结构计算振型数

根据用户与培训意见反馈，采用振型分解反映谱法进行结构地震反映分析中，不少用户遇到的一个困惑问题是如何确定结构计算振型数。为了确保不丧失高振型的影响，程序要求用户输入较多的结构计算振型数，从而保证结构的抗震安全性。但是一旦输入的计算振型数过多而超过了结构的计算自由度数，则会引起计算的混乱以致造成严重的分析错误。为了使用户自由地正确选取结构计算振型数，我们将概括地介绍结构计算振型数与结构自由度数的关系、结构计算振型数对结构抗震设计的影响，并且引入振型参与质量的概念，提出正确选取结构计算振型数的方法和程序操作步骤，最后用一个工程实例说明结构计算振型数选取不足带来结构抗震的不安全性。
一、 规范、规程相关规定
抗震规范第5.2.2条规定抗震计算时，不进行扭转耦联计算的结构，水平地震作用标准值的效应，可只取前2～3个振型，当基本自振周期大于1.5s或房屋高宽比大于5时，振型个数应适当增加。其条文说明中还指出为使高柔建筑的分析精度有所改进，其组合的振型个数适当增加。振型个数一般可以取振型参与质量达到总质量的90%所需的振型数。高规5.1.13-2条规定，抗震计算时，宜考虑平扭耦联计算结构的扭转效应，振型数不应小于15，对多塔结构的振型数不应小于塔楼数的9倍，且计算振型数应使振型参与质量不小于总质量的90%。
二、 结构自由度数
用振型分解反映谱法分析计算地震作用时，要用到结构的自振周期和振型。从工程实用和运行效率出发，振型分析计算提供了两种结构计算方法－侧刚计算方法和总刚计算方法，分别对应为侧刚模型和总刚模型，各自有不同的结构自由度数。这里所称的“结构自由度数”是专指结构振型分析有质量的自由度，是与由结构每个节点6个自由度集合而成的结构自由度有区别的。同样本节所称的“侧向刚度矩阵”和“总体刚度矩阵”都是专指结构振型分析的。
2.1 侧刚模型
这是一种采用刚性楼板假定的简化的刚度矩阵模型，即把房屋理想化为空间梁、柱和墙组合成的集合体，并在平面内无限刚的楼板上互相连接在一起。不管用户在建模中有无弹性楼板、刚性楼板或越层大空间，对于无塔结构的侧刚模型假定每层为一块刚性楼板，而多塔结构则假定一塔一层为一块刚性楼板。每块刚性楼板具有两个独立的水平平动自由度和一个独立的转动自由度。侧向刚度矩阵就是建立在这些结构自由度上的，可通过结构总体模型的刚度矩阵凝聚而成。侧刚模型进行振型分析时结构自由度数相对较少，计算耗时少，分析效率高，但应用范围有限制。
对于N层无塔的结构，侧刚模型的结构自由度数为3*N个。例如某个10层无塔结构，其结构自由度数为30个。
对于有塔结构侧刚模型的结构自由度的计算会复杂些。首先要确定独立层的数目M，即独立的刚性楼板数，其结构自由度数为3*M个。例如某个30层多塔结构，共有3塔。第1塔层数为1～30，第2塔层数为6～25（第1～5层与其它塔相连），第3塔层数为3～28（第1～3层与其它塔相连），则独立层的数目M=30+(25-6+1)+(28-3+1)=76，结构自由度数为3*76=228个。
2.2 总刚模型
这是一种真实的结构模型转化成的刚度矩阵模型。结构总刚模型假定每层非刚性楼板上的每个节点（有构件相连的）有两个独立水平平动自由度，可以受弹性楼板的约束，也可以完全独立不与任何构件相连，而在刚性楼板上的所有节点只有两个独立水平平动自由度和一个独立的转动自由度。总体刚度矩阵就是建立在这些结构自由度上的，可通过结构总体模型的刚度矩阵凝聚而成。总刚模型进行振型分析时能真实模拟具有弹性楼板、大开洞的错层、连体、空旷的工业厂房、体育馆等结构，可以正确求得结构每层每个构件的空间自振形态，但自由度数相对较多，计算耗时多和存储开销大。
对于N层无刚性楼板的结构，每层节点数分别为 ，则总刚模型的结构自由度数为 个。例如某个无刚性楼板的10层结构，每层节点数都为30个，则总刚模型结构自由度数为10*2*30=600个。
对于N层有刚性楼板的结构，每层独立于刚性楼板的节点数分别为 ，每层刚性楼板数分别为 ，则总刚模型的结构自由度数为 个。例如某个有刚性楼板的10层结构，每层独立于刚性楼板的节点数都为20个，每层均有10个节点在1块刚性楼板上，则总刚模型结构自由度数为10*(2*20+3*1)=430个。
三、 结构计算振型数
结构计算振型数是指程序的前处理的《地震信息》中“计算振型个数”项，是需要用户自己填写的。用户选取的结构计算振型数的最大值是第2节所述的结构自由度数。
3.1 地震作用和作用效应
用振型分解反映谱法计算地震作用和作用效应时，不考虑扭转耦联计算的结构每个振型j在i质点都有水平地震作用标准值 ，水平地震作用效应按平方和方根法SRSS加以组合 ，其中m为结构计算振型数。同样考虑扭转耦联计算的结构每个振型j振型在i层也都有水平地震作用标准值 、 、 ，水平地震作用的扭转效应按完全二次型组合法CQC加以组合 ，其中m为结构计算振型数。
用振型分解反映谱法计算地震作用和作用效应时，不考虑扭转耦联计算的结构每个振型j在i质点都有水平地震作用标准值 ，水平地震作用效应按平方和方根法SRSS加以组合 ，其中m为结构计算振型数。同样考虑扭转耦联计算的结构每个振型j振型在i层也都有水平地震作用标准值 、 、 ，水平地震作用的扭转效应按完全二次型组合法CQC加以组合 ，其中m为结构计算振型数。
3.2 选取足够的结构振型数
由3.1.节可见结构计算振型数增加，水平地震作用效应增大，就是说内力和变形应增大。按理说，以结构刚度矩阵自由度的总个数作为结构计算振型数可完全包含振型分解反映谱法给出的全部地震作用效应，其设计是最真实和安全的。但对于一个大型结构工程，计算结构的所有振型、水平地震作用标准值以及进行水平地震作用效应组合所需计算机运行时间和存储开销实在太长，以致于往往无法实现。究竟是否有必要计算所有的振型并参与地震作用效应组合呢？不必要。因为最后的那些高振型对结构地震作用贡献很小，所以只要计算足够的振型数就够了。为此如何选取足够的结构振型数成为计算的一个关键问题。
3.3 振型参与质量
抗震规范和高规提出了“振型参与质量”的概念和应用原则。此概念最早出现于WILSON E.L教授的ETABS程序中。他指出在层刚性楼板假定下，当累计的X、Y和 的振型有效质量都大于90%时，这时所取的振型数就是足够的振型数。
现在程序提供的方法是一种适用于刚性楼板和弹性楼板的通用方法，用于计算各地震方向的有效质量系数。用户可以在输出结果中查到计算各地震方向的有效质量系数，保证有效质量系数超过0.9。超过0.9意味着计算振型数够了，否则计算振型数不够。如果不够，说明后续振型产生的地震作用效应不能忽略。如果不能保证这点，将导致地震作用偏小。按此地震作用设计的结构将存在不安全性，所以应该增加振型数重算。
3.4 选取原则
 规范、规程给出的选取振型的具体个数，如前2～3个振型、振型数不应小于15、对多塔结构的振型数不应小于塔楼数的9倍等，均是一种粗略估计取法。对于有弹性楼板、大开洞的错层、连体、空旷的工业厂房以及体育馆等结构，若按此下限选取振型数则会造成地震作用明显不足；
 规范、规程规定的振型参与质量的判断法是一个严格的、通用的、计算机才能实现的方法。不论任何结构类型，用户应保证各地震方向的振型参与质量都超过总质量的90%作为选取足够的结构计算振型数的唯一判断条件；
 用户选取的结构计算振型数最大不能超过结构自由度数，否则会造成地震作用计算异常。
3.5 程序操作步骤
① 设置计算振型数
 SATWE
进入菜单《1.接PM生成SATWE数据》→《1.分析与设计参数补充定义》→《地震信息》，在‘计算振型数’项内填入振型数。
 TAT
进入菜单《2.数据检查和图形检查》→《3.参数修正》→《地震信息》，在‘计算振型数’项内填入振型数。
 PMSAP
进入菜单《3.参数补充与修改》→《地震信息》，在‘参与振型数’项内填入振型数。
② 计算。
③ 查看结果文件，看地震工况的‘有效质量系数’是否≥90%。
④ 是，计算结果可靠。否，进入①增加计算振型数，重复②到④。
3.6 关联操作
‘楼层最小地震剪力系数’：详见《应用指南》第1.5节。当有效质量系数不足时，也会发生剪重比不够。
3.7 结果说明
用户可以在输出结果中查到计算各地震方向的有效质量系数，判断是否满足判断条件。
① SATWE可在WZQ.OUT文件中查看X、Y向的有效质量系数。如
X 方向的有效质量系数：93.24%
Y 方向的有效质量系数：93.07%

② TAT可在TAT-4.OUT文件中查看X、Y向的有效质量系数。如
X向地震有效质量系数：Cmass-x = 97.98%
Y向地震有效质量系数：Cmass-y = 98.00%

③ PMSAP可在工程名_TB.RPT（简单扎要）文件中查看X、Y向的有效质量系数。如
地震方向 1 有效质量系数= 92.44%
地震方向 2 有效质量系数= 93.32%
四、 工程实例计算分析
某结构工程，8层，有弹性楼板和大空旷无楼板层。抗震设防烈度为7度（0.10g）场地类别属于二类。采用总刚计算方法进行振型分解反映谱法的地震作用分析。在X向地震作用下，结构应满足的楼层最小剪重比为0.016。下图是用SpaSCAD显示的实体模型。


某工程实体模型图

在分析过程中，我们按结构计算振型数15、45和80分别做了三次计算。现把其结构X向地震作用结果列表如下：

不同振型数的有效质量系数、基底剪力、剪重比和比例的对照表
振型数 15 45 80 最小剪重比
有效质量系数% 49.81 93.23 95.36
基底剪力 10360.14 30177.50 30298.29 18418.03
剪重比% 0.90 2.63 2.64 1.60
三者基底剪力的比例 34.33 100.00 100.40

从表4-1的数据分析可见：
① 当结构振型数取为15个时，因为有效质量系数（规范称为参与质量）为49.81％，不足90%。同时底层剪重比只有0.009，也远小于楼层最小剪重比。所以此结构选取15个结构振型数是不够的，也可说对某些结构振型数取少了，会得出不满足楼层最小剪重比的错误结论。
② 当结构振型数取为45个时，有效质量系数（规范称为参与质量）为49.81％，超过90%，并且基底剪力比取15振型数时明显增大，达到30177.50 kN，底层剪重比达到0.026，满足楼层最小剪重比的要求。
③ 当结构振型数取为80个时，比取45个多了不少，但基底剪力增加不多。基底剪力只增加了30298.29-30177.50=120.79 kN，仅提高0.4%。可见有效质量系数达到90%时，可以放弃其后的高振型影响。
④ 表4-1中第4列是满足结构最小剪重比0.016时的X向地震作用的基底剪力10360.14/0.9*1.6=18418.03，比取45振型数的基底剪力要小得多。所以说剪重比不满足时，首先必须检查有效质量系数是否达到90%。

不同振型数的每层剪力和剪重比的对照表
剪力Vx(kN) 剪重比%
楼层号\振型数 15 45 80 15 45 80
8 325.77 557.34 550.38 4.51 7.72 7.63
7 3094.99 3388.65 3390.34 3.81 4.18 4.18
6 4140.57 4780.83 4782.92 3.13 3.61 3.62
5 8889.47 9697.71 9706.65 2.00 2.19 2.19
4 9402.32 9899.53 9901.79 1.97 2.07 2.07
3 9781.96 9836.74 9838.08 1.91 1.92 1.92
2 10016.80 10341.91 10348.76 1.83 1.89 1.89
1 10360.14 30177.50 30298.29 0.90 2.63 2.64

上表详细地给出了振型数取为15、45和80时每层X向地震作用的楼层剪力和剪重比。从中我们可以更细致地分析选取不同结构振型数对地震作用的影响，从而说明3.2.2节的“选取原则”可用性。