地震力到底是怎么算出来的？——多自由度体系的质量、刚度、自振周期

今天我们正式要从一层平房向三层楼房进军了。



同样的，我们需要知道质量和刚度这两个最基本的参数。



假设我们的三层楼房每一层的质量都一样，刚度也都一样。也就是说，每一层的柱子数量、粗细都一样，并且还都跟我们原来的一层小房子一样。

我们前面说过，地震作用大小的决定性因素是结构的自振周期。最大地震力与自身重力的比值是多少，直接跟自振周期的大小相关。所以，对于三层楼房来说，第一步就是确定它的自振周期。
对于一层房子来说，自振频率直接由质量和刚度确定， 。对于三层房子来说，好像就没有那么简单了，这里面的质量怎么取呢？刚度又该怎么取值呢？



让我们回顾一下我们是如何定义一层房子的「质量」和「刚度」。假设一个变形金刚在推房顶，让房顶发生了1毫米的位移，此时变形金刚需要的推力是200千牛，这个使得房子发生单位位移的推力就叫做刚度。而变形金刚把房子推动了1毫米，总共有300吨的质量发生了1毫米的位移，所以我们的分析中质量取为300吨。

注意，我们这里讨论质量和刚度的前提，是房顶发生了1毫米的单位位移。对于一层房子来说，只有一个楼层，就只有这一种可能性，所以很好办。



三层房子就复杂了，一共有三个楼层，每个楼层都可以独立的移动，我们怎么定义质量和刚度呢？应该让哪个楼层发生1毫米的单位位移呢？

质量的概念比较容易理解，我们先从质量入手。



首先，我们看一层发生单位位移的情况，也就是上图最左边这种情况。请问这个时候有多少质量发生了移动，有多少质量没有发生移动？

如果只有一层发生单位位移，那么其实只有一层的300吨发生了移动，二层、三层的质量并没有移动。也就是说，对于一层发生单位位移的这种情况来说，二层、三层的质量没有跟着移动，相当于有效质量是0。

我们把这种情况的三个楼层的有效质量写成一行，按一层、二层、三层的顺序，也就是300吨、0、0。

同样的，如果只有二层发生位移，那一层和三层的质量也不会移动，同样写成一行，0、300吨、0。

只有三层发生位移，一层和二层的质量不移动，这时候的情况是0、0、300吨。

然后，我们按照一层、二层、三层发生单位位移的顺序，把这三行排列起来，组成一个三乘三的矩阵：

300 0 0
0 300 0
0 0 300

这个矩阵就叫做有效质量矩阵，什么意思呢？比如说，第一行第一列代表一层发生单位位移时一层发生移动的质量，第二行第三列代表二层发生单位位移时三层发生移动的质量。

接下来就是刚度了，相信您也猜到了，刚度同样也是一个三乘三的矩阵。



同样的三种情况，假想我有三个独立的变形金刚，擎天柱负责推第一层、大黄蜂负责推第二层、铁皮负责推第三层，请问要想把房子推成这三种形状，他们需要分别施加多大的推力呢？



第一种情况，只有第一层发生1毫米的位移，这时候负责一层擎天柱需要付出400千牛的推力，因为不仅仅需要把一层的柱子推弯，还得把二层的柱子也推弯。注意，这时候负责二层的大黄蜂并不只是看热闹，为了把二层保持在原来的位置，大黄蜂需要施加反方向的200千牛推力，这样二层才不会跟着一层一起移动。而因为大黄蜂已经把二层顶住了，三层就不会移动了，所以负责三层的铁皮边儿上看着就行了。

同样，第二种情况，大黄蜂需要400千牛才能把二层推动1毫米。而为了防止一层和三层跟着二层一起移动，擎天柱和铁皮都需要付出反方向的200千牛，保证把一层和三层固定在原来的位置。

第三种情况，因为三层就是顶层了，再往上就没有柱子了，所以铁皮只需要付出200千牛的推力。为了防止二层跟着一块儿动，大黄蜂需要反方向200千牛把二层顶住。因为大黄蜂已经把二层固定了，所以负责一层的擎天柱就可以歇一歇了。

跟质量一样，我们把这三种情况下三个楼层的受力写成矩阵的形式：

400 -200 0
-200 400 -200
0 -200 200

这也就是我们这个三层房子的刚度矩阵。

对于一层房子，质量是300000千克，刚度是200千牛每毫米。而对于三层房子，质量和刚度是下面的矩阵：



知道了质量和刚度，我们就可以求自振频率了。对于一层房子， ，事实上，我们需要找满足 这个等式的ω值。对于三层房子，虽然质量 m 和刚度 k 都变成矩阵，但意思都一样，我们仍然需要寻找满足条件的 ω 值。



事实上，满足这个等式的 ω 值不是一个，而是三个。我们可以挨个验证一下。



事实上，这是求两个矩阵的特征值和特征向量的过程。特征值就是自振频率的平方，而特征向量有什么用，我们会在后面继续提及。

有了自振频率，我们就可以求自振周期了。对应这三个自振频率，我们也有三个自振周期值。



最最简单的理解，我们可以认为第一周期可以近似代表房子的特性。也就是说，我们这个三层房子的自振周期可以近似看作0.547秒。而我们一层房子的自振周期是0.243秒，注意到我们三层房子的周期大概是一层房子的2.25倍，这也就是我们在第三篇里提到的房子的周期可以近似认为与层数或者高度成正比。

有了质量矩阵，有了刚度矩阵，有了第一周期，我们就可以确定这个三层房子的地震力了。具体是什么方法呢？跟一层房子有什么区别呢？且待我们下回书里说端详。

往期链接：
【第一篇】地震力到底是怎么算出来的？——刚度的概念，单自由度体系的底部剪力法
【第二篇】地震力到底是怎么算出来的？——单自由度体系的动力时程分析
【第三篇】地震力到底是怎么算出来的？——自振周期对动力响应的影响
【第四篇】地震力到底是怎么算出来的？—— 等效地震加速度的反应谱