公路匝道问题

公路匝道问题
　一、 引言

　　匝道是组成高等及公路立交的基本单元，其形式千变万化，就线形而言，也是由直线段、回旋曲线段、圆曲线段组成。但是，组成立交的匝道涉及线形的曲率变化特点，利用复化辛普森公式导证了计算公路匝道点位坐标的通用公式。并利用卡西欧FX-4500P计算器编程计算公路匝道点位坐标。
　　二、公路匝道点位坐标计算
　　1. 公路匝道中线形式
　　公路匝道中线是由直线—回旋曲线—圆曲线（R1）—回旋曲线—圆曲线（R2）—回旋曲线—直线的顺序组成的，其中R1¹R2。
　　2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计算
　　如图1，设回旋曲线起点A的曲率为rA，其里程为DKA；回旋曲线终点B的曲率为，其里程为DKB，Ax¢y¢为以A为坐标原点，以A点切线为x¢轴的局部坐标系；AXY为线路坐标系。
　　由此回旋曲线上各点曲率半径为Ri和该点离曲线起点的距离i成反比，故此任意点的曲率为
　　 （ =R 0为常数）（1）
　　由式（1）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DKi点的曲率为
　　 （2）
　　当曲线右偏时， 取正；当曲线左偏时 取负。在图1中有
　　
　　 （3）
　　将式（2）代入式（3）得
　　 （4）
　　若已知回旋曲线起点A在线路坐标系下切线坐标方位角αA，则里程为Dki点切线坐标方位角为
　　 （5）
　　将式(4)代入式(5)得
　　 （6）
　　对于式(6)，当 ， 时， ，则 ai=aA，式 (6)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当 ， 时， ， ，则式(6)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式。
　　可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(6)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。
　　3、回旋曲线点位坐标计算
　　由图1可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式：
　　 （7）
　　 （8）
　　设回旋曲线起点A在线路坐标系下的坐标为将式(6)替代式(8)中的，便得回旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标：
　　
　　 （9）
　　对于式(9)的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算。
　　首先将积分区间[DKA，DKi]划分为n等份，步长为H=（DKi-DKA）/n，分点里程DXK=DKA+KH，K=0，1，2，×××，n，记子区间[DXK，DXK+1]的里程为DXK+1/2，则DXK+1/2=（DXK+DXK+1）/2，K=0，1，2，×××，n-1。
　　由此式(9)用复化辛普森公式表示为
　　 n-1 n-1
　　 X=XA+H/6´（cosaA+4∑cosaK+1/2 +2∑cosaK +cosai）
　　　K=0 k=1
　　 n-1 n-1
　　 Y=YA+H/6´（sinaA+4∑sinaK+1/2 +2∑sinaK +sinai） （10）
　　 K=0 k=1
　　式中：aA为回旋曲线起点A的切线方位角；aK+1/2为里程DXK+1/2点切线方位角；aK为里程DXK点切线方位角；ai为里程DKi点切方位角。
　　对于式(10)，虽然是由回旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段。
　　三、复化辛普森公式的使用说明
　　为满足点位坐标计算精度，经验算取n=2。无论是直线段、圆曲线段、回旋曲线段，只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里程以及解求点里程Dki和各分点里程代入式(2)、(6)、(10)便可获得待求点Dki的坐标。在计算时，要注意曲线的偏向。


　四、公路匝道坐标计算源程序 　　L1 Lbl0：T“X1”U“Y1”C“AT”D“PA”E“PB”A“CH0”B“CHN”G“X0”I“Y0”：M：Lbl1：N=0：P=0：O=0：Q=0：S=0：{J}：J“CHI”
　　L2 Lbl2：N=N+1：H=2（J-A）/M：F=NH/2+A：R=C+180/p´（D+（E-D）/2（B-A）´（F-A））（F-A）：Int（N/2）=N/2=>O=O+cosR：P=P+sinR：¹>Q=Q+ cosR：S=S+ sinRD
　　L3 N=M=>Goto3：¹>Goto2DLbl3：X=G+H/6´（cosC+4Q+2O-cosR：Y=I+H/6´（sinC+4S+2P-sinR）：X：“X=”ùY：“Y=”ù Pol（X-T，Y-U： Vù W<0=>W=W+360ù¹>WùDGoto1
　　 X1----测站点X坐标
　　 Y1----测站点Y坐标
　　 AT----曲线起点方位角
　　 PA----曲线起点曲率 （当曲线右偏时，ρA取正；当曲线左偏时ρA取负。）
　　 PB----曲线终点曲率 （当曲线右偏时，ρB取正；当曲线左偏时ρB取负。）
　　 CH0----曲线起点里程
　　 CHN----曲线终点里程
　　 X0----曲线起点X坐标
　　 Y0----曲线起点Y坐标
　　 M----求和累积次数n的2倍
　　 CH----曲线待测点里程
　　 X----曲线待测点X坐标
　　 Y----曲线待测点Y坐标
　　 V----测站至待测点间的距离
　　 W----测站至待测点间的方位角
　　其中R=C+180/p´（D+（E-D）/2（B-A）´（F-A））（F-A）为（2）、（6）式的合并式，计算切线坐标方位角；O=O+cosR、P=P+sinR、Q=Q+ cosR、S=S+ sinR、X=G+H/6´（cosC+4Q+2O-cosR、Y=I+H/6´（sinC+4S+2P-sinR）计算点位坐标。由于累计时O=O+cosR、P=P+sinR分别多累加了一个cosR、sinR，所以在程序中（10）式最后一项前为负号。
　　五、坐标计算算例
　　 利用万家寨水利枢纽工程左岸上坝公路一段曲线验证复化辛普森公式坐标计算程序的正确性。
　　 如图2：0+488.8~0+552.74为直线段，0+552.74~0+577.74及0+693.17~0+718.17为缓和曲线段，缓和曲线长 为L0=25M，0+577.74~0+693.17为圆曲线段，R=85M。
　　 在计算器中找到该程序，先输入直线段的起算数据，以里程0+488.8为起点，求得0+500.0点的坐标，然后分别以里程0+552.74、0+577.74为起点计算验证缓和曲线及圆曲线上各点的坐标。
　　与分别运用直线段、缓和曲线段、圆曲线段计算坐标的计算公式所计算的结果完全相同。
　　 六、结论
　　 本文利用的式（10）是计算公路匝道点位坐标的通用公式。当曲线的设计半径较小时，为保证点位计算精度，n（即程序中M的1/2倍）的取值可适当的大些。
　　 利用上例验算的计算结果可以说明该程序对于公路的直线段、缓和曲线段、圆曲线段均实用。上例在计算圆曲线起点（0+577.74）参数时，可利用计算缓和曲线终点（0+577.74）坐标后，在计算器中提取X、Y的数值即为圆曲线起点坐标值，提取R加360即为圆曲线起点方位角。且程序中已算出待测点至测站的平距和方位角，可利用全站仪自由设站极坐标法放样，此方法放样速度快，准确率高。