双代号网络图介绍

双代号网络图介绍
第二章 双代号网络计划
第一节 双代号网络图的构成与基本符号
目前在我国的工程施工中，经常用以表示工程进度计划的网络图(2.1.1，规程条目，下同)是双代号网络图(2.1.2)。这种网络图是由若干表示工作(2.1.10)的箭线(2.1.15)和节点(2.1.19)所组成的，其中每一项工作都用一根箭线和两个节点来表示，每个节点都编以号码，箭线前后两个节点的号码即代表该箭线所表示的工作，“双代号”的名称即由此而来。图2—1表示的就是双代号网络图。现将图中三个基本符号的有关含意和特性分述于后。
一、箭线(2.1.15)
1．在双代号网络图中，一条箭线与其两端的节点表示一项工作(又称工序、作业、活动)，如支模板，绑钢筋，浇混凝土，拆模板等。但所包括的工作范围可大可小，视情况而定，故也可用来表示一项分部工程，一项工程的主体结构，装修工程，甚至某一项工程的全部施工过程。
2．一项工作要占用一定的时间，一般地讲都要消耗一定的资源(如劳动力、材料、机具设备等)。因此，凡是占用一定时间的过程，都应作为一项工作来看待。例如，混凝土养护，这是由于技术上的需要而引起的间歇等待时间，在网络图中也应用一条箭线来表示。
3．在无时标的网络图中，箭线的长短并不反映该工作占用时间的长短。原则上讲，箭线的形状怎么画都行，可以是水平直线，也可以画成折线或斜线，但是不得中断。在同一张网络图上，箭线的画法要求统一，图面要求整齐醒目，最好都画成水平直线或带水平直线的折线。
4．箭线所指的方向表示工作进行的方向，箭线箭尾表示该工作的开始，箭头表示该工作的结束，一条箭线表示工作的全部内容。工作名称应注在箭线水平部分的上方，工作的持续时间(也称作业时间)则注在下方，如图2—2所示。

5．两项工作前后连续进行时，代表两项工作的箭线也前后连续画下去。工程施工时还经常出现平行工作，平行的工作其箭线也平行地绘制。如图2—3所示。就某工作而言，紧靠其前面的工作叫紧前工作(2.1.13)，紧靠其后面的工作叫紧后工作(2.1.14)，与之平行的叫做平行工作，该工作本身则可叫“本工作”。
6．在双代号网络图中，除有表示工作的实箭线外，还有一种一端带箭头的虚线，称为虚箭线(2.1.16)，它表示一项虚工作(2.1.17)。虚工作是虚拟的，工程中实际并不存在，因此它没有工作名称，不占用时间，不消耗资源，它的主要作用是在网络图中解决工作之间的连接关系问题。有关虚工作的性质、作用将在本节后面详细论述，虚工作的表示方法如图2—4的(a)所示。在某些书中也有用实箭线加注零时间表示的，如图2—4(b)所示，但实际很少使用，本规程不予提倡。

二、节点(2.1.19)
1．节点在双代号网络图中表示一项工作的开始或结束，用圆圈表示。
2．箭线尾部的节点称箭尾节点，箭线头部的节点称箭头节点；前者又称开始节点，后者又称结束节点，如图2-5所示。
3．节点只是一个“瞬间”，它既不消耗时间也不消耗资源。
4．在网络图中，对一个节点来讲，可能有许多箭线通向该节点，这些箭线就称为“内向箭线”(2.1.17)(或内向工作)；同样也可能有许多箭线由同一节点发出，这些箭线就称为“外向箭线”(或外向工作)。如图2—6所示。

5．网络图中第一个节点叫起点节点(2.1.21)，它意味着一项工程或任务的开始；最后一个节点叫终点节点(2.1.22)，它意味着一项工程或任务的完成，网络图中的其他节点称为中间节点。
三、节点编号
1．如前所述，一项工作是用一条箭线和两个节点来表示的。为了使网络图便于检查和计算，所有节点均应统一编号，一条箭线前后两个节点的号码就是该箭线所表示的工作代号。因此，一项工作用两个号码来表示，如图2-7(a)中工作的代号就是3～4。
2.在对网络图进行编号时，箭尾节点的号码一般应小于箭头节点的号码，如图2-7(b)中所示，i应小于j。有关网络图编号的方法和基本要求在本节的后面还要讲到。

四、一项工作的完整表示方法
假如有一项工作“柱子支模”，在网络图中该工作的开始节点编号为5，完成节点编号为6，持续时间为2天，则该工作的完整表示方法将如图2—8中(a)所示。图中(b)为一般的表示符号，Di-j为工作的持续时间。

第二节 双代号网络图的绘制方法
一、双代号网络图各种逻辑关系的正确表示方法
1．什么叫逻辑关系(2.1.26)
逻辑关系，是指工作进行时客观上存在的一种相互制约或依赖的关系，也就是先后顺序关系。在表示工程施工计划的网络图中，根据施工工艺和施工组织的要求，应正确反映各项工作之间的相互依赖和相互制约的关系，这也是网络图与横道图的最大不同之点。各工作间的逻辑关系是否表示得正确，是网络图能否反映工程实际情况的关键。如果逻辑关系错了，网络图中各种时间参数的计算就会发生错误，关键线路(2.1.24)和工程的计算工期跟着也将发生错误。
要画出一个正确地反映工程逻辑关系的网络图，首先就要搞清楚各项工作之间的逻辑关系，也就是要具体解决每项工作的下面三个问题：
(1)该工作必须在哪些工作之前进行?
(2)该工作必须在哪些工作之后进行?
(3)该工作可以与哪些工作平行进行?
图2—9中，就工作B而言，它必须在工作E之前进行，是工作E的紧前工作；工作8必须在工作A之后进行，是工作A的紧后工作；工作B可以与工作C和D平行进行，是工作C和D的平行工作。这种严格的逻辑关系，必须根据施工工艺和施工组织的要求加以确定，只有这样才能逐步地按工作的先后次序把代表各工作的箭线连接起来，绘制成一张正确的网络图。

2．各种逻辑关系的正确表示方法
在网络图中，各工作之间在逻辑上的关系是变化多端的。表2—1所列的是网络图中常见的一些逻辑关系及其表示方法。表中的工作名称均以字母来表示。


二、虚箭线在双代号网络图中的应用
通过前面介绍的各种工作逻辑关系的表示方法，可以清楚地看出，虚箭线不是一项正式的工作，而是在绘制网络图时根据逻辑关系的需要而增设的。虚箭线的作用主要是帮助正确表达各工作间的关系，避免逻辑错误。现将虚箭线的应用列举于后。
1．虚箭线在工作的逻辑连接方面的应用
绘制网络图时，经常会遇到图2—10中的情况，A工作结束后可同时进行B、D两项工作。C工作结束后进行D工作。从这四项工作的逻辑关系可以看出，A的紧后工作为B，C的紧后工作为D，但D又是A的紧后工作，为了把A、D两项工作紧前紧后的关系表达出来，这时就需要引入虚箭线。因虚箭线的持续时间是零，虽然A、D间隔有一条虚箭线，又有两个节点，但二者的关系仍是在A工作完成后，D工作才可以开始。

2．虚箭线在工作的逻辑“断路”方面的应用
绘制双代号网络图时，最容易产生的错误是把本来没有逻辑关系的工作联系起来了，使网络图发生逻辑上的错误。这时就必须使用虚箭线在图上加以处理，以隔断不应有的工作联系。用虚箭线隔断网络图中无逻辑关系的各项工作的方法称为“断路法”。产生错误的地方总是在同时有多条内向和外向箭线的节点处，画图时应特别注意，只有一条内向或外向箭线之处是不会出错的。
例如，绘制某基础工程的网络图，该基础共四项工作(挖槽、垫层、墙基、回填土)，分两段施工，如绘制成图2—11的形式那就错了。因为第二施工段的挖槽(即挖槽2)与第一施工段的墙基(即墙基1)没有逻辑上的关系(图中用粗线表示)，同样第一施工段回填土(回填土1)与第二施工段垫层(垫层2)也不存在逻辑上的关系(图中用双线表示)，但是，在图2—11中却都发生了关系，直接联系起来了，这是网络图中的原则性错误，它将会导致以后计算中的一系列错误。上述情况如要避免，必须运用断路法，增加虚箭线来加以分隔，使墙基1仅为垫层l的紧后工作，而与挖槽2断路；使回填土1仅为墙基l的紧后工作，而与垫层2断路。正确的网络图应如图2—12所示。这种断路法在组织分段流水作业的网络图中使用很多，十分重要。

3．虚箭线在两项或两项以上的工作同时开始和同时完成时的应用
两项或两项以上的工作同时开始和同时完成时，必须引进虚箭线，以免造成混乱。
图2—13(a)中，A、B两项工作的箭线共用①、②两个节点，1～2代号既表示A工作又可表示B工作，代号不清，就会在工作中造成混乱。而图2—13(b)中，引进了虚箭线，即图中的2—3，这样1—2表示A工作，1—3表示B工作，前面那种两项工作共用一个双代号的现象就消除了。
4．虚箭线在不同栋号的工作之间互相有联系时的应用
在不同栋号之间，施工过程中在某些工作间有联系时，也可引用虚箭线来表示它们的相互关系。例如在两条单独的作业线(两项工程)施工中，绘制网络图时，把两条作业线分别排列在两条水平线上，如果两条作业线上某些工作要利用同一台机械或由某一工人班组进行施工时，这些联系就应用虚箭线来表示。如图2—14所示。

图2—14中，甲工程的B工作需待A工作和乙工程的E工作完成后才能开始：乙工程的H工作需待G工作和甲工程的B工作完成后才能开始。
上述不同栋号之间的联系，往往是由于劳动力或机具设备上的转移而发生的，在多栋号的建筑群体施工中，这种现象常会出现。
可以看出，在绘制双代号网络图时，虚箭线的使用是非常重要的，但使用又要恰如其分，不得滥用，因为每增加一条虚箭线，一般就要相应地增加节点，这样不仅使图面繁杂，增加绘图工作量，而且还要增加时间参数计算量。因此，虚箭线的数量应以必不可少为限度，多余的必须全数删除。此外，还应注意在增加虚箭线后，要全面检查一下有关工作的逻辑关系是否出现新的错误，不要只顾局部，顾此失彼。
三、绘制双代号网络图的基本规则
绘制双代号网络图时，要正确地表示工作之间的逻辑关系和遵循有关绘图的基本规则。否则，就不能正确反映工程的工作流程和进行时间计算。绘制双代号网络图一般必须遵循以下一些基本规则：
1．双代号网络图必须正确表达已定的逻辑关系。
绘制网络图之前，要正确确定工作顺序，明确各工作之间的衔接关系，根据工作的先后顺序逐步把代表各项工作的箭线连接起来，绘制成网络图。
2．双代号网络图中，严禁出现循环网络(2.1.25)。
在网络图中如果从一个节点出发顺着某一线路又能回到原出发点，这种线路就称作循环回路。例如图2—15中的2—3—5—2和2—4—5—2就是循环回路，它表示的逻辑关系是错误的，在工艺顺序上是相互矛盾的。
3．双代号网络图中，在节点之间严禁出现带双向箭头或无箭头的连线。
用于表示工程计划的网络图是一种有序有向图，沿着箭头指引的方向进行，因此一条箭线只有一个箭头，不允许出现方向矛盾的双箭头箭线和无方向的无箭头箭线，如图2--15中的2--4和3--4。

4.在双代号网络图中，严禁出现没有箭头节点或没有箭尾节点的箭线。
图2—16中，(a)图出现了没有箭头节点的箭线；(b)中出现了没有箭尾节点的箭线，都是不允许的。没有箭头节点的箭线，不能表示它所代表的工作在何处完成；没有箭尾节点的箭线，不能表示它所代表的工作在何时开始。

5．当双代号网络图的某些节点有多条内向箭线(2.1.17)或多条外向箭线(2.1.18)时，在不违反“一项工作应只有唯一的一条箭线和相应的一对节点编号”的规定的前提下，可使用母线法(2.1.27)绘图。当箭线线型不同时，可在母线上引出的支线上标出。图2-l7是母线的表示方法。

6．绘制网络图时，箭线不宜交叉，当交叉不可避免时，可用过桥法或指向法。图2-18中，(a)为过桥法(2.1.28)；(b)为指向法(2.1.29)。

7.双代号网络图中应只有一个起点节点(2.1.21)；在不分期完成任务的网络图中，应只有一个终点节点(2.1.22)；而其他所有节点均应是中间节点。
图2-19(a)所示的网络图中①、④节点均没有内向箭线，故可认为两个节点都是起点节点，这是不允许的。如果遇到这种情况，最简单的办法就是像图2-19(b)那样，用虚箭线把①、④节点连接起来，使之变成一个起点节点。在本例中，如果把④节点删除，而直接把①、⑤两节点用箭线把①、⑤节点用箭线连接起来。
在图2-20(a)中，出现了两个没有外向箭线的节点④、⑦，可认为是有两个终点节点。如果没有分批完成任务的要求，这也是不允许的。解决办法是像图2-20(6)那样，使它变成一个终点节点。在本例中，最好是去掉多余的④节点，而直接把②、⑦节点连接起来而形成一个终点节点⑦。
四、网络图的编号
按照各项工作的逻辑顺序将网络图绘就之后，即可进行节点编号。节点编号的目的是赋于每项工作一个代号，并便于对网络图进行时间参数的计算。当采用计算机来进行计算时，工作代号就是绝对必要的。
1．网络图的节点编号应遵循以下两条规则
(1)一条箭线(工作)的箭头节点的编号“j”，一般应大于箭尾节点“i”，即i j，以后在进行计算时就很容易出现错误。

(2)在一个网络计划中，所有的节点不能出现重复的编号。有时考虑到可能在网络图中会增添或改动某些工作，故在节点编号时，可预先留出备用的节点号，即采用不连续编号的方法，如l，3，5……或1，5，10……等等，以便于调整，避免以后由于中间增加一项或几项工作而改动整个网络图的节点编号。
2．网络图节点编号的方法
网络图的节点编号除应遵循上述原则外，在编排方法上也有技巧，一般编号方法有两种，即水平编号法和垂直编号法。
(1)水平编号法
水平编号法就是从起点节点开始由上到下逐行编号，每行则自左到右按顺序编排，如图2-23所示。

(2)垂直编号法
垂直编号法就是从起点节点开始自左到右逐列编号，每列则根据编号规则的要求或自上而下，或自下而上，或先上下后中间，或先中间后上下，如图2-24所示。
五、网络图的结构
网络计划是用来指导实际工作的，所以网络图除了要符合逻辑外，图面还必须清晰，要进行周密合理的布置。
在正式绘制网络图之前，最好先绘成草图，然后再加整理。图2-25所示的网络图显得十分零乱，经过整理，逻辑关系不变，绘制成图2-26，就显得条理清楚，布局也比较合理了。

六、网络图绘制实例
试根据表2-2给出的关系绘制双代号网络图
说明绘出的网络图见图2-27。绘图时可根据紧前工作和紧后工作的任何一种关系进行绘制。按紧前工作绘制时，从没有紧前工作的工作开始，依次向后，将紧前工作一一绘出，注意不要把没有关系的拉上了关系，于是应使用好虚箭线，并将最后的工作结束于一点，以形成一个终点节点；按紧后工作进行绘制时，亦应从没有紧前工作的工作开始，依次向后，将紧后工作一一绘出，直至没有紧后工作的工作绘完为止，形成一个终点节点。使用一种关系绘完图后，可利用另一种关系检查无误后，再自左向右编号。在绘制网络图时，脑子里要始终记住绘图规则，最后用7项规则进行一一检查，直至无误。要熟练绘图，必须多多进行练习。
表2-2
工作 紧前工作 紧后工作 工作 紧前工作 紧后工作
A —— C，E，F E A，B G，H
B —— E，F F A，B H
C A D G D，E
D C G H E，F

第三节 按工作计算法计算时间参数
一、工作持续时间的计算
工作持续时间(2.1.33)的计算方法有两种：一是定额计算法，二是“三时估计法”。“定额计算法”的计算公式是：
Di-j= (2-1)
式中Di-j——i一j工作持续时间；
Qi-j——i—j工作的工程量；
R——人数；
S——劳动定额(产量定额)。
当工作持续时间不能用定额计算法计算时，便可采用“三时估计法”，其计算公式是：
Di-j= (2—2)
式中Di-j——i-j工作的持续时间;
a——工作的乐观(最短)持续时间估计值;
b——工作悲观(最长)持续时间估计值；
c——工作的最可能持续时间估计值。
虚工作必须视同工作进行计算，其持续时问为零。
二、工作最早时间的计算
现以图2—29为模型进行网络计划时间参数的计算，计算结果按图2—28标注。

1．工作最早开始时间的计算
工作的最早开始时间(2．1．34)指各紧前工作(紧排在本工作之前的工作)全部完成后，本工作有可能开始的最早时刻。工作i-j的最早开始时间ESH的计算应符合下列规定：
(1)工作i-j的最早开始时间ESi-j应从网络计划的起点节点开始，顺着箭线方向依次逐项计算；
(2)以起点节点i为箭尾节点的工作i-j，当未规定其最早开始时间ESi-j时，其值应等于零，即：
ESi-j=0(i=1) (2—3)
因此，图2—29中，ES1-2=0

(3)当工作i-j只有一项紧前工作h-i时，其最早开始时间ESi-j应为：
ESi-j=ESh-i+Dh-i (2-4)
式中ESi-j——工作i-j的紧前工作的最早开始时间；
Dh-i——工作i-j的紧前工作h-i的持续时间。
(4)当工作i-j有多个紧前工作时，其最早开始时间ESi-j应为：
ESi-j=max{ESh-i+Dh-i} (2-5)
按公式(2—4)和(2—5)计算图2—29中其他各项工作的最早开始时间，其计算结果如下：
ES2-3=ES1-2+D1-2=0+2=2
ES2-4=ES1-2+D1-2=0+2=2
ES3-5=ES2-3+D2-3=2+3=5
ES3-7=ES2-3+D2-3=2+3=5
ES4-5=ES2-4+D2-4=2+2=4
ES4-8=ES2-4+D2-4=2+2=4
ES5-6=max{ES3-5+D3-5，ES4-5+D4-5}
=max{5+0，4+0}=5
ES6-7=ES5-6+D5-6=5+3=8
… …
依次类推，算出其他工作的最早开始时间，见图2-29标注。
2．工作最早完成时间的计算
工作最早完成时间(2．1．35)指各紧前工作完成后，本工作有可能完成的最早时刻。工作i-j的最早完成时间EFi-j，应按下式进行计算：
EFi-j=ESi-j+Di-j (2-6)
按公式(2-6)计算图2-29的各项工作，结果如下：
EF1-2=ES1-2+D1-2=0+2=2
EF2-3=ES2-3+D2-3=2+3=5
EF2-4=ES2-4+D2-4=2+2=4
EF3-5=ES3-5+D3-5=5+0=5
EF3-7=ES3-7+D3-7=5+2=7
EF4-5=ES4-5+D4-5=4+0=4
EF4-8=ES4-8+D4-8=4+2=6
EF5-6=ES5-6+D5-6=5+3=8
EF6-7=ES6-7+D6-7=8+0=8
… …
依次类推，算出其他工作的最早完成时间，见图2-29之标注。
三、网络计划工期的计算
1．网络计划的计算工期
计算工期(2.1.41)Tc指根据时间参数计算得到的工期，它应按下式计算：
Tc=max{EFi-n} (2-7)
式中EFi-n——以终点节点(j=n)为箭头节点的工作i-n的最早完成时间按公式(2-7)计算，图2—29的计算工期为：
Tc=max{EF13-15,EF14-15}
=max{22,22}=22
2．网络计划的计划工期的计算
网络计划的计划工期(2.1.43)，指按要求工期和计算工期确定的作为实施目标的工期。其计算应按下述规定：
(1)当已规定了要求工期(2.1.42)Tr
Tp≤Tr (2-8)
(2)当未规定要求工期时
Tp=Tc (2-9)
由于图2—29未规定要求工期，故其计划工期取其计算工期，即：
Tp=Tc=22
此工期标注在终点节点○15之右侧，并用方框框起来。
四、工作最迟时间的计算
1．工作最迟完成时间(2.1.37)的计算
工作最迟完成时间指在不影响整个任务按期完成的前提下，工作必须完成的最迟时刻。
(1)工作i-j的最迟完成时间LFi-j应从网络计划的终点节点开始，逆着箭线方向依次逐项计算。
(2)以终点节点(j=n)为箭头节点的工作的最迟完成时间LFi-n，应按网络计划的计划工期Tp确定，即：
LFi-n=Tp (2-10)
(3)其他工作i-j的最迟完成时间LFi-j；应按下式计算：
LFi-j=min{LFj-k-Dj-k} (2-11)
式中 LFj-k——工作i-j的各项紧后工作j-k的最迟完成时间；
Dj-k——工作i-j的各项紧后工作(紧排在本工作之后的工作)的持续时间。
按公式(2-10)，网络计划以终点节点⑩为结束节点的工作的最迟完成时间计算如下：
LF13-15=Tp=22
LF14-15=Tp=22
按公式(2-11)，网络计划其他工作的最迟完成时间计算如下：
LF13-14=min{LF14-15-D14-15}=22-3=19
LF12-13=min{LF13-15-D13-15，LF13-14-D13-14}=22-3=19
=min{22-3，19-0}=19
LF11-14=min{LF14-15-D14-15}=22-3=19
LF11-12=min{LF12-13-D12-13}=19-4=15
LF10-11=min{LF11-12-D11-12，LF11-14-D11-14}
=min{15-1，19-2}=14
LF9-12=min{LF12-13-D12-13}=19-4=15
LF9-10=min{LF10-11-D10-11}=14-2=12
LF8-9=min{LF9-12-D9-12，LF9-10-D9-10}
=min{15-2，12-0}=12
LF7-10=min{LF10-11-D10-11}=14-2=12
… …
依次类推，算出其他工作的最迟完成时间，见图2—29的相应标注。
2．工作最迟开始时间的计算
工作的最迟开始时间(2.1.36)指在不影响整个任务按期完成的前提下，工作必须开始的最迟时刻。
工作i-j的最迟开始时间应按下式计算：
LSi-j=LFi-j-Di-j (2-12)
按公式(2-12)计算，网络计划图2-29的各项工作的最迟开始时间计算如下：
LS14-15=LF14-15-D14-15=22-3=19
LS13-15=LF13-15-D13-15=22-3=19
LS12-13=LF12-13-D12-13=19-4=15
LS13-14=LF13-14-D13-14=19-0=19
LS11-14=LF11-14-D11-14=19-2=17
LS11-12=LF11-12-D11-12=15-1=14
LS10-11=LF10-11-D10-11=14-2=12
LS9-12=LF9-12-D9-12=15-2=13
LS9-10=LF9-10-D9-10=12-0=12
LS7-10=LF7-10-D7-10=12-4=18
… …
依次类推，算出其他工作的最迟开始时间，见图2-29相应的标注。
五、工作总时差的计算
工作总时差(2.1.45)是指在不影响总工期的前提下，本工作可以利用的机动时间。该时间应按下式计算：
TFi-j=LSi-j-ESi-j (2-13)
或 TFi-j=LFi-j-EFi-j (2-14)
按以上两式计算，图2-29各项工作的总时差TFi-j计算结果如下：
TF1-2=LS1-2-ES1-2=0-0=0
TF2-3=LS2-3-ES2-3=2-2=0
TF2-4=LS2-4-ES2-4=3-2=1
TF4-5=LS4-5-ES4-5=5-4=1
TF3-5=LS3-5-ES3-5=5-5=0
TF3-7=LS3-7-ES3-7=6-5=1
TF4-8=LS4-8-ES4-8=7-4=3
TF5-6=LS5-6-ES5-6=5-5=0
TF6-7=LS6-7-ES6-7=8-8=0
TF6-8=LS6-8-ES6-8=9-8=1
TF7-10=LS7-10-ES7-10=8-8=0
TF8-9=LS8-9-ES8-9=9-8=1
… …
依次类推，算出其他工作的总时差，见图2-29上相应的标注。
六、工作自由时差的计算
工作自由时差(2.1.44)是指在不影响其紧后工作最早开始时间的前提下，本工作可以利用的机动时间，工作i-j的自由时差FFi-j的计算应符合下列规定：
(1)当工作i-j有紧后工作j-k时，其自由时差应为：
FFi-j=ESJ-K-ESi-j-Di-j (2-15)
或 FFi-j=ESJ-K-EFi-j (2-16)
式中ESj-k——工作i-j的紧后工作j--k的最早开始时间。
(2)终点节点(j=n)为箭头节点的工作，其自由时差FFi-j；应按网络计划的计划工期Tp确定，即：
FFi-n=Tp-ESi-n-Di-n (2-17)
或 FFi-n=Tp-ESi-n (2-18)
网络计划图2-29的各项工作的自由时差FFi-j按公式(2-16)计算结果如下：
FF1-2=ES2-3-EF1-2=2-2=0
FF2-3=ES3-5-EF2-3=5-5=0
FF2-4=ES4-5-EF2-4=4-4=0
FF4-5=ES5-6-EF4-5=5-4=1
FF3-5=ES5-6-EF3-5=5-5=1
FF3-7=ES7-10-EF3-7=8-7=1
FF4-8=ES8-9-EF4-8=8-6=2
FF5-6=ES6-8-EF5-6=8-8=0
FF6-7=ES7-10-EF6-7=8-8=0
FF6-8=ES8-9-EF6-8=8-8=0
FF7-10=ES10-11-EF7-10=12-12=0
FF8-9=ES9-12-EF8-9=11-11=0
… …
依次类推，算出其他工作的自由时差，见图2-29相应标注。
图中虚箭线中的自由时差归其紧前工作所有。
图2-29的结束工作i-j的自由时差按公式(2-18)计算如下：
FF13-15=Tp-ES13-15=22-22=0
FF14-15=Tp-ES14-15=22-22=0
见图2—29相应标注。
第四节 按节点计算法计算时间参数
一、几点说明
(1)按节点法计算时间参数也应在确定各项工作的持续时间之后进行。
(2)按节点法计算时间参数，其计算结果应标注在节点之上，如图2-30所示。
(3)以下按图2-31为例进行节点计算法时间参数计算。
二、节点最早时间的计算
节点最早时间(2.1.38)是指双代号网络计划中，以该节点为开始节点的各项工作的最早开始时间。
节点i的最早时间ETi应从网络计划的起点节点开始，顺着箭线方向，依次逐项计算，并应符合下列规定；
(1)起点节点i如未规定最早时间ETi时，其值应等于零，即：
ETi=0(i=1) (2-19)
因此，图2—31中，ETi=0
(2)当节点j只有一条内向箭线时，其最早时间ETj=ETi+Di-j (2—20)
(3)当节点j有多条内向箭线时，其最早时间ETj应为
ETi=max{ETi+Di-j} (2-21)
按公式(2-20)计算图2-31的各项工作时，结果如下：
ET2=ET1+D1-2=0+2=2
ET3=ET2+D2-3=2+3=5
ET4=ET2+D2-4=2+2=4
节点5有二条内向箭线，其最早时间ETj应按公式(2-21)计算：
ET5=max{ET2+D2-3，ET2+D2-4}=max{5，4}=5
… …
依此类推，算出全部节点的最早时间，见图2-31相应的标注。
三、网络计划工期的计算
1．网络计划的计算工期
网络计划的计算工期按下式计算：
Tc=ETn (2-22)
式中ETn——终点节点n的最早时间。
因此，图2-31的计算工期为：
Tc=ET15=22
2．网络计划的计划工期的确定
网络计划的计划工期Tp的确定与工作计算法相同。因此，图2-31的计划工期为：

四、节点最迟时间的计算
节点最迟时间(2.1.39)指双代号网络计划中，以该节点为完成节点的各项工作的最迟完成时间。其计算应符合下述规定：
(1)节点i的最迟时间LTi应从网络计划的终点节点开始，逆着箭线方向依次逐项计算，当部分工作分期完成时，有关节点的最迟时间必须从分期完成节点开始逆向逐项计算。
(2)终点节点n的最迟时间LTn。应按网络计划的计划工期Tp确定，即：
LTn=Tp (2-23)
分期完成节点的最迟时间应等于该节点规定的分期完成时间。因此，图2-31的终点节点的最迟时间是：
LT15=Tp=22
(3)其他节点i的最迟时间LTi，应为：
LTi=min{LTj-Di-j} (2-24)
式中：LTj——工作i—j的箭头节点j的最迟时间。
按公式(2-24)计算，各项工作的最迟时间如下：
LT14=LT15-D14-15=22-3=19
LT13=min{LT14-D13-14，LT15-D13-15}=min{19-0，22-3}=19
LT12=LT13-D12-13=19-4=15
LT11=min{LT14-D11-14，LT11-D11-12}=min{19-2，15-1}=14
… …
依次类推，算出节点10至1节点的最早时间，见图2-31中相应的标注。
五、工作时间参数的计算
1．工作最早开始时间的计算
工作i-j的最早开始时间ESi-j的计算按下式计算
ESi-j=ETi (2-25)
按公式(2-25)计算，图2—31的各项工作的最早开始时间计算如下：
ES1-2=ET1=0
ES2-3=ET2=2
ES2-4=ET2=2
ES3-5=ET3=5
ES3-7=ET3=5
ES4-5=ET4=4
… …
依次类推，算出其他工作的最早时间，与图2-31的标注相同。
2．工作i-j的最早完成时间EFi-j的计算
工作i-j的最早完成时间按下式计算：
EFi-j=ETi+Di-j (2-26)
按公式(2-26)计算，图2—31中各项工作的最早完成时间计算如下：
EF1-2=ET1+D1-2=0+2=2
EF2-3=ET2+D2-3=2+3=5
EF2-4=ET2+D2-4=2+2=4
EF3-5=ET3+D3-5=5+0=5
依次类推，算出其他工作的总时差，其结果与图2-29的标注相同。
6．工作自由时差的计算
工作i-j的自由时差FFi-j按下式计算：
FFi-j=ETj-ETi-Di-j (2-30)
按公式(2-30)进行计算，结果如下：
FF1-2=ET2-ET1-D1-2=2-0-2=0
FF2-3=ET3-ET2-D2-3=5-2-3=0
FF2-4=ET4-ET2-D2-4=4-2-2=0
FF3-5=ET5-ET3-D3-5=5-5-0=0
FF3-7=ET7-ET3-D3-7=8-5-2=1
FF4-5=ET5-ET4-D4-5=5-4-0=1
… …
依次类推，算出其他工作的自由时差，与图2-29的各项相应标注相同。
第五节 双代号网络计划关键工作和关键线路的确定
一、关键工作的确定
1．关键工作的概念
关键工作(2.1.12)是网络计划中总时差最小的工作。
当计划工期计算工期相等时，这个“最小值”为0；
当计划工期大于计算工期时，这个“最小值”为正；
当计划工期小于计算工期时，这个“最小值”为负。
2．关键工作的确定
根据上述关键工作的定义，图2-29的最小总时差为零，故关键工作为1-2，2-3，
3-5，5-6，6-7，7-10，10-11，11-12，12-13，13-14，13-15，14-15，共l2项。
二、关键线路的确定
1．关键线路的概念
关键线路(2.1.24)是自始至终全部由关键工作组成的线路，或线路上总的工作持续时间最长的线路。
2．关键线路的确定
将关键工作自左而右依次首尾相连而形成的线路就是关键线路。因此，图2-29的关键线路是l→2→3→5→6→7→10→11→12→13→14→15及1→2→3→5→6→7→10→11→12→13→15两条。
三、关键工作和关键线路的标注
关键工作和关键线路在网络图上应当用粗线或双线或彩色线标注其箭线。