我们在学习结构力学，解静定桁架的时候，会学一些结点法或者截面法，手算时可以很快地解决问题。但是有一种方法，不知道为什么被结构力学的教材抛弃了。但是这个方法非常漂亮，它叫图解静力法，提出这个方法的人就是大名鼎鼎的麦克斯韦。

说到麦克斯韦，可能大家比较熟悉的就是他非常NB地建立了麦克斯韦方程组，把电场和磁场联系在了一起。我们土木工程专业比较关注的力学，其实这位大神的贡献也很大，他对静定桁架采用了一种作图的方法求桁架的内力，就是我们要说的图解静力法。另外对超静定桁架，用能量法导出了一个一般方法，并且得到了位移互等定理，同时提出了单位载荷法。后来莫尔整理了一下，变成麦克斯韦–莫尔方法，没记错的话应该就是现在的力法。

我总感觉，当年学结构力学，结点法截面法之类的，学完了之后感觉还是处在迷雾当中。会解题了，但对结构本身还是没有一个好的理解。比如说，现在给你一个桁架，我想要减少跨中变形量，是加大弦杆，还是腹杆，具体变哪几号杆件效率更高更优化？你让我算位移我可以算出来，让我从概念上分析判断我可能说不上来。这说明我们对结构本身并没有一个很好的认识。比如我们土木工程专业最高水平的学生竞赛，叫结构设计竞赛，目的就是对结构形式和受力进行完美的平衡，这就涉及到结构的找形和优化了。

图解静力法是一个很优美的方法，它只需要用尺子就可以量出每根杆件力的大小和方向，用图形体现出来力的平衡。即相当于用向量的形式把力表示出来，平衡的表现就是最终的闭合。这相当于还能自动纠错，如果力线搞得不闭合，说明肯定存在哪个地方弄错了。有兴趣可以读读麦克斯韦的古董文论。

拿一个非常简单的桁架来举例说明图解法怎么求出杆件内力。比如下面这个只有几根杆件的桁架，中间一个节点承受向下1kN的力，求所有杆件的内力。我们先把外力求出来，即1kN的作用力，和两边0.5kN的支座反力。然后对每个三角形区域进行编号，包括被外力隔开的区域也需要编号（a、b、c、d、e、f、g），然后对杆件进行编号（①②③④⑤⑥⑦⑧⑨）。

然后换一个空间来看问题，这个空间表达的是力，那么坐标点就代表了区域，区域变成点，区域与区域直接存在力的传递，力则变成了线域在这个坐标系中体现出来。比如通过外力的平衡，我们就可以定出abc区域的位置以及力的传递。确定一个点为a区域，a到b之间传递了向下1kN的力，则在ab之间向下画出1kN长度的力。b和c区域之间传递了一个0.5kN的支座反力，往上画出0.5kN长度的力，到了之后，那个点就是c区域。从c到a也经过了一个0.5kN的支座反力，最终闭合。就达到了外力的平衡。同时以最初我们定的已知的这个1kN在图上画出来有多长作为标距，后面的力就可以通过尺子将的大小量出来。

现在把其他区域都确定出来，比如d区域，与b之间有一个水平方向的力，则在b点处作一水平线，d点必然在这条线上。然后可以看到d和c之间传递一个45°的力线，则在c点作一45°的线，d点也必然在这条45°线上。那么这条45°线和前面过b点的水平线的交点，就是d点。

d、e之间有一条135°力线，同时e和c之间有一条45°力线，这两条线的交点刚好在d点，说明d、e两点是在同一个位置。其他的同理，按这个方法，可以把所有的位置都作图确定出来。

接着就可以开始求杆件内力了。首先b、d区域之间是一根①号杆件，直接量bd的距离，就得到了①号杆力的大小为0.5kN。d和c之间是②号杆，量d、c的长度，即为②号杆力的大小0.71kN。③号杆在e、c之间，e和d为同一个点，所以③号杆和②号杆的力是一样的。同理，④号杆和⑤号杆的力大小也与②③号杆相同。⑥号杆在a、g之间，可量出力的大小与①号杆相同，为0.5kN。⑧号杆在e、f直间，可量出长度为1kN。⑦号杆和⑨号杆分别在d、e之间及f、g之间，这两个点在同一个位置，所以这两个杆件力为0。

至此我们就把所有杆件的内力大小都求出来了，还剩下一步就是力的方向，该怎么判断是拉力还是压力。我个人的方法就是用右手去判断（类似右手定则）。首先看①号杆，我们在桁架中，按照我们对区域的编号顺序，让右手的四个手指指向字母的顺序，即b到d的方向，那么大拇指的方向向右，再看力图，从b点到d点，方向也是向右，与大拇指的方向相同，说明这个力是正的，为+0.5kN。

再看②号杆，四指从c到d的方向，大拇指方向为45°向上，再看力图，c到d的方向是45°向下，与大拇指的方向相反，所以这个力是负的，为-0.71kN。

根据这个方法，把所有的力的大小和方向都可以确定出来，再标注在原桁架结构中，就把所有杆件的力都确定出来了。当然了，如果经常做结构力学题的人，可能一眼就能看出这个简单桁架的杆件内力，但是当结构复杂了，就不能看出来了，通过图解法来学习形式和力的关系，就会对结构与力有一个概念性的认识，这是结点法截面法等方法做不到的。

这方法还有个很NB的地方，就是这两个图具有互易性。也就是说，如果我们把力图变成一个桁架，这个桁架的力图和原来的桁架图形是一样的。我们把现在这个桁架的力图变成一个桁架来受力，按照同样的方法，把力图求出来，看看是不是和之前的桁架图去掉零杆后一模一样。

显然，桁架图决定了力图，力图也决定了桁架图。听着有点晕，如果想搞明白原理，就得去啃论文，不要问我，我也说不清楚。但这个互易性说明了，通过改变力图，去优化桁架，是具有确定性的。当然了，如果熟悉结构力学的人，一眼就能看出这个简单桁架的杆件内力，但是当结构复杂了，就不能看出来了，通过图解法来学习形式和力的关系，就会对结构的受力有一个概念性的认识，这是结点法截面法等方法做不到的。比如日本的Shiosai Bridge，英国Royal Albert Bridge，都是利用了图解静力法去调整构件的受力，最终得到更为优化的桁架。现在很多事务所也利用了图解静力法来进行结构的找形和优化，设计出很多受力合理并且还很漂亮的结构。

总而言之，图解法不仅是个很优美的方法，它也一定是一个很有用的方法。古代科学家们利用几何作图的方法，解答了很多科学上的大问题。后来有了电算，我们在学习中可能就很少提及作图的方法了。后面随着计算机视觉呈现能力的发展，这种方法又开始在一些高大上的设计中体现出来。我始终认为，作为学生，通过图形化来学习，才是最好的学习方法，这是其他方法不能替代的。

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