干货｜数学公式计算出来的曲面！

转自公众号：犀牛参数化云平台

数学是建筑设计过程中的基础,从最初的形式选型到最终的建造,它无所不在。现代数学的发展大大丰富了几何学的理论,增强了其解决实际问题的能力,在计算机的辅助下提供了多样化的工具，来对复杂形态进行高效率的设计、分析、建造。

北京凤凰国际传媒中心位于北京朝阳公园西门附近，方案创意来自于西方数学经典的立体几何模型“莫比乌斯环”，其正反相接、上下相接、内外相连的形态虽然来于西方，却与天人合一、道法自然的东方建筑精神异曲同工。

在数学概念中，极小曲面指的是平均曲率为零的曲面。随着计算机图形学的发展，极小曲面以其丰富的形体变化和流动性，被越来越多的应用于不同的设计领域。极小曲面应用在建筑上可以产生连续流动的曲面，像是台中国家歌剧院就是利用其中的原理。

极小曲面的形体可通过 IsoSurface 算法进行模拟，其 V 值可直接由极小曲面方程式提供，由于极小曲面公式的发现属于数学领域，设计行业可直接使用现有的公式。下面将介绍几种常用的极小曲面：

（一） Gyroid Surface

该案例的主要逻辑构建思路为，首先在一个 Box 范围内创建一定数量的三维等分点，并由极小曲面公式确定等值面的范围，再通过 Iso Surface 算法以网格的形式拟合等值面。最后用椭球体来切割网格，可生成圆滑效果的极小曲面，以下为该案例的具体做法：

（ 1 ）用 Center Box 运算器创建一个控制密度的长方体，其 X 、 Y 、 Z 三个输入端分别赋予 9 、 8 、 6 。需要注意的是此处创建的长方体并不是极小曲面的边界范围，而是用来控制其密度的参数，可将赋予 X 、 Y 、 Z 三个输入端的数值命名为“密度控制”。

（ 2 ）用 Number Slider 运算器创建一个大小为 30 的数值，并将其赋予 Number 运算器，将两个运算器同时命名为“网格精度”。为了保证程序界面的简洁性，可将两个运算器的连线隐藏掉。

（ 3 ）通过 Subtraction 运算器将名称为“网格精度”的数值减去 1 ，并将结果赋予 Range 运算器的 N 输入端。

（ 4 ）将 Range 运算器的输出数据通过 Cross Reference 运算器进行交叉对应，可通过放大运算器单击“ ”来增加输入端的数量。

（ 5 ）将 Cross Reference 运算器的三个输出端数据分别赋予 Evaluate Box 运算器的 U 、 V 、 W 三个输入端。

（ 6 ）用 Deconstruct 运算器将三维等分点分解为 X 、 Y 、 Z 坐标。

（ 7 ）将分解后的 X 、 Y 、 Z 坐标分别赋予 Evaluate 运算器的 x 、 y 、 z 输入端，可通过放大运算器单击 来增加 z 输入端。

（ 8 ）在 Panel 面板中输入“ cos(x)*sin(y) cos(y)*sin(z) sin(x)*cos(z) ”，并将其赋予 Evaluate 运算器的 F 输入端。

（ 9 ）用 Center Box 运算器创建一个边界范围长方体，将 6 、 5 、 4 这三个数值分别赋予其 X 、 Y 、 Z 输入端，需要注意的是此处建立的长方体才是极小曲面的边界范围。

（ 10 ）将边界范围的长方体赋予 Iso Surface 运算器的 Box 输入端；将等值面的公式赋予其 v 输入端；将网格精度值赋予其 Xres 、 Yres 、 Zres 三个输入端； IsoValue 输入端的数值为 -0.196178 ；将 True 布尔值赋予其 Merge 输入端，使生成的网格更圆滑。

（ 11 ）用 Smooth Mesh 运算器将生成的网格形体进行圆滑处理。

（ 12 ）由 Volume 运算器提取边界 Box 的几何中心点。

（ 13 ）通过 Sphere 运算器依据几何中心点创建一个球体。

（ 14 ）由 Scale NU 运算器对球体进行三轴缩放，其 X 、 Y 、 Z 三个方向的缩放比例可分别设定为： 4.5 、 4 、 3 。此处读者可自行设置缩放比例因子，只要保证其范围不超过极小曲面边界即可。

（ 15 ）通过 Mesh Brep 运算器将缩放后的球体转换为网格。

（ 16 ）通过 Mesh Split 运算器用球体网格切割极小曲面网格。

（ 17 ）极小曲面网格被分割后会生成两部分，用 List Item 运算器提取索引值为 1 的网格，即可得到非规则形体的极小曲面。

（ 18 ）如需创建有厚度的网格形体，可将得到的结果 Bake 到 Rhino 空间，用偏移网格命令对其加厚处理。

（ 18 ）改变名称为“密度控制”中的 X 、 Y 、 Z 变量数值，同时调整 IsoValue 参数，即可得到不同密度下的极小曲面。

（二） Neovius Surface

由于构建极小曲面的方法是一致的，只需将程序中的公式进行替换，同时需调整密度控制的参数、以及 IsoValue 的参数。

Neovius Surface 的公式为： 3*(cos(x) cos(y) cos(z)) 4*cos(x) * cos(y) * cos(z) 。将 Gyroid Surface 案例中的曲面公式替换为 Neovius Surface 的公式，同时将密度控制的 X 、 Y 、 Z 三个参数调整为 7 、 6 、 5，即可得到如图所示的结果。

（三） Schwarz P Surface

Schwarz P Surface 的公式为： cos(x) cos(y) cos(z) 。将 Gyroid Surface 案例中的曲面公式替换为 Schwarz P Surface 的公式，同时将密度控制的 X 、 Y 、 Z 三个变量调整为 9 、 7 、 6 ，即可得到如图所示的结果。

（四） Split  P Surface

Split P Surface 的公式为： 1.1*(sin(2*x)*cos(y)*sin(z) sin(2*y)*cos(z)*sin(x) sin(2*z)*cos(x)*sin(y)) - 0.2*(cos(2*x)*cos(2*y) cos(2*y)*cos(2*z) cos(2*z)*cos(2*x)) - 0.4*(cos(2*y) cos(2*z) cos(2*x)) 。将 Gyroid Surface 案例中的曲面公式替换为 Split P Surface 的公式，同时将密度控制的 X 、 Y 、 Z 三个变量调整为 7 、 5 、 4 ， 即可得到如图所示的结果。

（五） Lidinoid Surface

Lidinoid Surface 的公式为： (sin(x)*cos(y) * sin(z) sin(y)* cos(z) * sin(x) sin(z)* cos(x) * sin(y)) -(cos(x)*cos(y) cos(y)*cos(z) cos(z)*cos(x)) ，将 Gyroid Surface 案例中的曲面公式替换为 Lidinoid Surface 的公式，并将密度控制的 X 、 Y 、 Z 三个变量调整为 8 、 6 、 4 ， 即可得到如图所示的结果。

（六） I-WP  Surface

I-WP Surface 的公式为： cos(x)*cos(y) cos(y)*cos(z) cos(z)*cos(x) - cos(x)*cos(y)*cos(z) 。将 Gyroid Surface 案例中的曲面公式替换为 I-WP Surface 的公式，并将密度控制的 X 、 Y 、 Z 三个变量调整为 7 、 6 、 4 ，同时需要将 IsoValue 的参数调整为 -0.23 ， 即可得到如图所示的结果。

（七） Scherk's  Surface

Scherk's Surface 的公式为： 4*sin(z)-sin(x)*sinh(y) ，其中 sinh 为双曲正弦函数。将 Gyroid Surface 案例中的曲面公式替换为 Scherk's Surface 的公式，并将密度控制的 X 、 Y 、 Z 三个变量调整为 4 、 6 、 8 ， 即可得到如图所示的结果。

（八） Skeletal  Surface

Skeletal Surface 的公式为： cos(x)*cos(y) cos(y)*cos(z) cos(x)*cos(z) - cos (x) - cos (y) - cos (z) 。将 Gyroid Surface 案例中的曲面公式替换为 Skeletal Surface 的公式，并将密度控制的 X 、 Y 、 Z 三个变量调整为 6 、 6 、 6 ，同时需要将 IsoValue 的参数调整为 -0.9 ，即可得到如图 4-106 所示的结果。

极小曲面的形式有很多种，读者可在该网站查找关于极小曲面的公式以及详细信息： http://www.msri.org/publications/sgp/jim/geom/level/library/triper/index.html 。同时可尝试改变公式中的一些参数，虽然改变参数后创建的形体并非标准的极小曲面，但是同样可生成具有数学逻辑的结构体，如图 4-107 所示为改变公式中的一些变量生成的结果。

3D 打印是以可粘合性的塑料、陶瓷、金属等粉墨为材料，通过逐层叠加的方式打印数字模型。 3D 打印机可识别的标准数字模型格式为 STL ，其工作原理与普通打印机相似，都是将打印机内的材料一层一层叠加起来，最终将数字文件打印为实物。

将创建的两个极小曲面模型导出为 STL 模型，然后将模型导入到 Cura 软件中，通过读取模型的断面信息，用打印材料将这些断面进行逐层叠加。

3D 打印机读取模型完毕后，即可开始进行打印。本次打印所选的材料为 PLA （聚乳酸），由于 PLA 是由植物发酵聚合而成，因此其与传统塑料相比，具有更低碳、绿色环保的特点。

馆内有100多件展品包括二战期间使用的解码机和17世纪的星空地图，小至手持数学运算工具，大到1929年的第一架实验飞机。数学画廊通过生动的故事、历史物件和独特的设计，展示了数学应用在我们生活中扮演的核心角色，以及过去四百年来数学家如何利用数学和工具创建了我们所处的现代社会。

展馆的照明设计捕捉并增强了扎哈·哈迪德的建筑视觉，并将先进的数学概念带给日常游客体验。团队通过对飞机湍流的视觉隐喻中的颜色和照明类型的整合、探索和意外使用来实现这一目标。