对扭转位移比的讨论

关于对扭转位移比的讨论

作者：王千秋

广东华悦建设工程技术有限公司

    一: 在扭转位移比的计算中首先要确定质量中心（地震力作用线通过质量中心）及刚度中心，二者之间距离e为扭转偏心距。

图1

    1 质量中心的计算：

    质量中心与质量分布有关，计算时可用重量代替质量，具体方法是：将建筑面积分为若干个重量分布均匀的单元，如下图在参考坐标系xoy中确定重心坐标x _m 、y _m 。见图2

X _m =Σx _i m _i /Σm _i =Σx _i w _i /Σw _i

y _m =Σy _i m _i /Σm _i =Σy _i w _i /Σw _i

式中  m _i 、w _i ——分别为第i个面积单元的重量

         x _i 、y _i ——分别为第i个面积单元的重心坐标

图2

    2 刚度中心的计算：

    计算方法与质量中心计算方法类似。把抗侧力单元的抗侧刚度作为假想面积，求各个假想面积的总形心就是刚度中心，抗侧刚度是指抗侧力单元在单位层间位移下的层剪力，即：

D _yi =V _yi /δ _y

D _xk =V _xk /δ _x

式中 V _yi ——与y轴平行的第i片结构剪力；

     V _xk ——与x轴平行的第k片结构剪力；

     D _xk 、D _yi ——分别为该结构在x方向、y方向抗侧刚度；

     δ _x 、 δ _y ——分别为该结构在x方向、y方向平移变形的层间位移。

    以图1为例计算刚度中心，任选参考坐标系xoy，与y轴平行的抗侧力单元以1、2 ……i系列编号，抗侧移刚度为D _yi ；与x轴平行的抗侧力单元以1、2 ……k系列编号，抗侧移刚度为D _xk ;则刚度中心坐标分别为：

X ₀ =ΣD _yi X _i /ΣD _yi

Y ₀ =ΣD _xk X _k /ΣD _xk

    二：位移 δ 及扭转转角 θ 的确定

    由图1、图3可知层剪力V _y （即地震作用力）距刚心为e _x ,因而既有平移变形，又有扭转变形。

图3

    图3（a）可分解为图3（b）和图3（c），图3（b）中结构只有相对层间平移 δ ，而图3（c）中只有相对层间转角 θ 。根据叠加原理得到各片抗侧力结构单元的位移。

    由于假定楼板平面内无限刚性，楼板上任一点的位移都可以由 δ 和 θ 描述，坐标原点与方向见图3（a），规定与坐标轴正方向相同的位移 δ 为正，转角 θ 则以逆时针旋转方向为正，则各片结构在自身平面方向的侧移可表达如下：

与y轴平行的第i片结构沿y方向层间位移

δ _yi =δ+θx _i

与x轴平行的第k片结构沿x方向层间位移

δ _xk =-θy _k

式中  x _i 、y _k —— 分别为i片及k片结构在yox坐标系中的坐标值，为代数值。

由抗侧移刚度定义可求得：

V _yi =D _yi δ _yi =D _yi δ+D _yi θx _i

V _xk =D _xk δ _xk =-D _xk θy _k

式中  D _yi 、D _xk —— 分别为i片及k片结构抗侧刚度，对于框架结构是柱的抗侧刚度，对于剪力墙是等效抗弯刚度。

      V _yi 、V _xk —— 分别为i片及k片结构在层剪力V _y 及扭矩M _y =V _y e _x （e _x 质量形心距刚度中心距离）作用下的剪力。

由力的平衡条件 ΣY=0及ΣM=0,可以求得

     （c）

        （d）

式中  ΣD _yi 为结构在y方向的整体结构抗侧刚度，式（c）是平移时的力和位移 δ 关系；

       是结构的抗扭刚度，式（d）是扭转时的扭矩和转角θ 关系。

    三  扭转位移比能作为衡量结构扭转效应大小的指标吗？

    1 准备知识：

    ΣD _yi =V _y /δ 为结构整体结构抗侧刚度,这是大家比较熟悉的公式。

       （e）

 是结构的抗扭刚度，这个有的人可能不熟悉。介绍如下：

当仅有扭矩作用时V _y e _x 作用时，楼盖将绕刚度中心（X ₀ 、Y ₀ ）转动如图3（c）。这时平行于X方向的剪力墙，和平行于Y方向的剪力墙都将受力。设楼盖的转角为 θ （ θ 的方向与扭矩相同，以逆时针为正），则第i片平行于y方向的剪力墙上、下端的相对水平位移 δ _yi 和第k片平行于x方向的剪力墙上、下端的相对水平位移 δ _xk 为

 δ _yi =x _i θ      （f）

δ _xk =-y _k θ     （g）

式中  x _i ——第i片平行于y方向的剪力墙至刚度中心的距离；

      y _k ——第k片平行于x方向的剪力墙至刚度中心的距离.

于是，第i片平行于y方向的剪力墙所承受的剪力V _yi 和第k片平行于x方向的剪力墙所承受的剪力V _xk 为

V _yi = D _yi δ _yi =D _yi x _i θ

V _xk =-D _xk δ _xk =-D _xk y _k θ

由扭矩平衡条件建立方程:

V _y e _x = =

V _y e _x =

                                               （h）

关于《抗规》3.4.3条中：在具有偶然偏心的规定水平力作用下，楼层两端抗侧力构件弹性水平位移（或层间位移）的最大值与平均值的比值大于1.2倍，判定为不规则，如果大于1.4则判定特别不规则结构的依据。见图4

水平位移最大值  δ _max =δ+θr ₁

水平位移最小值  δ _min =δ-θr ₂

水平位移平均值 

  （j）                                           

扭转位移比表达式

 （k）

  式中  r ₁ 、r ₂ ——楼层最大、最小位移点至刚心的距离。                                                                   

1 当平动位移一定、楼层扭转角一定，也即偏心惯性力确定、结构的平动刚度和扭转刚度确定，距离转动中心越远，扭转位移比越大。

这个结论是正确的，76年唐山大地震时，在天津有一个建筑物，是L型建筑，地震时倒塌，周围和它差不多的建筑基本完好，经过专家调查研究认为就是位移角太大的原因。原因是该L型建筑的一边较短且宽，另一边较长且窄，刚度中心在靠近较短且宽的部分，离另一边较长且窄部分的端部较远，当转角相同时，离刚度中心远的端部山墙位移角就比较大，所以倒塌部分就是在较长且窄边的端部山墙部分。

2我们讨论结构扭转效应是不是只与扭转刚度相关，与结构的平动刚度无关？

由以上刚度公式（e） 、（h） 可知，扭转刚度是由平动刚度组成，而且还包含另一个方向的平动刚度。当平动刚度变化时，扭转刚度也要变化，因为他们同时含有平动刚度 。以下证明平动刚度与扭转位移比关系：

假定楼层平动位移为 δ ，扭转角为 θ ，楼层最大、最小位移点至刚心的距离为r ₁ 、r ₂ ，且当r ₁ =r ₂ =r时（r见图4），由公式（k）扭转位移比计算如下

            

              （L）

由式（L）分子、分母都含有平动刚度 ，如果平动刚度变化，同时扭转刚度也要变化，所以扭转刚度与平动刚度是正相关。即随着平动刚度的增加，扭转刚度也随着增加。平动刚度的减小。扭转刚度也随着减小。 因而结构扭转位移比，不但与结构的扭转刚度相关，也与结构的平动刚度相关。

图4

四 由公式（k）   讨论如下:

1 当δ< θr ₂ 时

，由《抗规》3.4.4条条文解释，楼盖两端位移不超过平均位移2倍的情况称为刚性楼盖，超过2倍则属于柔性楼盖。计算位移比时并不是刚性无限大。

2 当δ=θr ₂ 时

，还可以按‘刚性楼盖’计算位移比。

3当 ，及 θ=0   ，是位移比最小，此时扭转位移为0。

根据《抗规》3.4.3、3.4.4条及《高规》3.4.5条当

  =1.2时。   =1.2 +1.2   0.8   当 时

=1.4时。   =1.4 +1.4   0.6   当 时

=1.5时。   =1.5 +1.5   0.5   当 时

以上3种情况是特殊情况，一般情况讨论如下：

（1） 当r ₂ =0,这个与假设不符，因为r ₂ 是最小位移点至刚心的距离为0，那么r ₁ 也等于0。

（2） 一般情况是r ₁ ≠r ₂ 以r ₁ >r ₂ 为例。

,随着r ₂ 由0逐渐增大，随着r ₂ 趋近于r ₁ , 位移比逐渐增大，当r ₁ =r ₂ ， 最大。

（3） 当r ₁ =r ₂ ， 最大。其他情况位移比 均小于r ₁ =r ₂ 的情况。讨论如下：由位移比公式（L） 可知，

a 楼层位移点至刚心的距离为r，r主要与刚度中心和建筑平面布置的最远点有关。所以平面布置时，要尽量对角部伸出长度或者突出部位长度进行控制。如果建筑物过长，可以设置抗震缝分开。             

b偏心距e _x 和楼层的质量中心和刚度中心位置有关。质量中心和楼层平面荷载布置相关，必要时可以调整荷载布置向刚度中心方向调整；刚度中心和墙体刚度大小和位置有关，必要时可以调整刚度布置向质量中心方向调整。

c和整体y向平动刚度大小无关，但是和各片墙平动刚度的位置排列位置有关，例如：距离的固定排列 为3、5、7、9，总的平动刚度为 =14， 刚度 第一种排列为5、4、3、2， =5x3 ² +4x5 ² +3x7 ² +2x9 ² =454, 刚度 第二种排列为2、3、4、5， =2x3 ² +3x5 ² +4x7 ² +5x9 ² =694,两种排列不同，结果也不同。再看分子部分，假设 e _x =1.2;r=10.29。刚度 第一种排列为5、4、3、2， =（5+4+3+2）1.2x10.29=172.872, 刚度 第二种排列为2、3、4、5， =（2+3+4+5）1.2x10.29=172.872，显然 刚度 第一种排列的位移比 ，要大于刚度 第二种排列。

d不但和地震作用y方向的扭转刚度有关，而且也和x方向的扭转刚度有关。随着x方向的扭转刚度 的增加，位移比 在减小，是负相关。

e和每片墙距刚度中心垂直距离有关,由位移比公式（L）可知，随着x、y方向的数值越大， 位移比 越小，是负相关。

五 关于在设计阶段，由于位移比超限大于1.5需要调整，调整方法如下：

1框架结构中的柱刚度调整，柱的刚度因为柱的两端不是完全固定，所以柱的刚度需要修正，当刚度乘以刚度修正系数 α，

式中α是和梁的刚度有关的刚度修正系数，其他同力学公式相同。

我这里主要的经验是，有的时候调整梁的刚度比调整柱的刚度更加有效，特别是距刚度中心（且越过质量中心方向）最远的那一品框架柱、梁（加高加宽截面，或者提高混凝土强度）。该方法的调整达到3个目的，（1）增大平动刚度；（2）如以上c条增大的是x或者y方向的最大距离，增大扭转刚度。（3）缩短偏心距e。

2剪力墙的刚度调整，剪力墙的刚度为等效刚度，根据墙体开洞的不同，等效刚度计算公式不同，但是最有效的调整方法也是提高混凝土墙的抗侧刚度（加长加宽截面，或者提高混凝土强度），调整距刚度中心（且越过质量中心方向）最远的那一片墙的刚度。该方法的调整同样达到3个目的，（1）增大平动刚度；（2）如以上c条增大的是x或者y方向的最大距离，增大扭矩。（3）缩短偏心距e。

3楼层位移点至刚心的距离为r的调整，是和建筑方案有关，不是特殊情况一般是不能调整的。

4关于质量中心的调整也关乎到 建筑方案，不是特殊情况一般是不能调整的。如果需要调整，可以适当调整楼板厚度，这样可以在增加或者减少质量的情况下，钢筋的重量变化不大。

六 关于位移比的意见讨论。

1我记得在学习《建筑抗震设计规范》过程中，对于第3.4.4-1.1）条“楼层两端抗侧力构件弹性水平位移或层间位移的最大值与平均值的比值不宜大于1.5，当最大层间位移远小于规范限值时，可适当放宽。”在规范宣讲时，老师给出的‘最大层间位移远小于规范限值’是1/4000，（根据笔记可能是各种结构类型规范限值分母的4倍分之一，及原层间位移的0.25倍）如果位移怎么小，估计位移比也不会太大。

2《广东新高规》3.4.4“当楼层的最大层间位移角不大于本规程3.7.3条规定的0.5倍时，该楼层扭转位移比限值可适当放松，宜不大于2”。计算楼层的最大层间位移角时不考虑偶然偏心的影响。

《广东新高规》3.7.3条：按弹性方法计算的风荷载作用下结构的顶点位移与结构总高度之比U top /H不宜大于1/600；设防烈度地震作用下的楼层层间最大位移与层高之比Δu/h不宜大于1/180。

本规程3.7.3条规定的0.5倍，也就是风荷载位移角1/1200, 地震荷载1/360，该位移角是不是太小。

由宜不大于2，可知是可以大于2的，由第四条可知：当 ，由《抗规》3.4.4条条文解释，楼盖两端位移不超过平均位移2倍的情况称为刚性楼盖，超过2倍则属于柔性楼盖。计算位移比时并不是刚性无限大。这个建筑应该是相当不规则。