MathCAD在水利设计中的应用

MathCAD在水利设计中的应用
摘 要： MathCAD是一个集数理计算、图形和文字处理等功能于一体的数学软件，在各个领域都有着广泛的应用，本文以水库调洪演算和构件配筋计算两个例子介绍了MathCAD在水利设计工作中的应用。
关键词：MathCAD 水利 设计 应用

1、概述
MathCAD即数学CAD ，是美国Mathsoft公司1986年推出的一个功能很强的交互式应用数学软件，早期版本运行于Dos环境，4.0版后运行于Windovs环境，以后陆续推出了5.0、6.0、7.0、8.0、2000、2001版本，最新版本是MathCAD12版。
MathCAD是一个集成软件包，它集数理计算、图形和文字处理等功能于一体，把电子制表软件的活动文档界面和字处理软件的所见即所得界面结合起来，加上功能强大的内置函数库，从而能方便直观地解决数学问题和数学在各种学科中的应用问题，如数据分析与处理、过程模拟、工程设计和科学计算等问题。MathCAD的使用操作十分简单，充分体现了交互式的特点，无需写出繁琐的中间过程，不要求用户具有精深的计算机知识，对于任何具有一定数学知识的人，都可以十分容易地学会使用。因此，在水利工程设计过程中的很多计算问题都可以应用MathCAD轻松解决。
2、MathCAD在设计中的基本应用
水利工程设计方面经常要接触到各种计算公式，有时甚至是几个复杂的公式才能算出结果。虽然人们已经编写出了很多现成的计算软件，如：挡土墙稳定计算程序、调洪演算程序等。但其都是针对某一问题而定制的，灵活性较差，数据输入、输出比较麻烦，应用起来也不尽如人意。如果我们应用到MathCAD的公式计算功能，就会发现只要将计算公式及已知数值输入进去，MathCAD 已经帮我们计算出了答案，无须考虑中间运算过程，也不要去设计算法和编制程序。
现在还有很多设计人员用WORD写计算稿，用EXCEL来进行计算，但EXCEL计算极易出错，主要原因是它的计算过程是隐蔽的，公式隐藏在单元格中，错漏不易发现。而MathCAD的整个计算过程一目了然，在写计算稿的同时也完成了计算处理，而且它的规则和数学中的习惯是一样的，和其它程序相比更容易上手。
如在流溪河花干渠三面光整治工程中，需对渠道断面进行设计：
已知梯形渠道底宽 B= 5.0 ，边坡系数m = 1.5 , 渠道坡降i = 0.001，糙率n = 0.015，求水深h = 1.5 m时的过流量Q 值。我们只需在版面按照明渠均匀流的计算公式输入：
然后打入Q = ; 即可得出答案 Q =23.607。
MathCAD 的公式是“活”的，能始终跟踪我们对算式所做的任何修改，并且自动更新答案。如我们将h =1.5改成h = 2.0就可以即时看到流量Q的数值发生了变化：Q = 40.39
使用这个功能，我们可以把MathCAD当成草稿纸来使用，通过不断调整参数值来达到快速“试算”的目的，这对于我们在水力学公式计算中经常头疼的试算问题来说无疑是一大福音。
MathCAD 还是目前世界上最出色的全屏幕公式编辑器，在MathCAD 里输入数学公式不仅和书写一样方便，基本上解决了数学公式录入烦琐和速度较慢的问题，而且可以与其它字处理软件（如：WORD、WPS）配合使用，方便地进行设计说明书的排版，甚至直接生成计算书打印出来，完美的在一张工作文件中将公式、文字、图表等结合在一起，再也不需要在多个软件间来回复制、粘贴、切换，当你设计完成你的计算过程的同时，报告也同时为你准备妥当了。如上面的例子，我们可以在MathCAD环境下生成如下的计算书：


我们可以将以上的计算书版面保存成模板，以后凡遇到相同的计算问题，只要将有关数据改动一下，就可马上得出想要的结果，非常方便。
MathCAD 内置了功能强大的函数库，能方便地解决一些复杂的数学问题。在水利方面，比较有用的有拟合函数、插值函数和统计函数、矢量和矩阵函数等。
例如水库的水位库容关系曲线就可以用以下的三次样条插值函数来拟合：
VS:=Lspline(zz,v) ①
V(z):=Interp(VS,zz,v,z) ②
MathCAD 还具有强大的图形功能，不仅能画平面直角坐标系图形，而且可以画极坐标系图形以及各种三维图形，同时可以读取图形中任一点的坐标值。在水利工程中我们一般常用到MathCAD的二维平面直角坐标系图形，只要输入要创建图形的函数、数学表达式或数据集合，按@键，在位标处填入变量名，就可以生成相应的图形，而且图形可以随变量值的改变而即时变化。
以上都是MathCAD 的一些基本的功能在水利计算方面的一些应用，除此之外，它的符号运算、微积分方程解析、方程组求解、数理统计、矩阵运算以及自定义函数等功能运用在水利方面，几乎可以解决常见的计算问题，如水文水利计算方面的调洪演算、水面线推算、有压无压流计算、土坝浸润线计算，结构计算方面的内力计算、配筋计算、承载力验算等等。

3、应用实例
下面以某水库的调洪验算和矩形截面大偏心受压配筋计算为例探讨MathCAD在水利计算中的应用。
3.1 开敞式溢洪道的水库调洪计算
3.1.1开敞式溢洪道的水库调洪原理
开敞式溢洪道的调洪是水库调洪的基本方式，在水库规划设计的情况下，常假设洪水来临时库水位正好与堰顶齐平。洪水刚入库的瞬间泄流量为零，随着入库流量的加大，库水位随之上涨，堰顶水深加大，下泄流量也随着增大。当泄流量与同一时刻的入库流量相等时，水库具有最大的蓄洪量及相应的最高堰顶水位和最大下泄流量。随着入库流量小于同一时刻的下泄流量，库水位和下泄流量也随之逐渐减小，直至水位恢复到堰顶高程，这次调洪过程即告结束。
水库调洪是在水量平衡和动力平衡的支配下进行的，水量平衡可表示为水库水量平衡方程，动力平衡可由水库蓄泄方程（或蓄泄曲线）来反映。从起调开始，逐时段连续求解这两个方程，即可由入库流量过程Q~t求得出库流量过程q～t。
（1）、水库水量平衡方程
在某一时段△t内，入库水量减去出库水量，应等于该时段内水库增加或减少的蓄水量。


式中：△t——计算时段；
Q1、Q2——时段△t始、末的入库流量；
q1、q2——时段△t始、末的出库流量；
V1、V2——时段△t始、末的水库蓄水量。
（2）水库蓄泄方程
当泄洪建筑物的型式、尺寸一定时，泄流能力仅取决于泄洪设施的水头或水库蓄水量。对于开敞式溢洪道，其泄流能力可按下面的堰流公式计算：
q＝M1BH03/2
式中：q——溢洪道泄洪能力；
H0——考虑行近流速v的堰顶水头，H0＝H+v2/2g。水库的v一般较小，v2/2g 常可忽略不计，故H0可近似等于堰顶水深H；
B——溢流堰净宽；
M1——溢流系数，其值取决于溢流堰型式。
要逐时段进行水量平衡和动力平衡运算，一般常用的方法有试算法、半图解法和简化三角形法等，运用起来比较烦琐且精度不高，我们可以利用MathCAD的方程计算功能轻松地对这两个方程进行连续求解。
3.1.2、应用MathCAD进行水库调洪计算
例：某水库溢洪建筑物为开敞式溢洪道，其堰顶高程与正常蓄水位齐平，为116m，堰顶净宽B＝45m，溢流系数M1＝1.6。水库设有小型水电站，汛期按水轮机过水能力10m3/s引水发电。该水库的水位库容关系为：

库水位z（m） 75 80 85 90 95 100 105 115 125
库容V（106m3） 0.5 4.0 10.0 23.0 45.0 77.5 119 234 401

设计洪水过程线为

t（小时） 0 12 24 36 48 60 72 84 96
Q（m3/s） 10 140 710 279 131 65 32 15 10

试推求设计洪水位、最大下泄量和最大库容。
操作步骤如下：
（1）、对设计入库洪水过程线进行线性插值
入库洪水流量是时间的序列，可把入库洪水过程线定义为线性插值函数，对与时间t相对应的入库流量Q进行线性插值：QT（x）：＝linterp（t，Q，x） x:：＝0..9
（2）建立水位～库容关系曲线拟合函数
水库的水位～库容关系曲线就可以用以下的三次样条插值函数来拟合：
VS:=lspline(zt,v) ①
V(z):=interp(VS,zt,v,z) ②
①式是根据各点水位(zz)和库容(v)值求出各点的二阶导数值VS。
②式是根据各点的二阶导数值VS，各点的水位和库容值，求出任一水位(z)对应的库容V(z)值。
（3）、建立水库水位、下泄量函数
水库下泄流
（4）建立库水面积、库容微分方程

（5）建立水量平衡方程
取计算时段△t为1小时（3600秒），总时间为108小时，起调水位为116m

（6）计算结果
以上步骤编辑完成以后，MathCAD便自动进行计算，并显示出计算结果

（7）绘制平面直角坐标系图形
按@键，在横轴和纵轴中间的位标处填入变量名或函数表达式，就可以生成相应的图形，而且图形可以随变量值的改变而即时变化。在图形上单击右键，可以对图形的显示格式进行设置以获得更好的显示效果，如加入标题和轴标题，设置网格等。
绘制水库的水位～库容关系曲线、入库、出库流量过程线如图




3.2 矩形截面偏心受压构件配筋计算
在配筋计算中，经常会碰到非线性方程组，求解非线性方程组是一件比较困难的事情，一般的求解方法为数值计算法、图表法或电算程序。如果利用MathCAD内置的方程组求解函数Given—Find（x，y，z．．．．）模块进行求解，则非常方便。
例2：某矩形偏心受压柱，截面尺寸b×h＝400×600mm，内力设计值N＝525kN，偏心矩e0=600mm，h0＝560mm，采用C20混凝土，Ⅱ级钢筋，试配置该柱钢筋。
解：e0=600mm>0.3 h0=168mm，按大偏心受压设计，操作步骤如下：
输入已知条件：
B:=400 h:=600 e0:=600 h0:=560 fc:=10 fy:=310 fy1:=310
rd:=1.2
经计算得ηe0=647mm，e＝909mm，x＝ζbh0＝0.544×560＝304.64mm
输入求解初值：As1:＝100 As:＝100
应用Given—Find函数模块求解大偏心受压的两个基本公式（1）、（2）：

求解得受压钢筋面积As‘＝466.858mm2，受拉钢筋面积As＝2365mm2，
As‘>ρminbh0＝448 mm2，实配受压钢筋2φ18(As‘＝509 mm2)，受拉钢筋4φ28（As＝2463 mm2）
4、结语
与常用的计算软件相比较，MathCAD 的优点是显而易见的，它有所见即所得的界面，可以象手算一样得出每个变量的计算结果，克服了其它程序只能看到最终结果的“黑箱”现象，每一个步骤都可以直接观察到，与我们设计计算的传统习惯十分贴近。同时我们也不必须过多关心计算细节，也不要求我们具有较多的计算机编程语言知识，可以使我们把精力集中在问题的本质上，更多地考虑计算以外的问题，解放我们的繁琐重复劳动。它能极大地节约工程师的重复劳作，一些要不断重复的手算过程，只需一次，以后就可重复利用（只需对相应参数值作相应修改即可），方便设计人员设计、回顾、

共享自己的工作成果。
MathCAD 是一个能充分能发挥计算机在数学方面价值的优秀软件，将它应用于水利设计方面，可以大大提高我们的工作效率。MathCAD的功能是十分强大的，它在水利计算中的应用也将是十分广泛的，我们不仅要向广大水利科技人员推荐使用，还要更进一步探索它的多方面应用，让它更好地为水利工作服务。