桥梁自振频率的分析与计算（简支梁、连续梁、人行天桥……）,有点烧脑壳~

对桥梁而言，共振常听不常见，共振与自振频率有关，而桥梁自振频率又分两种： 横向与竖向。 桥梁横向自振为水平垂直于钢轨方向的振动，即桥梁左右摇摆。

美国塔科马大桥共振视频▼

风荷载导致桥梁破坏可简单理解为横向共振破坏，即给桥梁横向激振力，历史上最著名的便是美国塔科马大桥倒塌事件。 风振是一个很复杂的学科，包括涡振、激振、抖振、驰振等，实际很难阐述，如竖向涡振又可导致桥梁竖向振动，从而导致扭振。

一．等截面细直梁的横向振动

取梁未变形是的轴线方向为X轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为y轴（向上为正）。梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为

除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：

其中，E是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI为梁的弯曲刚度，M代表x截面处的弯矩。挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。关于剪力Q的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。至于分布载荷集度q的正向则规定与y轴相同。在这些规定下，有：

于是，对方程（2）求偏导，可得：

考虑到等截面细直梁的EI是常量，就有： 

方程就是在等截面梁在集度为q的分部李作用下的挠曲微分方程。应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为

其中ρ代表梁单位长度的质量。假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程： 

二．简支梁的固有振型和固有频率

简支梁的边界条件为：

二、天桥的振动问题分析

天桥在人行荷载作用下的振动属于强迫振动问题。在这里将人行荷载模拟为如下简谐荷载：

三、计算公式的确定

因天桥主梁都设置预拱度来抵消自重引起的竖向挠度, 行人感觉不到这部分变形, 因此规范在满足正常使用极限状态的要求中, 规定了由活荷载引起的最大竖向挠度不得超过允许的限值(见《规范》第2.5.2 条)。那么若使式(9)中的第1 项:活荷载引起的位移不超过规范的限值, 那么就不会使行人产生不安全与不舒适感。

通过以上的推导与分析, 得到了式(13), 对于不同的桥型、活荷载、自重及跨度, 主梁自重位移有不同的限制, 满足不同的频率要求, 这样在实际的天桥设计中, 尤其是对于较大跨度的天桥, 使用公式(13)进行计算, 将比原规范的规定更为合理。 在满足安全稳定可靠的前提下, 减少材料用量, 节约工程投资。

具有各种支承( 固定、铰支和弹性) 多跨连续梁的振动固有频率的计算, 对土木、机械工程、化工换热器管以及各输送管道的防震设计, 具有重要的实用价值。但是, 至今尚未看到这种梁的振动频率方程统一计算公式。因此, 当需要计算时, 有的按三弯矩( 或三转角) 方程进行计算〔2 〕, 但这套方程应用比较麻烦, 有的按单跨梁计算公式,乘上一个与跨数有关的常数, 结果误差较大。为了解决这一矛盾, 本文利用传递矩阵, 导出了各种支承连续梁在各种边界条件下, 振动频率方程的统一公式。公式形式简, 关系清楚。

附件：简支梁和连续梁自振频率计算表

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