考虑内力重分布影响的高层结构减震构件单步优化法

陈荣，马志东，冯飞，杨嘉琦，孙飞飞

摘要： 提出了一个考虑内力重分布影响的高层结构减震构件单步优化法，为高层结构减震构件的优化设计提供了一个单步、高效的方法。首先，考察了内力重分布对单自由度并联体系比虚应变能的影响规律。然后提出了考虑并联关系的目标比虚应变能修正系数用以解决已有的单步优化法没有考虑超静定结构内力重分布的问题，并用算例说明优化结果的合理性。然后，作者用非减震构件的单步优化法去优化减震构件，并结合减震性能曲线提出了考虑内力重分布影响的高层结构的减震构件的单步优化法。最后通过算例对所提出的优化法进行验证，结果表明利用所提出方法优化后的减震构件在满足减震性能目标的同时用钢量相比原构件降低11.7%~27.9%。

关键词： 高层结构；内力重分布；目标比虚应变能；单步优化法；减震性能曲线

Abstract： In this study， a single-step optimisation method （SSOM）is proposed to provide a single-step and efficient design approach for the energy dissipation components of high-rise structures， taking into account the effects of internal force redistribution. The paper begins by analysing the effects of internal force redistribution on the particular virtual strain energy of single-degree-of-freedom parallel （SDOF-P）systems. To overcome the issue that the present SSOM does not account for the effects of internal force redistribution on statically indeterminate structures， a target-specific virtual strain energy correction factor assuming a parallel connection is developed. The paper demonstrates the reasonableness of the optimisation findings with an example. In this study， a SSOM adopted to create a non-energy dissipation component is used to design an energy dissipation component. Combining seismic mitigation performance curves with a single-step optimization method led to the development of a SSOM that takes internal force redistribution into account for energy dissipation devices in tall buildings. An engineering example is then used to validate the proposed method. Compared to the initial component， the proposed design method decreases the optimised component's steel consumption by 11.7%-27.9%. In addition， the improved component can still meet the seismic mitigation requirements of the building.

Keywords： high-rise structure；internal force redistribution；target-specific virtual strain energy；single-step optimization method；seismic mitigation performance curve

高层结构的减震构件优化设计过程比较复杂，设计人员需要大量试算才可以获得同时满足经济性和性能需求的减震构件参数。因此提出一个单步、高效的高层结构的减震构件优化设计方法是十分必要的。目前对于高层建筑结构的优化设计方法主要针对的都是非减震构件。赵昕等 ^[1] 提出了全新的全生命周期模型用以评估和优化高层建筑及结构的环境成本，并从该模型出发，选择更优化的结构设计，最大程度减少碳排放。CHAN等 ^[2] 、SHERBOURNE等 ^[3] 、CHAN等 ^[4] 将准则法应用到水平侧移约束下钢和混凝土框架结构的优化设计中，通过一系列简化假定并利用虚功原理推导准则法迭代公式，并将该方法用于香港某420m超高层建筑结构的初步设计中，取得良好效果。李志强等 ^[5] 根据最优化准则Kuhn-Tucker条件推导出型钢混凝土结构框架柱混凝土截面尺寸的迭代公式，将其与层次分析遗传算法相结合，建立了层次分析优化准则遗传算法（OC-GA）。MOON等 ^[6] 从位移控制的角度，提出当结构在设计荷载下的剪切变形和弯曲变形是均匀的，则所设计的结构最优。曹本峰等 ^[7] 基于钢筋混凝土结构的构件约束、组件约束、整体约束的多级约束条件，提出了多级约束优化设计方法和流程，并将其应用在某框架-核心筒结构体系中，分别对核心筒剪力墙、框架柱、框架梁进行构件优化，取得了良好的经济效益。白代春 ^[8] 采用离散变量分步优化的规划法对钢筋混凝土框架进行优化，并设计了一个平面框架结构优化设计程序，实现结构自动分析及优化。此外，SAP2000有限元软件分析拥有钢结构优化设计的辅助功能，但是实际工程体量大、优化问题复杂，而工程师往往需要手动对结构进行调整，该方法尚不能提供一个快捷调整建议。为了实现单步、高效的优化，孙飞飞等 ^[9] 提出了基于虚功的单步优化设计法。这种方法依据虚功准则法，通过计算满足位移约束、虚功均匀的目标结构的比虚应变能求得满足结构性能需求的最小构件截面。采用该方法的某钢框架结构的优化设计结果表明，基于虚功的单步优化法用钢量降低约10%。

鉴于目前高层结构减震构件的优化设计方法还比较匮乏，借鉴已有的非减震构件的优化设计方法并将其应用在减震构件的优化设计上是一种可行的办法。孙飞飞等 ^[9] 提出的单步优化法过程简单、计算量小，因此本文采用该方法对减震构件进行优化设计。但是该方法假设构件截面变化前、后内力不变，这对于超静定结构的设计会造成显著的误差，因此该方法还需要进一步改进。

此外，在减震构件的设计方面，减震性能曲线可以简洁清晰地反映结构反应降低率和减震构件参数的关系 ^[10] 。利用减震性能曲线不仅可以简便快捷地预测地震反应，还可以给出减震构件的基本设计方案，并为设计人员提供满足性能和经济要求的多种选择，是一种实用的方法。因此本文将以减震性能曲线为基础，研究高层结构减震构件的优化设计方法。

目前，国内外的学者已经对与减震性能曲线相关的设计方法进行了大量的研究。《被动减震结构设计施工手册》 ^[11] 对配置不同类型阻尼器的多层减震弹性结构设计方法进行了全面深入的研究。基于该理论，WEI等 ^[12] 、蒲武川等 ^[13] 、CHEN等 ^[14] 将其发展到考虑主结构屈服的情况。此外针对多目标设计，杜东升等 ^[15] 提出了阻尼比变化对减震结构响应的影响并提出了基于多目标曲线的设计方法。胡智斌 ^[16] 提出了基于减震性能曲线的考虑残余位移和抗倒塌储备系数的多目标减震层次化设计方法。尽管用减震性能曲线方法设计出来的减震构件可以满足结构的减震需求，但是该方法无法对减震构件进行进一步的优化设计。因此基于该方法的减震结构优化设计问题还需要进一步研究。

综上所述，为了实现单步、高效的高层结构减震构件的优化设计，本文提出了考虑内力重分布的高层结构的减震构件的单步优化法。具体思路如下：首先，本文考察了内力重分布对单自由度并联体系的比虚应变能的影响规律。然后提出了考虑并联关系的目标比虚应变能修正系数来修正已有的单步优化法的比虚应变能，用以解决已有方法没有考虑超静定结构内力重分布的问题，并用算例验证了优化结果的合理性。然后，本文用非减震构件的单步优化法去优化减震构件，并结合减震性能曲线提出了考虑内力重分布的高层结构的减震构件的单步优化法，并且给出了设计步骤。最后通过工程算例验证所提出方法的合理性。

1　单步优化法简介

以结构顶点位移约束为例，单步优化法的结构优化问题为：

式中：W为结构总质量；A _i 、L _i 、ρ _i 分别为第i个构件的截面面积、长度和材料密度；u _rtop 为初始结构顶点位移；[u _rtop ]为目标结构顶点位移；；A _k 为构件截面面积最小限值；n为相应于主动变量构件的数目。

单步优化法提出两个假定：1）忽略构件剪切变形对位移的贡献量，2）内力暂时不变。因此通过假定1）即可得到结构顶点位移量公式：

根据式（5），对于主动变量，则

式中：γ _g 为主动变量对应的构件的目标比虚应变能；γ _i 为第i个主动变量对应的构件的初始比虚应变能。两个变量公式如下：

式中：N为主动变量对应的构件总数；δ _i 为第i个主动变量对应的构件做的虚功；V _i 为第i个主动变量对应的构件的体积。

求得构件修正系数后，则可以对构件截面进行修正，修正后重新进行结构分析，检查强度和设计目标是否满足即可。

2　单自由度并联体系的目标比虚应变能修正系数

2.1　减震结构与单自由度并联体系的等效关系

为了便于研究减震构件优化时会遇到的共性基本问题，本节采用附加有减震构件的单层框架进行分析计算。如图1所示，当附加有减震构件的单层框架的顶部因受到力P作用发生一个水平位移u时，理想条件下减震构件两端相对水平位移与框架层间位移相同，因此减震构件和单层框架的连接可以视为并联关系。因此，附加有减震构件的单层框架可以简化成一个单自由度并联体系。在单自由度并联体系中，弹簧K ₁ 等效为倾斜布置的减震构件，则弹簧K ₁ 的刚度即为减震构件水平方向的刚度，弹簧K ₂ 等效为单层框架，则弹簧K ₂ 的刚度即为单层框架的抗剪刚度。框架顶点受到的力P 与单自由度并联结构体系的端部力相同，框架顶点位移u与单自由度并联结构体系的端部位移相同。

图1　减震结构与单自由度并联结构体系的等效关系

Fig.1　Equivalent relationship between energy dissipation structure and SDOF parallel system

2.2　构件修正系数与结构顶点位移减小量的关系

将式（6）、式（7）带入式（2），初始结构顶点位移满足如下关系：

式（10）与式（11）相减，得

2.3　单自由度并联体系的目标比虚应变能修正系数

2.3.1　目标比虚应变能修正系数公式推导

首先考察单自由度超静定并联体系下目标比虚应变能和初始比虚应变能的关系。如图 1所示，K ₁ 与K ₂ 并联，其刚度分别为k ₁ 与k ₂ 。该结构体系受到P荷载作用，初始位移为Δ，目标位移为Δ _t 。保持主结构刚度k ₂ 不变，利用单步优化法对减震构件刚度k ₁ 进行优化。

?将式（13）带入式（19）可得，目标比虚应变能 γ' ₁ 与初始比虚应变能 γ ₁ 之间的关系：

2.3.2　目标比虚应变能修正系数的参数分析

根据文献[18]，层间位移角最大值随着刚度比R _k 的增大而减小，并最终趋于某一极限值而不再降低。刚度比值R _k 过小，支撑不能保证结构在大震下不倒塌；R _k 值过大，结构的层间位移角不再减小，不够经济。因此，为了充分发挥材料的效率，建议刚度比的合理取值范围为：0.5≤R _k ≤2.0。为方便研究，本文取R _k 分别为0.5、1.0、1.5、2.0四组进行研究。而对于位移比的取值，考察范围为0.4≤R _Δ ≤ 2.0，具体结果如图2所示。在刚度比较大时（R _k =1.5，R _Δ =2.0），位移比与Γ之间几乎成线性关系；当刚度比较小时，位移比与Γ之间成非线性关系。

图2　R _k 与R _Δ 对目标比虚应变能修正系数Γ取值的影响（0.4≤R _Δ ≤ 2.0）

Fig.2　Influence of R _k and R _Δ  on target-specific virtual strain energy correction factor（0.4≤R _Δ ≤ 2.0）

在实际工程中，初步设计结果的R _Δ 可能更接近1。由图2可知，当R _Δ 取值在0.8~1.2之间时，Γ曲线接近线性，且此时R _k 对Γ的取值无显著影响，故将这一段单独取出，结果如图3所示。刚度比越大，Γ与位移比越接近线性关系。

图3　R _k 与R _Δ 对目标比虚应变能修正系数Γ取值的影响（0.8≤R _Δ ≤1.2）

Fig.3　Influence of  R _k and R _Δ on target-specific virtual strain energy correction factor（0.8≤R _Δ ≤1.2）

3　实际工程中考虑并联关系的目标比虚应变能修正系数的确定

对于实际工程而言，绝大部分结构都属于超静定结构，超静定结构由于内力重分布等因素的影响，单步优化效果可能会降低。为了提高优化效果且简化计算，在确定目标比虚应变能修正系数时，可以将实际工程结构等效为超静定的单自由度并联结构体系求得所需参数。下面将介绍实际工程结构的目标比虚应变能修正系数的确定步骤。

3.1　目标比虚应变能修正系数的确定方法

在并联结构体系中，将所有支撑等效为该体系中的K ₁ 部分，将主结构等效为该体系中的K ₂ 部分，单自由度体系结构端部施加静力荷载P。对端部施加单位力，由虚功原理，单自由度体系在静力荷载P下的初始位移为：

这些值都可以通过软件计算求得，进而求得等效结构的刚度比R _k 。然后R _Δ 由式（22）求得。最后由式（24）求出目标比虚应变能修正系数。

3.2　修正后的单步优化结果

利用3.1节提出的方法来计算目标比虚应变能修正系数，并对目标比虚应变能进行修正，然后对马志东 ^[19] 的模型进行单步优化设计。算例的结构为10层剪切型结构，质量施加在节点，主结构和支撑均采用多段线性塑性连接单元模拟，主结构顶点位移限值为0.42m。

本文选取马志东 ^[19] 的两个方案进行试算，包含方案1与方案2。两个方案的区别在于主结构和支撑的刚度布置方案。采用SAP2000对两个结构进行顶点静力荷载工况及虚荷载工况分析，得到结构在两个工况下的内力反应，再利用内力反应计算虚功，最后计算比虚应变能γ _k 。

按照3.1节将方案1与方案2分别等效为并联结构并求得目标比虚应变能，比虚应变能分别如图4、图5所示，可以发现修正后的结构比虚应变能更加接近目标比虚应变能。此外，并联方法中方案1和方案2的单步优化法的各楼层比虚应变能与目标比虚应变能的平均相对误差分别为6.43%和2.88%，均小于10%，这在工程中是可以接受的。

图4　方案1 各方法比虚应变能对比

Fig.4　Comparison of specific virtual strain energy in all methods for scheme 1

图5　方案2 各方法比虚应变能对比

Fig.5　Comparison of specific virtual strain energy in all methods for scheme 2

目标比虚应变能修正系数、顶点位移、刚度比、位移比分别如表1所示。方案1和方案2等效为并联结构后的优化顶点位移与设计目标相对误差分别为7.14%和4.52%，均小于10%，这在工程中是可以接受的。

4　高层结构减震构件的单步优化法步骤

本节针对附加有减震构件的高层减震结构提出了减震构件的单步优化法，文中减震构件以防屈曲约束支撑为例。在设计前已知主结构各个构件的刚度和各个防屈曲约束支撑的弹性刚度，此外该方法的设计原则为：减震结构包含主结构和防屈曲约束支撑两部分，在罕遇地震下，仅防屈曲约束支撑进入塑性而主结构保持弹性。

高层减震结构的减震构件单步优化法步骤如图6所示，优化法包括4个模块，分别是减震性能点的确定、目标比虚应变能修正系数的计算、截面优化、减震性能验证。部分模块中的重要步骤将在4.1~4.3小节中论述。其中，优化前的减震结构称为“初始减震结构”，优化后的减震结构称为“优化减震结构”。

图6　高层结构的减震构件单步优化法步骤

Fig.6　Procedure of single-step optimization method for energy dissipation devices in high-rise structures

4.1　减震性能曲线与性能目标点的确定

首先，由于主结构为弹性结构，防屈曲约束支撑为非线性构件，因此可以将初始减震结构等效为两折线非线性单自由度（single degree of freedom，SDOF）体系，其中等效高度H _eq 、等效质量m _eq 参考胡智斌 ^[16] 采用的方法，主结构等效刚度k _f,eq 和k _d,eq 防屈曲约束支撑等效刚度求解也按照文献[16]的方法。有两个与防屈曲约束支撑有关的参数在影响等效非线性SDOF体系在地震激励下的响应，分别是减震构件刚度比α和减震构件延性系数μ。两个参数的定义如下：

式中：k _1,eq 为等效非线性SDOF体系的第2刚度；k _0,eq 为等效非线性SDOF体系的第1刚度；u _max,eq 为等效非线性SDOF体系的极限位移；u _y,eq 为等效非线性SDOF体系的屈服位移。

然后采用胡智斌 ^[16] 提出的等效线性化方法，计算在不同罕遇地震波下，被赋予不同α和μ的等效非线性SDOF体系的位移反应均值S _d 和加速度反应均值S _a ，用以生成性能曲线。随后根据相关规范或规程的塑性层间位移角限值求得目标位移反应S _dt ，并根据S _dt 在减震性能曲线上选择合适的性能点，从而确定初始减震结构的目标刚度比α _t 和目标延性系数μ _t 。

4.2　减震构件截面优化

首先根据需求选择3.1或3.2节提出的目标比虚应变能修正系数的求解方法，求得结构的目标比虚应变能修正系数Γ对目标比虚应变能γ _g 进行修正，修正后的目标比虚应变能γ' _g 为：

求得A' _i 后即可以求得优化减震结构的第i个防屈曲约束支撑轴向刚度：

4.3　确定减震构件的屈服位移和屈服荷载

确定减震构件屈服位移的原则为优化减震结构滞回耗能等效附加阻尼比与等效非线性SDOF体系滞回耗能附加阻尼比相等。由此推导屈曲约束支撑的公式为：

5　工程算例

5.1　工程基本信息

本工程楼采用“钢管混凝土框架+屈曲约束支撑”结构体系，抗震设防烈度为7度（0.10g）、设计地震分组第二组进行计算；标准设防类，场地土类别Ⅲ类，场地特征周期为0.55s。地下1层，地上15层，结构高度为60.3m，标准层高为4.2m。钢框架抗震等级二级。工程算例的结构整体模型如图7所示。结构的减震构件采用防屈曲约束支撑（buckling-restrained brace，BRB），支撑布置如图8所示。初始减震结构的防屈曲约束支撑信息如表2所示。本工程结构模型的防屈曲约束支撑布置在相对于模型坐标的非正交方向，故不能分开考虑x向、y向的BRB截面优化。该算例的嵌固端在地下室底部，为了避免地下室位置出现薄弱层，BRB应该连续布置到地下室。

图7　工程算例的YJK 3D 模型

Fig.7　YJK 3D model of engineering example

图8　屈曲约束支撑平面布置

Fig.8　Plan layout of BRB

5.2　算例优化设计结果

根据第4节优化法步骤中的模块1，将初始减震结构等效成非线性SDOF体系并计算x和y方向的减震性能曲线，并根据目标位移反应选取合适的性能点。如图9a）所示，对于x方向，本算例目标位移反应S _dt =0.042m，因此所选择的性能点A的参数α _t =0.18μ _t =3。对于y方向，由图8可知本工程算例的BRB布置在相对于模型坐标的非正交方向，故不能分开考虑x向、y向的BRB截面优化，因此y方向的性能点应与x方向性能点统一。如图9b）所示，根据x方向所选取的性能点A在y方向性能曲线中对应的位移反应为0.038m，小于y方向的目标位移反应S _dt =0.041m，因此根据x方向目标位移反应所选取的性能点A也可以满足y方向的目标性能需求。因而最终选取的性能点参数为：α _t =0.18μ _t =3 。

图9　减震性能曲线

Fig.9　Seismic mitigation performance curves

对初始减震结构进行反应谱分析，求得位移比R _Δ 和R _k 刚度比等参数。x和y方向的主要优化参数如表3所示。

得到目标比虚应变能修正系数Γ后计算构件修正系数β _i ，对构件截面进行优化。为便于实际工程生产和设计，与该工程原方案一样，防屈曲约束支撑仍归并成四种规格，修正后的轴向刚度如表4所示。其中用钢量降低率为原方案刚度与优化后刚度的差值与原方案刚度的比值，本算例x方向支撑的用钢量降低率在14.6%~27.9%的范围内，并且y方向支撑的用钢量降低率在11.7%~26.1%的范围内。

5.3　减震性能验证

5.3.1　多遇地震反应谱分析验证

采用表4的防屈曲约束支撑重新进行反应谱分析，优化减震结构的弹性层间位移角计算结果均小于弹性层间位移角限值1/300（本文取值比规范要求的更加严格），如图10所示。对于x方向，优化后防屈曲约束支撑的刚度减小，但是弹性层间位移角与原方案区别不大；对于y方向，由于防屈曲约束支撑在归并时采用的是x方向的优化结果，因此y方向7~16层的单步优化法的弹性层间位移角结果大于原方案的结果。

图10　弹性反应谱工况下层间位移角对比

Fig.10　Comparison of inter-story drift calculated by elastic response spectrum

5.3.2　罕遇地震时程分析验证

由《高层建筑混凝土结构技术规程》（JGJ 3—2010） ^[20] （以下简称《规程》）第4.3.5条“当取7组以及7组以上时程曲线进行计算时，结构地震作用效应可以取时程计算结果的平均值”的要求，取7条地震波（编号分别为TH1~TH7）进行罕遇地震下的结构性能验证。地震波采用陈可鹏 ^[21] 整理的适合中国规范的地震动数据库第三类场地的天然波前7条波。7条单向地震波下的弹塑性层间位移角如图11所示，优化后的结构弹塑性层间位移角在x向地震波作用下均值小于弹塑性层间位移角限值（本文取值比《规程》要求的更加严格）；在y向地震波作用下，弹塑性层间位移角均值在3层与4层略大于限值，可见优化结果基本达到了预期效果。以上结果说明，利用本文提出的方法，优化后的减震构件在截面面积减小的情况下依旧能满足结构的减震需求。

图11　罕遇地震时程分析弹塑性层间位移角对比

Fig.11　Comparison of elastoplastic inter-story drift calculated by time-history analysis under rare earthquake

6　结  论

本文提出了考虑内力重分布影响的高层减震结构减震构件的单步优化法，并利用算例验证其合理性，为高层结构减震构件优化设计提供了一个单步、高效的方法。可以得出以下主要结论：

（1）推导了单自由度并联超静定结构中目标比虚应变能修正系数与结构刚度比和位移比之间的关系公式，并基于该公式进行了参数分析。分析结果表明，当结构刚度比小于1时，并联体系中目标比虚应变能修正系数会随着位移比的增加先减小后增大；当结构刚度比大于1时，并联体系中目标比虚应变能修正系数会随着位移比的增加而增大，且二者接近线性变化关系；当位移比在0.8~1.2的范围内，刚度比的影响可以忽略。

（2）提出了考虑并联关系的目标比虚应变能修正系数的计算方法，用以解决已有的单步优化法没有考虑超静定结构内力重分布的问题，并用算例对修正结果进行验证。结果表明：采用该方法修正后的单步优化结构的顶点位移与目标顶点位移的相对误差小于10%。

（3）提出了考虑内力重分布的高层减震结构的减震构件单步优化法的设计流程。利用所提出的优化法对15层高层框架-屈曲约束支撑结构的减震构件进行优化，以此对所提方法的合理性进行验证。结果表明：对沿着非正交主轴布置消能减震构件的实际工程结构，利用所提方法优化后的减震构件的用钢量相比原构件用钢量降低了11.7%~27.9%，同时优化后的减震构件仍可以实现预期的结构减震性能目标。

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