非线性模态理论及其研究进展

非线性模态理论及其研究进展


非线性模态（NNMs）理论是线性模态理论的自然发展，最初是由美国加州大学伯克利分校的
Rosenberg 1 等引入的，主要研究离散、无阻尼非线性系统的自由振动．
1991 年，Shaw 和 Pierre2 引用动力系统理论中不变流形（invariant manifold）的概念来定义非线性模态，将非线性模态定义为系统相空间中二维不变流形上的运动．这一开创性的工作，将该领域的研究带入了一个新的发展阶段．Shaw 和 Pierre 定义的非线性模态既可用于保守系统，也可用于非保守系统．在文献 [3] 中他们指出，当系统存在内共振关系时，应将不变流形的维数提高到四维．1994 年，Nayfeh针对内共振非线性系统提出了复不变流形方法4．陈予恕、吴志强 利用规范型理论将 Shaw 和 Pierre 的5, 6思想做了重大推广，他们认为非线性模态为系统相空间中偶数维不变流形上的运动．他们将求解非线性动力系统的规范型（Normal Form）方法直接用于非线性模态的构造，得到的模态上的动力学方程（即模态振子）具有 Normal Form 形式．连续系统非线性模态的研究，近年来也日趋活跃．King 和 Vakakis 于 1994 年提出了基于能量守恒的无阻尼系统的非线性模态的计算公式7．Shaw 和 Pierre 于 1995 年将他们构造非线性模态的方法推广到一维连续系统 ．Nayfeh9 用多种方法分析了连续系统的非线性模态，并对多尺度法、复不变流形方法、8Shaw 和 Pierre 法、King 和 Vakakis 法作了比较．文献 [10] 研究了参数激励悬臂梁的非线性模态；文献[11] 研究了连续系统非线性模态的正交条件；文献 [12] 研究了两端固支梁的模态耦合效应；文献 [13]和 [14] 分别研究了一维和二维连续体存在内共振关系时非线性模态的正交条件．非线性模态的一个最重要特性是其具有分岔行为，从而直接导致非线性模态的数目会超过系统的自由度数（线性模态的数目总是等于系统的自由度数）．所以非线性模态的分岔问题一直引起去不少研究者的兴趣．例如，Caugkey15 用摄动法和数值方法研究了一类两自由度保守自治系统的非线性模态的分岔；Nayfeh 分别研究了离散系统16 和连续系统17 的非线性模态的分岔．李欣业、陈予恕等利用奇异性理论分别研究了单重内共振18,19, 20和双重内共振21, 22系统非线性模态的分岔，并发现了一些新的分岔模式．