永磁同步电机的动态模型

本文参考《永磁无刷电机及其驱动技术》的第三章永磁同步电机的动态模型，摘抄的目的在于可以时常翻一翻。

3.1 两相永磁同步电机的实时模型

推导永磁同步电机动态模型时基于以下假设：

（1）定子绕组加以对称正弦分布的磁动势；

（2）电感随转子位置正弦变化；

（3）饱和及参数变化忽略不计。

永磁体置于转子上，定子绕组在空间以相差90度电角度排布，转子轴线（转子绕组）与定子直轴相差角度 ，并且假设交轴沿着转子旋转的逆时针方向超前直轴。

两极面装式PM ** 结构简图

从该图中可以清晰的表现出来，坐标ABC轴的方向是完全由定子绕组中的Ax、By、Cz的电流方向，利用右手定则得来的；而定子绕组（或永磁体）产生的主磁场 就是直轴（d轴）。

定子的交直轴电压方程可由定子电阻的电压降和磁链的微分之和求得，在每个绕组中可以表示为：

其中 表示微分算子，

表示d轴与q轴绕组的电压；

表示 d轴和q轴的定子电流 ；

表示d轴和q轴的定子电阻 ；

表示为d轴和q轴的定子磁链 ；

定子绕组磁链可以写成绕组自身磁链产生的磁链和由其他绕组及永磁体产生的互磁链之和。（图解）

其中， 是瞬时转子的位置；

因为绕组对称，故绕组电阻相等，可以表示为

故d轴和q轴的定子电压可以表示成磁链和电阻压降的形式：

式中 分别表示 q轴和d轴的电感 ；

都是表示互感，第一个下标代表产生反电势的电阻，且是因为第二个下标所代表的绕组中通以电流产生的；并且因为d轴和q轴绕组是对称的，所以二者相等。

并且永磁同步电机 电感是转子位置的函数（在上式中的求微分表现形式可以看出 ），电感的推导如下：

考虑自感 ：

a) 当转子位置为0时，考虑d轴电感情况：转子在此位置时，永磁体轴线与定子绕组的d轴重合，而气隙磁通的路径由于永磁体的存在而变长，（永磁体的相对磁导率几乎相等，铁芯的磁阻与之相比可以忽略），因而经过此路径的磁阻变大，绕组电感降低。

下面对绕组电感降低进行解释：

自感

互感

则由此可以知道，电感同磁阻成反比，此时绕组 电感降低，此位置对应着电感最小的位置，用 表示。

b)当转子沿着逆时针方向转动时，磁阻减小，因而电感变大，一直到转子位置达到90度电角度时，此位置d轴磁通路径完全没有通过永磁体，仅仅通过转子的铁芯和双边气隙，故在此位置时（交轴位置 ），d轴绕组电感是最大的，电感用 表示。

由于绕组磁动势分布是正弦的，因此自感可以表示为两倍转子位置角的余弦函数。从而q轴和d轴绕组的自感可用转子在d、q位置时的绕组电感的最大值及转子位置表示：

令 、 便于矩阵话的表现形式。

进行检验： 在=0时等于，在=90度时等于，与上述的讨论是一致的。

考虑互感：

空间中以相差90度布置的两个绕组，当其中一个绕组中通以电流时，其产生的磁链不会与另一个绕组交链。如果转子是表面光滑的圆柱体时，q轴和d轴绕组的互感为0。而对于永磁体内置与转子中的永磁电机来说，其存在凸极性，q轴和d轴的不均匀磁阻提供了通过q轴绕组的磁通路径，因而d轴绕组磁链一部分将会与q轴绕组相交链。

当转子位置为0度和90度时，互耦合为0；

当转子位置为-45度时，互耦合达到最大。

若q轴和d轴绕组间互感按正弦方式变化，则其可以表示为：

(实际永磁同步电机， ,在表贴式永磁同步电机中，因差别较小，常认为是相等的)

将自感和互感带入到定子电压方程中，可以得到：

注意：对于表贴式而言，L2=0，上式可以进行简化。

因为电感依赖转子的位置，故上述方程的求解 非常繁琐，通过坐标变换来得到与转子位置无关的定子电压方程（变换到转子坐标系，则表现为与转子的位置无关了）。

这种变换为

将 和 ,以及 (即表现为静止坐标系下的电流的导数有两相，其中包含一相为转速)，可以得到转子坐标系下的永磁同步电机的模型为

带上角标表示是在转子参考坐标系下。

这个方程的形式：电压矢量=阻抗矩阵与电流矢量的积 转子磁链产生的运动反电势分量。

注意到此时阻抗矩阵中含有不依赖转子位置的恒定电感分量。

电磁转矩是电流的函数，而转子速度取决于电磁转矩、负载转矩及负载相关参数（转动惯量、摩擦等），转矩表达式为两个电流量的乘积。

以上是对两相永磁同步电机的分析，三相永磁同步电机推导类似。

电磁转矩：

电磁转矩是最重要的输出变量，其决定了电机的机械动态特性，如转子位置、速度等。它的推导如下：

永磁同步电机的动态方程可以表示为：

左乘电流矢量的转置阵，则有瞬时输入功率：

这三个部分分别是定转子的电阻损耗、磁场储能的变化率、气隙功率。

而气隙功率等于转子的机械角速度 *气隙中的电磁转矩 ,则有：

,P为电机极数。

则有：

由前面的电压公式可以得出矩阵G的表达式，再代入求解，可得

前面的系数是由永磁同步电机三相到两相变换进行功率等效而引入的。

或者是由

其中的第三项就是气隙功率，除以机械角速度，就可以得到气隙转矩。

而从电磁转矩的公式可以看出，当采用的永磁同步电机是表贴式时，则不存在磁阻转矩，可以使用id=0的控制策略，而对于内置式永磁同步电机，则适合采用最大转矩电流比来进行控制。