膜面方程的解。如

                (10)

              (11)

由上述推导过程可知，本文构造的膜面受力有如下特点：

（1）在两个正交方向上，单位宽度膜面拉力的水平分力为恒定值。膜面平缓处，膜面拉力小，膜面斜率大的位置，膜面拉力大。

（2）给定单位宽度膜面拉力的水平分力和膜面方程，即可确定膜面每处的拉力。

构造下图所示膜面，平面尺寸16mX16m，高3m，曲面方程为

在点（X=±4，y=±4）及边线X=±8，y=±8做刚性约束边界。用X及Y向间距为400mm的索网来模拟膜面。假定膜面拉力水平面分力为4kN/m，换算为拉索在水平面的分力为4kN/m*0.4m=1.6KN。拉索的轴力为拉索的水平分力除以拉索倾角的余弦函数，即所有拉索的力密度相等，为1.6kN/0.4m=4kN/m，拉索的轴力为4kN/m乘以每根拉索的长度。

采用程序验证结论的正确性，采用力密度施加预张力。有限元计算结果显示最大节点位移仅3.76mm(基于合理的找形结果进行计算，理论上所有节点的位移应为零)，证明所找结构形状较为合理，也说明上述基于拉普拉斯方程得到的膜面形状是合理的。

选取其中一根典型拉索，绘制其轴力图。由于拉索轴力的水平分力恒定，因此曲率越大，拉索轴力越大，与理论分析相符。同理，也可见拉索的力密度相等。

本文分析了单根拉索的受力平衡方程，进而推广至空间曲面，得到空间膜面的受力平衡方程。通过求解膜面的受力平衡方程，得到了膜面方程的通解及特解，即完成膜面找形，可以为相关膜结构工程的找形及确定内力提供理论依据。

膜结构初始形态分析一般采用非线性有限元法、动力松弛法和力密度法等，相比之下，本文采用显示函数得到膜结构初始形态和初始形态的内力，方法更直接，膜面受力更合理。

宇宙间万物杂乱有序的存在着，靠的就是一些无形的秩序锁链，拉普拉斯方程就是其中之一。作为应用科学的土木工程，我们工程师需要做的便是利用这些打开秩序锁链的钥匙，去更好地创造未来。