结构动力学与抗震漫谈15：时域显式随机模拟法01

理论上，时程方法是最真实的动力学方法，它采用了真实的刚度和阻尼矩阵，可以得到各构件在各时刻真实的地震反应。但由于现实世界中每一次具体地震的地震动都是不同的，每一个地震波在满足抗震规范地震波选择条件的前提下与其他地震波有很大的不同。一般情况下，不同的波会得到不同的结果，这些结果之间的差异往往非常明显，例如超过40%，所以对于同一个工程，一个工程师设计的截面和钢筋数量与其他工程师设计的有很大的差异。选用2个天然波和1个人工波并采用3个地震波的包络值的选波规则，即使完全随机地选择地震波，也难以在概率意义上代表真实的地震效应，而且在实际操作中存在漏洞，工程师可以选择产生较小地震内力的地震波来获得更经济的结果，但这种方法违反了概率意义上的选波原则。

在前面的文章中，我们已经研究了反应谱的生成过程，知道反应谱法是由时程分析法衍生而来的。由于反应谱曲线的最大值是由数千条天然地震波的平均结果产生的，在概率意义上反应谱方法比时程分析方法更真实，反应谱法相对时程法能在更短的时间内得到稳定的结果，这是反应谱法的优点。

但反应谱法也有其缺陷，首先，众所周知，反应谱法最耗时的阶段是模态分解，为了节省时间工程师只计算低阶模态如前几十阶模态，通常情况下，前几十阶模态产生的地震反应最大，但对于一些非常高的建筑物或复杂结构的建筑物，高阶模态对建筑物的影响可能不可忽略。一般情况下，反应谱法不能反映高阶模态的影响。

反应谱法的第二个缺陷是白噪声假设和峰值因子一致性假设，这两个假设影响了抗规GB50011-2010(5.2.3-5)中的耦合系数ρ和地震作用因子S。其原因是公式5.2.3-5的推导是基于随机过程理论，但在推导过程中采用了一些简化，因此在一些复杂结构中，该公式会在概率意义上或高或低的估计地震作用的反应。

众所周知，除非旧方法有非常明显的缺陷，且在旧方法体系中无法修正，否则人们是不会提出新方法的。这是因为目前广泛应用于结构分析的反应谱法和时程法存在前2小节所示的较大缺陷。这些缺陷源于它们的数学性质，难以克服，因此专家提出了一种全新的方法—时域显式法，该方法基于随机过程，可以解决反应谱法和时程法的缺陷。这个方法的主要思想是计算结构对500条地震波的地震反应，然后计算这500条地震波的平均地震反应值，从而得到所研究结构各时刻的地震反应。

为了计算平均反应，首先要得到地震波，最理想的地震波是与规范反应谱相吻合的天然波，但由于已经记录到的天然波数量并不太多，一种替代方法是用人工地震波来代替天然波。我们知道，当地震波从时域转换到频域时，地震波的振幅波形和反应谱形状接近，其横坐标为频率。我们可以将反应谱转换为功率谱函数，其纵坐标是相应频率简谐波振幅平方的函数。由广东高规得到的功率谱函数如下图所示，从中可以得到各频率点的功率。

同样，我们可以用下面的公式C.1.2-3得到一个平稳地震波，该方法是将由C.1.2-4导出的不同振幅 的频率分量 叠加。由于地震不是一个平稳的随机过程，我们在上面得到的 应该用C.1.2-2的均匀调制函数g(t)进行修正。

由C.1.2-2可知，在不同的时间阶段存在不同的修正因子，初始阶段修正因子小于1，中期修正因子等于1，后期修正因子大于1，说明随着时间的推移，地震波的强度越来越大。我们可以通过g(t)乘以 得到 ， 是500个波中的一个。用同样的方法，我们可以得到所有符合要求的500个波。

在得到500条波后，我们开始求解每一条波的响应，如果我们采用FNA或直接时间积分法来求解，这些方法确实是可行的，但会花费大量的时间，因为时程分析非常耗时，500次时程分析的耗时超出了工程师的承受范围。为了解决这一问题，我们参考卷积积分的求解方法(在结构动力学中其形式为duhamel积分)，将整个时间历程划分为小段，对每段的结果进行求解，然后将整个时间域内每一个时刻所有小段的结果叠加。微小的时间段用 表示，一般为0.01 S或0.02 S。如果你想知道下一步如何得到结构的地震反应，请关注我的微信公众号，会收到新文章提醒。