超级详细的阻抗变换器

知识点：变换器

阻抗匹配 是射频设计的一个基本课题，无论是无源器件，比如功分器，耦合器，滤波器，天线，还是有源电路，比如功放，低噪放，混频器等等，都离不开阻抗匹配这个环节。谈到阻抗匹配，大家第一个想到的肯定是奇妙的Smith Chart，我们在圆图上转圈圈就可以得到我们需要的匹配电路。

还有一种常见的阻抗匹配手段—— 阻抗变换，无论负载阻抗是多少，只要我们看进去的输入阻抗是匹配的就好了，实现阻抗变换的器件叫做阻抗变换器，英语有个霸气的名字—— Impedance Transformer 。

一   1/4 波长阻抗变换器

对于一个端接实数负载的射频电路，我们可以接一段1/4波长特定阻抗 Z1 的传输线将负载阻抗RL 变换到和馈线阻抗Z0 一样的输入阻抗Zin， 以满足阻抗匹配的要求。

这段1/4波长阻抗变换器的阻抗 Z1 可以由下面公式计算得出：

也就是说通过这个阻抗变换器，我们把负载阻抗RL变换成和馈线阻抗Z0 一样了。因为与波长相关，这个匹配只是在1/4波长（或者1/4波长的奇数倍）所对应的频率点实现了完全匹配，没有驻波，但是在其他频率点依然是失配的。其反射系数Γ 如下图所示。

这种变换器所实现的阻抗匹配是窄带的，仅在单个频率点实现了完全匹配。1/4波长阻抗变换器的带宽我们可以通过下面方法求解。说到带宽，肯定是指满足某种匹配约束的带宽，也就是 最大反射系数 Γm 所对应的频率范围。如下图所示，这里的带宽就是 Δθ。 

相对带宽是：

Pozer 的《微波工程》上面给出了详细的推导过程，需要的同学可以查阅5.4节。通过上面公式可以看出，当负载阻抗ZL 越接近Z0 时，阻抗变换器的带宽越大。如下图所示。

1/4波长阻抗变换器除了完成阻抗匹配之外还有很多神奇的应用，比如开路和短路电路的互换，终端短路和终端开路传输线上的阻抗分布如下图所示，其在对应频率点的1/4波长处发生反转。需要注意的是，对于射频信号，开路不一定真的开路，短路也不一定真的接地，线长很重要。

终端短路传输线的阻抗分布

终端开路传输线的阻抗分布

还有一个比较重要的应用实在威尔金森功分器的设计和平行线耦合器的设计中。

威尔金森功分器 中的1/4波长阻抗变换器

平行耦合线耦合器 中的1/4波长阻抗变换器

就如同上文所述，1/4波长阻抗变换器是一个窄带器件，然而我们总是希望带宽越宽越好，最好是全带宽匹配的，即使没有人能真的拥有这么宽的频谱资源。对于射频工程师来说，我们总想着用一个宽带去解决所有的问题。1/4波长阻抗变换器依然没有让你失望。

来，上多节！

二  多节变换器

如同上文的结论，匹配带宽与要匹配的两个阻抗相关，阻抗比越大，匹配带宽越小。阻抗越接近，匹配带宽越大。那么对于一个阻抗相差比较大的网络，我们是否可以通过多个依次递进的阻抗变换来实现高低阻抗的过度？答案是肯定的。《微波工程》第5.5节引入了小反射理论给出了详细的证明，想了解详情的同学可以查阅学习。我们直接上重点：巴特沃斯型多节阻抗变换器和切比雪夫型多节阻抗变换器。

巴特沃斯 响应最先由英国工程师斯蒂芬·巴特沃斯（Stephen Butterworth）在1930年发表在英国《无线电工程》期刊的一篇论文中提出的，其在接近设计频率处，相应尽可能的平坦，因此又叫做最平坦响应，又由于其系数满足二项式系数，也叫做二项式响应。名字也够多的，记住下面的波形就是最平坦/二项式/巴特沃斯的响应曲线。

巴特沃斯型多节阻抗变换器的反射系数Γ 满足下面公式。

在设计的时候，可以相对带宽的需要确定阻抗变换器的节数N，然后根据阻抗公式从Z0开始依次求出每一节所需要的阻抗值。

相对带宽公式：

阻抗公式：

巴特沃斯型多节阻抗变换器的反射特性如下图所示：

理论上我们可以根据巴特沃斯函数做出无数节阻抗变换器，但是这样也意味着体积的无限扩大，射频设计是一个多方面因素平衡的结果，一般情况下，3-5节也就够工程应用了，抛开复杂的计算，我们可以通过查表来快速完成，当然感兴趣的同学也可以直接写代码做个小APP来辅助设计。

巴特沃斯阻抗变换器设计表（来自《微波工程》）

另一种比较常用的多节阻抗变换器是基于切比雪夫响应的阻抗变换器，切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff，又译契贝雪夫等，1821一1894)的名字命名的重要的特殊函数，其通带内的响应以等波纹特性实现最佳的带宽匹配，因此又叫做等波纹响应阻抗变换器。

切比雪夫多节阻抗变换器的反射系数Γ 满足下面公式

Tn就是切比雪夫多项式

设计切比雪夫多节阻抗变换器时，首先根据通带内所允许的最大反射系数Γm确定多项式的系数 |A|，

然后根据相对带宽公式求得所需要的节数。

θm可以由下面公式求得。

然后依据下面公式从Z0依次求出每一节的阻抗值。

同样的，感兴趣的同学可以写代码做个APP来辅助设计，或者直接查表就可以了，《微波工程》给出了2-4节不同Γm对应的阻抗列表，日常设计这个表足够了。

类似于单节阻抗变换器在功分器和耦合器中的应用，多节阻抗变换器也可以用来拓宽功分器和耦合器的带宽。最常用的方式如下图所示：

宽带威尔金森功分器

威尔金森功分器中四分之一波长线用多节来代替，利用巴特沃斯多项式或者切比雪夫多项式来完成多节阻抗来拓宽带宽，原理图如下图所示。

在AWR自带的仿真案例中，给出了1：16的超宽带威尔金森功分器设计，感兴趣的同学可以学习一下：菜单栏 Help > Open Examples>16_Way_Power_Divider

宽带耦合线型定向耦合器

耦合线型定向耦合器也可以采用多节结构来增加带宽，每一节的长度时1/4波长，和多节阻抗变换器类似，也可以设计成切比雪夫型或者巴特沃斯型，其原理图如下图所示。

三  渐变线型变换器

根据上文的学习，我们知道，随着阻抗变换器节数的增加，各节阻抗之间的差值越小，匹配特性就越好，所以在无穷多的匹配节的情况下，我们可以近似为一个连续渐变的传输线，以实现更好的匹配效果，常用的渐变线型阻抗变换器有指数型(E)，三角型（T）和Klopfenstein型（K），每一种实现的性能不同，其结构如下图所示，

渐变型阻抗变换器性能对比，我们在实际设计中可以根据需要进行选择，K型性能最优，通带内有类似于切比雪夫响应的等波纹特性，其推导也是由切比雪夫多节变换器的节数增加到无限大时推导的，在有限尺寸下，可以利用K型渐变线来实现较好的匹配效果。

是不是感觉多节阻抗匹配有点类似于滤波器的设计，射频滤波器也是一种特殊的阻抗匹配方式，也算是阻抗变换的一种吧。

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