箱形截面压弯杆弯扭屈曲承载力

近三十年来各种类型的钢结构在我国获得了大范围的应用,其快速发展促进了对它们设计方法的研究。由于研究手段的现代化,钢结构稳定理论、抗震设计理论和组合结构理论都取得了巨大的进展,钢结构及其配套新技术也不断出现。虽然钢结构应用广泛,钢结构设计规范也已经进入第 4 个版本即 2017 版本,但是钢结构设计仍存在很多亟待改进的地方,例如外露式柱脚的锚栓能否参与抗剪以及抗剪承载力如何计算,外包式柱脚的外包混凝土层是钢柱的支座还是与钢柱共同工作形成了钢管混凝土(SRC)柱,抗震结构的梁柱节点域应设计成强节点域还是弱节点域,等等。浙江大学童根树教授在参与钢结构相关规范的过程中对这些问题进行了一些思考,并带领团队进行了相关深入研究,在重视理论的同时也偏向工程应用,积累了很多很好的设计经验。为进一步促进和推动我国钢结构设计方法和技术的发展,《钢结构(中英文)》编辑部特邀童根树教授将其在钢结构设计研究中的新观点、新方法和新结果进行系列介绍,以飨读者,并欢迎大家交流和探讨。

GB 50017—2017《 钢结构设计标准》对箱形截面压弯杆平面外失稳给出的验算公式为:

式中: φ _y 为绕 y 轴弯曲屈曲的稳定系数; M _x,y 为绕强轴边缘屈服弯矩; γ _x 为塑性开展系数; M _x 为绕强轴的弯矩; N 为轴力;Np 为全截面屈服轴力。

式(1)中 η = 0.7,引入该系数自 GB 50017—2003《钢结构设计规范》后,2017 版没有改变。但最早来源于 TJ 17—74《钢结构设计规范》中对偏压杆平面外失稳的综合稳定系数乘以 1.3,相关文献对这个问题进行了详细研究和介绍,但此文没有这个公式,因此推测式(1)是来自 TJ 17—74 的压弯杆平面外稳定计算方法演化成轴力-弯矩相关关系的公式形式时将稳定系数放大系数 1.3 改为弯矩项的稳定系数放大系数 1.4 (1988 年版) ,再进一步演化成式(1)的系数 0.7 (1/1.4≈0.7)。

美国 AISC LRFD 2010不区分工字形截面和箱形截面,采用式(2)计算:

式中: M _xcr 为纯弯时的临界弯矩。

图 1 箱形截面

Eurocode 3-1对箱形截面的公式区分截面类别,对 Class 3 截面,有:

对 Class 1 和 2 截面,有:

双轴对称截面弹性弯扭屈曲相关曲线为:

M _{x cr} 计算式如下:

式中: I _y 为绕弱轴的惯性矩; I _ω 为矩形钢管截面的翘曲惯性矩。

式中: b 、 h 、 t _w 、 t _f 见图 1。

P _Eω = ∞ 时式(5)变为屈曲抛物线形, AISCLRFD 2005 就采用该抛物线公式:

以上各式代表的强度相关关系和弯扭屈曲相关关系,以 B600×150×14 和 B600×14 两个截面为例在图 2 中示出。可见强度抛物线(二次方在轴力项,见式(11) ) 和屈曲抛物线(二次方在弯矩项)不一样,式(1)虽然是用于验算平面外稳定,却更接近于强度曲线。

a—矩形钢管; b—方钢管。

图 2 强度和弯扭屈曲相关关系

相关文献认为偏心率大时采用式(8)更加合适,在偏心率小时承载力比式(8)还有所降低。可以猜想,在 平面外长细比较小时,稳定承载力曲线应接近强度相关关系,而长细比较大时,又与屈曲相关关系接近。为此有必要对此问题进行研究。

在获得式(5)的求解过程中,屈曲前未进行二阶分析。实际上屈曲前弯矩被轴力放大,因此式(5)中的弯矩应理解为二阶弯矩。即式(5)应修改为:

可见,如果采用一阶弯矩,则稳定相关曲线还与平面内的长细比有关。图 2 给出了式(9)与式(5)的对比,如果是方钢管,式(5)和式(9)存在巨大差别,即式(9)是下凹的,而式(5)是上凸的。

下面如果不是特别指出,弯矩是指弯扭屈曲前被放大了的平面内弯矩。

图 3 三本规范弯扭失稳公式比较

压弯杆平面内稳定的轴力-弯矩相关关系,采用了工字形截面强度的相关关系推导得到的公式(略加修改甚至是不加修改直接加以应用),见相关文献。但平面外弯扭屈曲的相关关系还没有相关的推导方法,本文提出了一种推导方法。

针对箱形截面,绕强轴压弯塑性铰时的轴力和弯矩相关公式为 :

矩形实心截面的轴力和弯矩相关关系为(简称为强度抛物线) :

平面内受力发生平面外的弯扭失稳时,涉及到轴力和双向弯矩,还有双力矩,因此要利用单向压弯形成塑性铰时的弯矩和轴力相关关系,绕强轴的弯矩即式(10),绕弱轴的弯矩时也可以采用式(10),但腹板的面积和翼缘的面积要互换。

为了一次性推导出后面的公式,先提出精度很高的简化公式:

图 4 给出了拟合公式(10)和式(12)的对比,可见精度非常好。

a—绕强轴; b—绕弱轴。

图 4 单向弯曲拟合公式对比

双向压弯的情况下,形成塑性铰时的相关曲线为:

图 5 给出了式(13a)和数值计算结果的对比,公式值低于数值计算的精确结果。

a—方钢管 B160×160×4; b—矩形钢管 B160×640×14。

图 5 不同高宽比下双向弯矩相关关系

在有双力矩的情况下,将式(13a)中绕 x 和 y 轴的弯矩修改为:

式中: B _ω 为双力矩。

有初始弯曲和初始扭转的双轴对称截面压弯杆的平衡微分方程为:

假设

假设初始扭转 θ _0m 和初始弯曲 β _n 满足:

式中: N _cm 为给定弯矩下满足式(5)的轴力。将式(16)、(17)代入式(15a,b)得到:

式(18)中存在两个特例,即:1) 弯矩为 0 时, β _n = 0,所以 θ _0m = 0,有

2)轴力等于 0 时, 有:

二阶弱轴弯矩和双力矩表达式为:

保留与不保留双力矩项的计算结果对照表明,双力矩影响不到 0.5%,即使是 h / b = 6 的矩形钢管截面,双力矩影响仍可忽略。

初始弯曲取值应使轴压杆绕弱轴屈曲的承载力等于压杆的稳定承载力。将式(19)代入式(12b)得到:

轴压杆时 ,代入式(22)得到:

这样引入的初始弯曲综合地考虑了残余应力、初始弯曲以及在弹塑性失稳时弹塑性的二阶效应对平面外弯矩的放大作用。

压弯杆时,按照式(16a,b),存在初始扭转,此时本文要求侧移较大翼缘的初始侧移与式(23)给出的相同,则

后面的算例分析表明, U _0m 仅比 U ₀ 小 0.5% ~1.5%,说明初始扭转很小。

引入如下记号:

利用式(13a)时,由于式(21a)是绕弱轴二阶弯矩,式(21b)是二阶双力矩,代入公式时不再需要放大,但是所有式子中 M _x 都宜取为平面内分析的二阶弯矩:

于是得到:

其中

先假设所有相关关系都采用线性公式,即上式中的所有指数 a , c , ψ , ξ 都取 1.0,包括式(23b)中的指数也取 1.0,即:

因为 忽略箱形截面中的双力矩的影响,取 φ _b = 1,则式(29)变为:

式(31)给出的曲线如图 6 所示,可见平面外失稳的轴力-弯矩相关曲线与平面内的轴力弯矩相关曲线有根本性的不同,在轴力 -弯矩强度相关曲线都是线性时,平面外相关曲线是外凸的,而平面内稳定相关曲线是下凹的。

图 6 强度线性相关时的弯扭失稳相关关系

纯弯时式(29)变为(此时平面内的一阶弯矩和二阶弯矩相同) :

采用式(32)计算的箱形梁稳定系数如图 7 所示,其中缺陷的取值来自式(23)和式(24),柱子稳定系数取 b 曲线。可见箱形梁一般不会弯扭失稳。

箱形截面梁纯弯时一般无需计算稳定性。GB50017—2017 规定在 h / b = 6 时,当跨度与宽度 ( L / b  )之比不大于 时,无需计算稳定性,此长度对应的正则化长细比为 0.5。

图 7 箱形截面受弯构件弯扭屈曲稳定系数

计算发现,在 h / b = 6 时 ,当平面外弯曲屈曲的正则化长细比 λ _y 达到 2.0 时,弯扭屈曲的正则化长细比 λ _b 才 0.51,可见弹塑性弯扭屈曲的极限弯矩就是塑性弯矩。

图 8 给出式(29)求出的 5 种高宽比等厚矩形钢管截面的轴力和弯矩相关关系 曲线。可知: 

1) 在将弯矩解释成平面内二阶弯矩时,式(1)仅在轴力项为 0.4 以下高于式(29)。这个结论是与相关文献的偏心率大(轴力较小)时应采用式(5)的结论一致。

由图 2b 以及后面的图 13 可知,如果采用一阶弯矩,式(1)在 h / b = 1.0,1.5 时高于式(29)较多,但此时由平面内稳定公式控制。

2) 长细比较小时,曲线更靠近强度相关曲线式(9) ;长细比增大时,曲线更接近于屈曲相关曲线式(5) ,继续增大长细比,则曲线超越式(5)。

3) 采用二阶分析的弯矩的相关曲线,不同宽高比的矩形钢管截面的曲线比较统一,这显示了采用二阶弯矩的必要性。

4) 图 8 曲线显示出与平面内失稳的曲线完全不同的性质:采用二阶弯矩时平面内失稳的相关曲线基本上是一条直线。图 6 显示的曲线则是长细比越大,曲线越上凸。平面外屈曲相关曲线的这一现象是正确的: 因为弹性范围内(即长细比较大),弯矩对屈曲承载力没有影响,反映在曲线上,则随弯矩增加,轴力项下降很小。

a— h / b = 1.0; b— h / b = 1.5; c— h / b = 2; d— h / b = 4; e— h / b = 6。

图 8 不同截面高宽比下平面外稳定相关曲线

欧洲的 Eurocode 3 Part 1-1的附录 B 表 B-1 中的表注提到,箱形截面压弯杆弯扭失稳时可以不考虑弯矩,这是一个极端的情况,也与式(3)、(4)不一致。

式(29)的推导采用了强度公式,引入与柱子稳定系数 b 曲线对应的综合性初始弯曲(其中包含了残余应力的影响) 和符合式(17a)这一关系的初始扭转,并考虑了二阶效应。

强度公式(13a)略偏安全,特别是两个方向无量纲弯矩相差不大时。但是,本文研究承受强轴平面内弯矩的压弯杆发生平面外的弯扭屈曲,平面外弯矩是二阶弯矩,因此 M _x 较大、 M _y 较小的区域,在这个区域,式(13a)偏保守的程度有限。由平面内稳定公式的推导过程可知,依据强度公式推导出来的平面外弯扭屈曲的轴力-弯矩相关关系略偏不安全。为了获得基本合理的相关关系曲线,必须对二阶效应进行放大,放大的部分如下:

式(33c)中系数 A _m 综合考虑了平面内弯矩的弹塑性放大以及该放大了的弯矩作用于绕弱轴初始弯扭变形后引起的弹塑性二阶弯矩相对于弹性二阶弯矩的放大。

因为平面外初始弯曲的大小已经按照式(23)取值,这部分的二阶弯矩不能再放大(否则这个公式在弯矩等于 0 时不能退回到轴压杆绕弱轴屈曲)。

引入式(33) 后的 p - m xII 相关曲线(即 相关曲线)如图 9 所示。与图 8 相比,图 9 的曲线有所下降,特别是方钢管截面,这显示了方钢管截面和接近方钢管的矩形钢管截面的平面内弯矩放大的影响较大。图中还得出了如下抛物线公式:

图 9d ~ g 加上了相关文献的 12 个试件的结果,试件高宽比为 5.5 和 3.3,长细比为 0.88 ~ 1.3。从这 12 个试件的结果看,式(1)是合理的。

a— h / b = 1.0; b— h / b = 1.5; c— h / b = 2; d— h / b = 3; e— h / b = 4; f— h / b = 5;g— h / b = 6。

图 9 引入放大弯矩后的平面外稳定相关曲线

图 10 是在给定长细比下,以矩形钢管截面的高宽比为变量画出的曲线。

a— λ _y = 0.4; b— λ _y = 0.6; c— λ _y = 0.8; d— λ _y = 1.0; e— λ _y = 1.2; f— λ _y = 1.6。

图 10 不同高宽比的相关曲线

图 11 示出不同长细比时引入和不引入式(33)带来的曲线形状变化,以便对其相关影响有一个直观的印象。与平面内稳定的验算公式一样,在长细比较小时,差别较小,而长细比达到 1.6 时, 差别明显。

a— λ _y = 0.4; b— λ _y = 0.8; c— λ _y = 1.0; d— λ _y = 1.6。

图 11 引入放大了的弯矩前后曲线的对比

通过上述分析可以得到,箱形截面压弯杆弯矩作用平面外的弯扭屈曲,其验算公式可以拟合成如下公式:

式中:指数 d 在 1 ~ 2 之间变化,长细比大时接近于2。因此可以拟合得到:

式(35)与理论推导公式的对比如图 12 所示,可见除了方钢管压弯杆外(方钢管压弯杆是平面内稳定控制),矩形钢管压弯杆弯扭屈曲公式(35)的精度良好。

a— λ _y = 0.4; b— λ _y = 0.8; c— λ _y = 1.0; d— λ _y = 1.6。

图 12 拟合公式与理论公式的对比

如果采用一阶弯矩来提出公式,并画出曲线,则曲线如图 13 所示,可见,曲线形状更加依赖于截面的高宽比,且式(1)会偏不安全。因此式(1)中的弯矩应理解为二阶弯矩。

图 13 中式(1)偏不安全不太正常,须进一步考察。平面内稳定验算公式为:

在平面内和平面外计算长度相同时画出曲线见图 13 带有. x 标记的曲线,可见承载力被式(1)和式(36)所控制。

a— h / b = 1.0; b— h / b = 1.5; c— h / b = 2.0; d— h / b = 3.0。

图 13 采用线性弯矩时的相关曲线

对箱形截面压弯杆弯扭屈曲承载力公式进行了理论分析,主要结论如下:

1) 对比了规范公式、箱形截面强度公式以及弯扭屈曲公式,指出在长细比较大时存在着抛物线形状发生变化的可能性;

2) 对有初始弯曲和扭转的压弯杆的弹性变形进行了二阶分析,给出了解析解,对初始弯曲和初始扭转的比值引入式(17a)后解析解得以简化,方便应用; 

3) 对箱形截面的单向压弯塑性铰状态的强度公式进行了单一表达式进行拟合,提出式(12a)和式(12b),精度高; 

4) 对箱形截面双向压弯相关关系进行了计算和拟合,式(13)精度良好,在轴压比较大(轴压比0.8,0.9) 且无量纲化的双向弯矩接近时偏安全略多;

5) 参照压弯杆平面内稳定验算公式的推导方式,引入平面外等效初始弯曲,即式(23),以备下一步应用。

6) 采用平面内二阶弯矩,引入等效初始弯曲和平面外二阶弯矩等的进一步放大(即式(33b)和式(33c)),代入式(13a) ,推导出了箱形截面压弯杆的弯扭屈曲计算公式,并画出了曲线。

7) 拟合了箱形截面压杆弯扭屈曲计算公式(35),与导出的曲线基本符合;

8) 本文研究表明,弯扭屈曲计算应采用二阶弯矩。在采用二阶弯矩的情况下,现行 GB 50017—2017 中箱形截面压杆平面外稳定计算公式在轴力较大时是偏安全的,轴力较小时由平面内稳定控制。