电磁感应的通量法则与场方程

知识点：电磁感应法

1 感应电动势与通量法则

与伏打电池一样，法拉第寻求的“磁生电”也是一种通过能量转换向电池中的载流子提供电磁能量的机制。在电磁学教科书中^[2,4]，统一地采用电动势（electromotive force，缩写为emf）来描述“电池”的这种能力：在直流电路中，外力（非静电力）克服静电力做功不断地将载流子由低电势能处（电池负极）输运到高电势能处（正极）。若将作用在单位正电荷上的非静电力记作K，则在形成恒定电流的闭合回路L中，非静电力将对沿L移动的电荷做功，所以回路积分

被用于衡量电路中外力提供能量的本领，常常被解读为“单位正电荷沿闭合回路运动一周的过程中，非静电力所做的功”。实际上，电动势这一概念并不局限于稳恒电流的简单情形。在本文讨论的电磁感应问题中，闭合电路的感应电动势也按式(1)定义，但必须强调的是，环路积分中各处的非静电力K取同一时刻t的值，计算出来的emf通常也是时间t的函数。所以，与教科书流行的做法不同，电动势还可以解读为：整个闭合电路中非静电力对单位电流做功的功率。它的物理意义更为明确，无需纠缠载流子沿闭合回路运动的实际过程。

如引言所述，冯·诺依曼总结法拉第和楞次的实验结果，将闭合电路感应电动势与穿过回路的磁通量的时间变化率的关系统一地写作通量法则，即

其中Φ_B是穿过闭合电路的磁通量，即

其中S表示任何以回路L为边界的曲面，曲面的法线方向与积分回路的方向满足右手螺旋法则。应该强调，关于磁通量的上述定义是以磁感应强度B的无源性为前提的，即

感应电动势的通量法则实际上是将感生电动势和动生电动势包含在一个普适的表达式中^[5]。如果电路是固定、静止的，磁通的变化全部源于磁感应强度的变化，即

如果磁场是稳恒的，则磁通的变化只能源于导线切割磁力线。简单的矢量分析给出^[3]

所以，通量法则(2)式也可以改写为

其表示电路中导线任意线元dl的瞬时速度，各部分可以各不相同。

2 场方程的积分和微分形式

将物理起源完全不同的感生电动势和动生电动势完美地写进一个表达式，在费曼看来这是物理学中绝无仅有的例外，他还特别讨论了动生电动势不能写进这一通量公式的实例^[4]。事实上，感应电动势是通过电路的基尔霍夫方程组和断路电压来测量的^[2,3]，电动势和通量法则源于电路理论，是电磁场理论在一定条件下的近似结果，例如要求电磁场封闭在器件内，即采用电路理论中的集中元件近似^[2]。

由感应电动势的经验规律得出电磁场方程并非简单直接的数学推导，更为关键的步骤是以电磁场的新概念取代“超距作用”的旧观念。明确了电磁场的客观实在性，才会尝试建立描述电磁场运动变化的方程^[3]。

如果这样引入磁矢势，即^[2]

并利用斯托克斯公式，则式(7)可整理为

注意到闭合回路的任意性，总可以这样引入电磁场的标势φ≡φ(r,t)，即

其中的第一项

依赖于导线的运动速度，它实际上是运动电荷感受的洛伦兹力；而第二与第三两项之和，即

是t时刻r处的电场强度矢量。由式(12)和(8)不难得到

这正是麦克斯韦方程组中两个基本方程的微分形式，分别称为磁感应强度的高斯定理和电场的法拉第电磁感应定律；相应的积分形式分别是磁场的高斯定理式(4)和麦克斯韦方程组中的法拉第电磁感应定律，即

有时候它也被改写为另一种形式，即

但一定在公式的上下文明确了L和S是给定参考系中固定的积分回路和积分面积^[2,3]。在这一前提下，等式(14)和(15)的确没有区别，并且它们都不依赖系统的任何具体性质；实物对场的影响体现在麦克斯韦方程组的另外两个场方程中，即^[2-4,6,9]

它们分别称为电场的高斯定理和磁场的麦克斯韦安培环路定理。实物或介质对电磁场的影响全部体现于电荷密度ρ=ρ(r,t)和电流密度J=J(r,t)，即便涉及运动介质也无需修订麦克斯韦方程组的基本形式^[7,8]。

3 低速小尺寸情形下的相对论效应

作为电路近似下的经验公式，感应定律的通量法则并没有特别关注运动参考系问题。第2节虽然初步考虑了电动势计算公式(9)回路中各点的K必须与电动势取同一时刻的t值 ，但也没有强调它们是在哪个参考系的观察值。

完整的经典电磁理论不仅包含麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式，还要包括涉及不同惯性系的狭义相对论。为了准确地描述电池通过外力（非静电力）做功为闭合电路提供电磁能的本领，感应电动势应该更严格地定义为

其中右上角的撇号表示dl′线元的瞬时静止的坐标系，相对于实验室坐标系的瞬时速度为。根据狭义相对论，时空坐标和电磁场的洛伦兹变换可以写作^[7]

其中下标‖和⊥分别标示速度的平行方向和垂直方向，是洛伦兹因子 。在电子线路和电子工程关注的“低速小尺寸”极限下，即时，洛伦兹变换式（18）和（19）退化为伽利略变换，即

和

代入式（17）可得电动势的计算公式，即

利用场方程(13)~(15)，可进一步将上式改写为教科书中常用的形式(2)。至此，第2节提到的困惑得到了简单的解释——感生电动势和动生电动势能够完美地写进一个通量法则具有深刻的物理含义，源于电磁规律的相对论不变性。

如果进一步考虑导线（介质或金属）对实验室参考系中电磁场的影响，需要根据麦克斯韦方程组和狭义相对论做更详细甚至繁琐的计算^[9]，但麦克斯韦方程组的基本形式无需改变。

4 结论

通过集中讨论法拉第电磁感应定律的三种不同数学表述，即作为经验规律的通量法则、作为基本自然规律的麦克斯韦方程组的积分和微分形式，我们力图阐述：（1）通量法则的局限性，（2）场方程的实验基础，（3）场方程的正确性和基础地位，为理解和判断各种关于麦克斯韦方程组的修正或拓展提供一个特殊的视角和参考。

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