基于二阶假想荷载法的直接分析法研究

摘要： 《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）加入了直接分析法这一新的内容，此类方法重要的一环是对初始缺陷的考虑。重点总结归纳了中国、美国、欧洲的现行钢结构规范所推荐且运用方便的“假想荷载法”的基本原理。从假想荷载法的不足出发，针对《钢结构设计标准》（GB 50017—2017），令具有初始几何缺陷的轴压构件的最大二阶弯矩等效于受假想力作用的理想轴压构件的最大二阶弯矩，推导出了使用假想力来考虑初始缺陷的“二阶假想荷载法”的计算式，并从理论出发定义了计算式的物理量以及二阶假想荷载的施加方式。用直接分析法软件NIDA对经典算例进行二阶弹塑性分析。通过对比不同规范的计算结果，验证了该方法的可靠度以及“假想荷载法”的不足，让传统的设计理念更好地和直接分析法衔接起来，推动新设计方法的应用。

关键词： 直接分析法；钢结构；初始缺陷；假想荷载法；二阶假想荷载法

Abstract： Standard for Design of Steel Structures （GB 50017—2017）introduces a new part on direct analysis method；the correctness of the results of such approaches relies mostly on the initial imperfections being considered. This paper summarizes the fundamental concepts of the "notional load method"， which is recommended by contemporary steel structural standards in China， the United States， and Europe and is easy to implement. In this paper， the maximum second-order bending moment of an axial compression member with an initial geometric imperfection is equal to the maximum second-order bending moment of an ideal axial compression member subjected to the notional load. From this， the calculation formula of "second-order notional load method"， which uses notional force to account for initial imperfection， and the software NIDA is used to conduct the second-order elastic-plastic analysis of the standard calculation example. By comparing the calculation results of various specifications， the reliability of this method and the deficiency of the "notional load method" are examined， allowing the traditional design concept to be more closely aligned with the direct analysis method and promoting the use of the new design method.

Keywords： direct analysis method；steel structure；initial imperfection；notional load method；second-order notional load method

框架结构是实际工程中广为使用的结构类型。由于制作、加工误差等原因，实际框架结构中不可避免地存在包含结构整体的初始几何缺陷和构件的初始几何缺陷、残余应力及初偏心等初始缺陷 ^[1] ，其中结构层面的初始侧移Δ ₀ ，以及构件层面上框架柱的初弯曲δ ₀ 统称为初始几何缺陷。在钢框架设计中，准确计入初始侧移Δ ₀ 和初弯曲δ ₀ 对框架上内力的影响成为设计过程特别是直接分析法中的重要计算内容。

作为推荐的方法之一——直接分析法最早被美国规范（ANSI/AISC 360-2010） ^[2] 纳入其中，并在后续的版本ANSI/AISC 360-2016 ^[3] 中正式推荐；我国现行《钢结构设计标准》（GB 50017—2017） ^[4] 也纳入了直接分析法。在美国规范（ANSI/AISC 360-2016）和我国《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）中，对于初始侧移Δ ₀ 均采用了假想荷载法予以考虑，而对于初弯曲δ ₀ 两国规范的考虑方法各不相同。事实上，将初始几何缺陷按等效荷载考虑的方法，早在1992年即已由欧洲规范（EN 1993-1-1∶1992） ^[5] 推荐，并延续至现行欧洲规范（EN 1993-1-1∶2005） ^[6] 中。

然而，对比中、美、欧现行钢结构设计规范可知，三部规范在初始侧移Δ ₀ 及初弯曲δ ₀ 的规定上差异较大。此外，由《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）的条文说明 ^[7] 可知，用均布荷载和支座反力代替构件初始几何缺陷的做法是采用两端简支梁作为计算模型推导出来的；传统的用水平荷载代替结构初始几何缺陷的做法 ^[8] 是采用悬臂构件作为计算模型推导出来的，两者的推导方法均采用一阶算法，即忽略了轴力所引起的二阶效应的影响。

为完善钢结构设计规范中的直接分析法，本文首先对比分析现行设计规范中将初始几何缺陷等效为假想荷载的规定，并揭示其中的异同；然后基于二阶分析得到假想荷载的计算公式，再进一步提出修正的直接分析法；最后通过算例进行验证。

1　现行规范中假想荷载分析

1.1　中、美、欧钢结构设计规范的规定

对于初始缺陷的规定，各个规范所用符号差异较大。为方便说明，定义结构的楼层层数为n _s ，每个楼层中柱的数量为m，第i层的楼层高度为h _i ，结构总层高为h，第i楼层的总重力荷载设计值为G _i 。

对于结构整体几何缺陷，《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）采用假想水平荷载进行结构整体几何缺陷的等效，并规定了第i楼层的初始几何缺陷代表值Δ _i （结构每层的初始侧移）和每层柱顶施加的假想水平荷载H _ni 的计算式：

对于构件的初始缺陷，《钢结构设计标准》（GB 50017—2017） ^[4] 采用假想均布荷载进行构件初始缺陷的等效，并规定构件初始缺陷代表值δ ₀ （构件初弯曲）和假想均布荷载q ₀ 的计算公式为：

欧洲规范（EN 1993-1-1∶2005） ^[6] 给出的构件初始缺陷的等效与式（7）基本相同。

1.2　中、美、欧钢结构设计规范规定的对比

图1中：Δ ₀ 为结构总侧移；H为水平荷载；M为固定端弯矩。由上节可知建筑物的总高度为h=n _s h _i 。此外，由于倾斜率较小，故结构总侧移? ₀ 可由倾斜率与结构总高h的乘积得到，即Δ ₀ =?h，第i楼层的初始几何缺陷代表值为：

图1　假想水平荷载等效原理

Fig.1　Notional horizontal load equivalence principle

由《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）的条文说明 ^[7] 可知，式（1）是由式（10）推导得来，并且根据假想水平荷载计算简图（图1），可以判定假想水平荷载计算公式是根据一阶弯矩等效得来，即令图1a）、1b）底端弯矩相等：M=Gh?=GΔ ₀ =Hh。

对比式（2）、式（3）以及式（12）可以发现，美国规范（ANSI/AISC 360-2016）的计算公式不考虑楼层数量和柱子数量，形式最为简单，次之的是中国《钢结构设计标准》（GB 50017—2017），仅考虑了楼层数量，最为复杂的是欧洲规范的计算公式，不仅考虑了楼层数量的影响，而且考虑了柱子数量的影响。

对于我国《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）中式（1）和式（2）中的（0.2+1/n _s ） ^0.5 ，其限值范围为2/3≤ （0.2+1/n _s ） ^0.5 ≤1。仅当n _s =1时，才有（0.2+1/n _s ） ^0.5 > 1，此时取（0.2+1/n _s ） ^0.5 =1；当n _s ≥5时，则始终有（0.2+1/n _s ） ^0.5 <2/3。因此式（1）和式（2）中的（0.2+1/n _s ） ^0.5 用于计算n _s <5的建筑时需要计算，当n _s ≥5时可直接取（0.2+1/n _s ） ^0.5 =2/3。

以上对比了各国设计规范中的假想水平荷载，对于假想均布荷载，中国《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）和欧洲规范（EN 1993-1-1∶2005）的等效的计算简图如图2所示。

图2　假想均布荷载计算简图

Fig.2　Schematic diagram of notional uniformly distributed load

图2a）中构件跨中初弯曲为e ₀ ，跨中弯矩为N _k e ₀ ；图2b）跨中弯矩为q ₀ l ² /8。根据跨中弯矩相等，即N _k e ₀ = q ₀ l ² /8可得到式（7）。

显然，图2b）中是未考虑轴力影响的受弯构件，基于该计算简图得到的是一阶弯矩等效的假想均布荷载；图1b）中也未考虑轴力影响，采用底端一阶弯矩等效计算假想水平荷载。这显然与直接分析法所要求的二阶等效不相符。因此，以下基于二阶分析对假想荷载进行分析。

2　基于二阶分析的假想荷载

假想荷载法与折减切线模量法 ^[12] 均是间接考虑初始几何缺陷影响的方法，不需要通过更改计算单元来考虑初始几何缺陷，运用操作简便，所以有必要对假想荷载法进行修正与研究。针对上述传统假想荷载法的问题与不足，考虑采用二阶最大弯矩等效的原理，来推导考虑结构和构件初始几何缺陷的二阶假想水平荷载与二阶假想荷载的计算式。

2.1　二阶假想水平荷载

选取图3所示的具有初始几何缺陷的轴压悬臂构件和受水平荷载作用的轴压理想悬臂构件，令两构件的最大二阶弯矩相等来推导二阶假想水平荷载计算公式。图3中，l为构件的长度；P为构件受到的轴压力；? ₀ 为构件端部的初始几何缺陷（初始侧移）；y ₀ 为悬臂构件任意截面的初始几何缺陷（代表结构整体几何缺陷）；y为任意截面在轴压力作用下的变形值；y _m 为构件截面在轴压力作用下的最大变形值。

临界荷载表达式为：

最大二阶弯矩出现在x=0处。将x=0代入式（18）并按式（14）化简，可得初始挠度悬臂构件的最大二阶弯矩的计算公式为：

由于0

cr,z <1，故基于一阶等效的水平荷载小于基于二阶等效的水平荷载。结构设计中，采用二阶等效的假想水平荷载，设计可能会偏安全。  

图3　二阶假想水平荷载计算简图

Fig.3　Schematic diagrams of second-order  notional horizontal load

2.2　二阶假想均布荷载

选取图4所示的具有初始几何缺陷的轴压简支构件和受均布荷载作用的轴压理想简支构件，令两构件的最大二阶弯矩相等来推导二阶假想均布荷载的计算公式。图4中，e ₀ 为构件跨中的初始几何缺陷（跨中初弯曲），y ₀ 为简支构件任意截面的初始几何缺陷（代表构件几何缺陷）。

1）计算具有初始几何缺陷e ₀ 的轴压简支构件（图4a））的最大二阶弯矩，设初始挠度曲线方程为：

解式（28）所示的平衡微分方程可得y的表达式，再由－EIy″可得受均布荷载的理想简支构件的二阶弯矩的计算公式为：

图4　二阶假想均布荷载计算简图

Fig.4　Schematic diagrams of second-order notional  uniformly distributed load

由以上分析可知，需研究基于二阶弯矩等效原理的假想水平荷载设计偏安全和假想均布荷载设计偏不安全的情况下，基于一阶分析的直接分析法与基于二阶分析的直接分析法对计算结果的影响。

3　二阶假想荷载法

考虑到二阶假想水平荷载与二阶假想均布荷载均与构件所受到的轴压力密切相关，且二阶效应与构件的长细比、柱的轴压比有关，为了能够真实反映初始几何缺陷对结构的影响，规定统一采用由重力荷载设计值引起的构件轴力设计值N _D 参与水平荷载与均布荷载的计算。由上可得二阶假想荷载计算公式为：

采用柱的轴力参与计算，由于框架结构中的每根柱子所受的轴力可能都不一样，所以要针对每根柱子计算其所施加的水平荷载与均布荷载，即逐根柱子施加（图5）。

图5　二阶假想荷载施加方式

Fig.5　Second-order notional load application mode

4　算  例

选择1985年VOGEL ^[13] 用塑性区法研究刚架极限荷载采用的一个6层2跨有侧移的刚架，其尺寸、设计荷载、刚架构件编号、截面几何性质分别如图6、图7、表1所示（图6中H、I分别是表1中截面编号HEB、IPE的缩写）。使用基于PEP单元 ^[14-15] 的直接分析法软件NIDA对框架进行二阶弹塑性分析，计算在不同规范 ^[3-4,6] 、不同初始几何缺陷考虑方法下的刚架内力和变形情况，用于评述本文方法的可行性。针对国标进行弹塑性分析时，按刘伟 ^[16] 等利用轴心受压稳定系数反向推导出构件的等效初始缺陷值，选取构件初始几何缺陷值。

图6　Vogel刚架

Fig.6　Vogel rigid frame

图7　刚架构件编号

Fig.7　Numbering of frame members

初始几何缺陷越大，框架的最终变形也越大 ^[17] ，所以框架的变形是其衡量初始缺陷影响的重要指标。通过计算构件最大二阶弯矩M _max 和构件轴力来分析内力的变化。

4.1　对比基准

塑性区法计算步骤烦琐但计算结果精确，故以往的研究往往与之对比以验证精度。采用有限元软件ABAQUS计算在不同初始几何缺陷考虑方法下的Vogel刚架侧移，并与塑性区法侧移结果进行对比，寻找对比基准（表2）。建模时采用梁单元，本构关系采用双线性强化模型。

可以看出，最接近塑性区法结果的是采用折减切线模量法考虑初始几何缺陷的框架侧移结果，其与塑性区法的结果仅差1.63%。初始几何缺陷是结构的一种自带属性，结构未受力时就已经存在。折减切线模量法通过降低结构自身的刚度以考虑初始几何缺陷的影响，操作与运用简便。可以认为在本文所涉及到的初始几何缺陷考虑方法中，折减切线模量法的侧移结果相对具有较高精度，故本文选取折减切线模量法侧移结果作为下文算例侧移结果对比的基准。由于NIDA能够精确地考虑初始缺陷的影响，故将软件自带的初始缺陷考虑方法作为另一个对比基准。

4.2　初始几何缺陷的考虑方法与添加步骤

各规范推荐的另一种方法为缺陷直接模拟法，即按规范方法假定构件或结构的初始几何缺陷值（如结构初倾斜、构件初弯曲等）并引入到结构分析中以考虑由于缺陷引起的二阶效应 ^[18] 。此方法的实现需要借助带有初始缺陷项的计算单元，也即为软件自带的初始缺陷考虑方法。下面计算中将此方法简称为“模态法”。

使用模态法考虑初始几何缺陷时，由规范所查的构件初始几何缺陷需在NIDA软件的“框架截面”-“初始缺陷”选项卡进行添加。结构整体缺陷以及初始几何缺陷的施加方式与方向需在“分析”-“非线性”-“初始缺陷”选项卡中选择施加方式与方向为“屈曲模态：单主轴方向”，并在下面选项中添加整体缺陷幅值。

使用假想荷载法考虑初始几何缺陷时，因为NIDA在“分析”-“非线性”-“初始缺陷”选项卡中只给出了按假想力方式施加的考虑整体缺陷的水平假想荷载施加选项，并未给出考虑构件初始几何缺陷的均布荷载的施加选项。所以本文在采用假想荷载法时，均在荷载工况里将事先按规范确定的水平荷载、均布荷载、支座反力进行添加。进行非线性分析时，对模型添加假想力，且设置不考虑初始缺陷。

使用折减切线模量法考虑初始几何缺陷时，首先按美国CRC的曲线方程 ^[12] 对切线模量进行计算，然后对所得切线模量乘以0.85进行折减，再将折减的模量通过NIDA“材料”-“编辑材料”中的弹性模量选项进行输入。进行非线性分析时，设置不考虑初始缺陷。

在上述的不同初始几何缺陷考虑方法下，进行非线性分析时，本文均将梁的初始缺陷设置为“l/1,000”。美标要求在进行直接分析时需要进行刚度折减，其可在NIDA“分析”-“非线性”-“通用”中的高级选项卡里直接输入按美标刚度折减条例所计算的刚度折减系数。

4.3　二阶假想荷载法框架侧移结果

图8为NIDA计算的框架侧移结果。可以看出：一阶计算结果与二阶计算结果存在较大差别；各规范中的假想荷载法侧移结果相差不大，国标比欧标和美标分别高0.71%、2.45%；按模态法考虑初始几何缺陷的分布时，欧标比国标和美标分别高3.46%、10.63%；本文基准折减切线模量法侧移结果均大于规范中初始几何缺陷考虑方法的直接分析法侧移结果；基于一阶等效的假想荷载法考虑初始缺陷会低估初始缺陷对结构的影响，使其侧移结果均低于其他初始几何缺陷考虑方法的计算侧移结果。  

图8　楼层位移

Fig.8　Floor displacements

由采用二阶假想荷载法的直接分析法所得到的顶层侧移与国标假想荷载法、欧标假想荷载法、美标假想荷载法、国标模态法、欧标模态法、美标模态法的计算结果分别相差10.23%、11.01%、12.93%、2.83%、-0.60%、9.96%。二阶假想荷载法顶层侧移比本文基准折减切线模量法的侧移结果低2.18%，设计略偏于不安全，且接近于欧标模态法的计算结果。本文方法相对于传统的假想荷载法侧移结果，其与基准的差距缩小，计算精度得到了大幅度提升，能够较真实地反映刚架侧移情况。

4.4　二阶假想荷载法内力结果

由图9、图10可知，按二阶假想荷载法考虑初始几何缺陷影响的框架各构件最大二阶弯矩直接分析结果与一阶弹性、国标模态法、欧标模态法、美标模态法、国标假想荷载法、欧标假想荷载法、美标假想荷载法、折减切线模量法各构件最大二阶弯矩平均相差12.19%、8.72%、4.80%、11.99%、7.52%、1.09%、8.61%、9.03%。框架柱轴力最大分别相差3.45%、-0.28%、0.96%、-1.63%、1.24%、-1.88%、-2.09%、1.8%。由此可知，按二阶假想荷载法计算的各构件最大二阶弯矩值相对于国标模态法、美标模态法、国标假想荷载法、美标假想荷载法、折减切线模量法计算结果，设计偏安全，且其接近于欧标模态法（软件自带的初始缺陷考虑方法）和欧标假想荷载法计算的各构件最大二阶弯矩值。按二阶假想荷载法计算的各框架柱轴力与本文所述其他初始几何缺陷考虑方法的计算结果差距均较小。  

图9　构件M _max 值

Fig.9　M _max values of components  

图10　构件轴力

Fig.10　Axial forces of components

在算例直接分析法内力结果中，受力最不利的为底层中柱（图7中编号为12的框架柱），采用二阶假想荷载法考虑初始几何缺陷计算此柱的最大二阶弯矩较大，依次大于国标模态法、欧标模态法、美标模态法、折减切线模量法、美标假想荷载法、国标假想荷载法、欧标假想荷载法的最大二阶弯矩，设计略偏安全。

5　结  论

本文提出了考虑初始几何缺陷的二阶假想荷载法，并与传统的一阶假想荷载法、软件自带的初始缺陷考虑方法（缺陷直接模拟法）、折减切线模量法的直接分析计算结果进行分析对比。可以得出以下主要结论：

（1）研究表明，中、美、欧现行规范中假想荷载计算公式的推导原理相同，均未考虑轴力影响。这与直接分析法属于二阶分析的本质不符。

（2）计算表明，采用规范中假想荷载法考虑初始缺陷进行直接分析的框架侧移结果均低于现行规范所认可的其他初始缺陷考虑方法的侧移结果；在同一规范中，其内力计算结果均低于软件自带的初始缺陷考虑方法（缺陷直接模拟法）的计算结果。故采用规范中假想荷载法考虑初始缺陷会低估初始缺陷对结构的影响。

（3）本文提出的二阶假想荷载法具有较高精度。相对于规范中的假想荷载法，其可以准确地考虑二阶效应，能更好地体现初始缺陷对结构的影响；采用二阶假想荷载法考虑初始缺陷进行直接分析计算所得的框架侧移结果接近于本文的对比基准；其框架内力结果略大于本文基准，设计略偏安全。

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