结构的二阶分析与二阶效应

二阶分析与二阶效应

结构的非线性特性主要有：材料非线性、几何非线性和边界非线性等。所说的二阶效应属于几何非线性的范畴。与几何非线性有关的三种分析类型1：

• 小变形分析。平衡条件在结构变形前的位置构建，单元协调关系（位移函数）假定为线性。这是一种极端情况，条件是结构变形很小，因而可以忽略几何非线性的影响。
  
  
• 大变形分析。平衡条件在结构变形后的位置构建，单元协调关系（位移函数）为非线性。这也是另一种极端情况，结构变形大到一定程序，其几何非线性影响不可忽略。
  
  
• P-Δ分析。平衡条件在结构变形后的构建（通过一些近似处理），单元协调关系（位移函数）假定为线性。这是一种中间情况，近似考虑了几何非线性的影响。
  

小变形分析通常称为“一阶分析”，而大变形分析和P-Δ分析即是“二阶分析”，二阶分析可以得到结构上的重力或构件中的轴压力在变形后的结构或构件中引起的附加内力和附加变形。结构或构件中的附加内力和附加变形就是由几何非线性产生的二阶效应。
二阶效应的表现形式

建筑结构中的二阶效应有两种表现形式：P-Δ效应和P-δ效应。看一个简单的悬臂柱的例子：

下端固定顶端自由的悬臂柱，高度h，柱顶受竖直向下的荷载P和侧向荷载H共同作用，侧向荷载使柱顶发生了Δ的水平位移。当不考虑几何非线性（一阶分析）时，柱子的弯矩图为直线分布，柱底弯矩最大为$Hh$;实际上，由于柱顶发生了Δ的水平位移，在变形后的位置构建平衡条件可知，柱底弯矩将变化$Hh+PΔ$,弯矩图分布仍为直线，这增加的部分弯矩即为P-Δ效应；另一方面，柱子轴向力作用下会发生自身的弯曲变形，其中部偏离中心轴，同样在变形后的位置构建平衡条件，可知在P作用下柱子内部的弯矩将进一步增大，弯矩增大的数值在柱子顶端和底端为0，中部最大，承曲线分布，这部分增加的弯矩即为P-δ效应。
对于很多根柱子的建筑结构，当忽略梁的轴向变形时，同一楼层柱子的柱顶位移Δ将一致的，而均匀的竖向荷载（如自重）作用下每根柱子上的P也基本一样，那么每根柱子上的P-Δ效应也会一样。很明显，P-Δ效应是结构整体级别的，而P-δ效应仅是构件本身级别的。
P.S：Powell教授的《Modeling for structural Analysis》是一本很好的书，仔细读读能搞清楚很多基本概念，值得悉心研读。

• Graham H. Powell. Modeling for Structural Analysis[M]. Computers and Structures Inc., 2010. ↩