H形钢梁疲劳裂纹扩展过程数值模拟

摘要： 采用基于断裂力学的有限元法对焊接H形钢梁的疲劳裂纹扩展过程进行了数值模拟。给出了模型的基本假定：初始裂纹为半径1.016mm的圆形、裂纹中心位于受拉翼缘与腹板之间焊缝焊根处、裂纹前缘由3~4段1/4椭圆弧线控制、在裂纹前缘端点处与内部点处分别采用不同的Paris公式系数、以疲劳裂纹深度穿透受拉翼缘壁厚或SIF超过断裂韧性为循环终止条件。采用二次多项式外推插值的方式对H形钢梁裂纹前缘端点处以及紧邻端点的个别结点处直接输出的应力强度因子（SIF）计算值进行了修正。通过试验验证，疲劳裂纹扩展数值模型可对H形钢梁的疲劳裂纹扩展过程和疲劳寿命进行准确预测。焊接H形钢梁疲劳裂纹扩展寿命的绝大部分消耗在从初始裂纹尺寸到穿透一侧角焊缝边缘这一裂纹尺寸较小的阶段。研究成果可为H形钢梁的疲劳寿命预测和疲劳性能评估提供参考。

关键词： H形钢梁；疲劳裂纹扩展；疲劳寿命；数值模拟；应力强度因子

Abstract： In this paper， a finite element method based on fracture mechanics is used to numerically simulate the fatigue crack propagation process of welded H-steel beams. The basic assumptions of the model are given：the initial crack is a circle with a radius of 1.016mm， the center of the crack is located at the root of the weld between the tension flange and the web， and the crack front is controlled by three to four 1/4 elliptical arcs， different Paris formula coefficients are used at the end points on the crack front and the inner points respectively， and the cycle termination condition is that the fatigue crack depth penetrates the tensile flange wall thickness or the stress intensity factor （SIF）exceeds the fracture toughness. The calculated values of SIF directly output at the endpoint on the crack front of the H-steel beam and at the individual nodes immediately adjacent to the endpoint are corrected by means of quadratic polynomial extrapolation. It is verified by experiments that the numerical model of fatigue crack propagation in this paper can accurately predict the fatigue crack propagation process and fatigue life of H-steel beams. Most of the fatigue crack propagation life of welded H-steel beams is consumed in the stage of smaller crack size from the initial crack size to the edge of the penetration side of the fillet weld. The research results can provide reference for fatigue life prediction and fatigue performance evaluation of H-steel beams.

Keywords： H-steel beam；fatigue crack propagation；fatigue life；numerical simulation；stress intensity factor （SIF）

焊接钢结构以其构造简单高效、施工便捷、整体性好等优点，在建筑、桥梁、机械、船舶等领域得到广泛应用。但由于受到焊接缺陷、残余应力及应力集中等因素的不利影响，焊接钢结构对疲劳问题十分敏感，在反复荷载作用下容易发生疲劳破坏。疲劳破坏通常经历裂纹萌生、裂纹稳定扩展与迅速断裂3个阶段。其中，迅速断裂阶段寿命很短，可以忽略；对于焊接钢结构，不可避免地存在焊接缺陷，缺陷本身相当于初始裂纹；因此焊接钢结构的疲劳寿命以稳定扩展阶段为主，其疲劳寿命预测准确与否依赖于疲劳裂纹稳定扩展过程的评估精度。

预测结构疲劳寿命的方法有解析法、试验法和数值法等。实际工程中结构的几何形状、裂纹形式都十分复杂，无法得到解析解。采用试验法研究疲劳问题，时间成本和经济成本较高，十分耗时费力；而且试验数量一般较为有限，无法排除疲劳随机性的影响。而数值法可对结构的破坏过程进行精细化构建与模拟，也便于开展大规模参数化分析，故采用高效准确的数值分析法预测结构疲劳寿命是更合适的选择。

焊接钢结构疲劳寿命预测的关键在于疲劳裂纹扩展过程的模拟，而断裂力学正是研究含裂纹体强度及裂纹扩展规律的科学，因此基于断裂力学原理的数值分析法具有较好的适用性。国内外学者采用这一方法预测了不同形式结构的疲劳裂纹扩展过程。LIN等 ^[1] 预测了含裂纹平板的疲劳裂纹扩展寿命，MALIGNO等 ^[2] 模拟了实心和空心圆形轴部件的非平面疲劳裂纹扩展过程，GU等 ^[3] 评估了圆钢管混凝土T形焊接节点的疲劳寿命，NGOULA等 ^[4] 分析了十字形焊接接头的疲劳裂纹扩展性能。以上分析均取得了较好的预测精度。

H形钢梁作为工程中最基本的构件形式，应用十分普遍。然而，目前针对H形钢梁疲劳裂纹扩展数值模拟的研究仍很有限。刘博等 ^[5] 采用基于断裂力学原理的有限元法预测了H形钢梁的疲劳寿命，但其假定初始裂纹中心位于受拉翼缘与腹板之间的焊缝焊趾处、初始裂纹形状为扁长椭圆形，这与试验结果不完全相符；数值模型未考虑裂纹前缘端点处的自由表面效应；同时其用于检验模型预测精度的试验数量也较为有限。基于断裂力学原理对H形钢梁疲劳裂纹扩展寿命进行预测的数值模型还有待完善。

基于此，本文进一步优化了H形钢梁疲劳裂纹扩展过程的数值模型，根据试验结果确定了初始裂纹位置、裂纹形状、初始裂纹尺寸、裂纹扩展准则及材料常数、裂纹扩展增量和循环终止条件等关键参数，计算了H形钢梁裂纹前缘的应力强度因子（stress intensity factor， SIF），基于断裂力学原理预测了H形钢梁的疲劳裂纹扩展过程和疲劳寿命，并与试验结果进行了对比，验证了模型的可靠性和准确性。研究成果可为H形钢梁的疲劳寿命预测和疲劳性能评估提供参考。

1　疲劳裂纹扩展模拟总体思路

针对含半椭圆形表面裂纹的三维平板，NEWMAN等 ^[6] 提出了预测其疲劳裂纹扩展过程的“两自由度模型”。该模型假定裂纹形状在扩展过程中保持为半椭圆形，但允许裂纹纵横比a/c自由变化。同时在裂纹前缘最深点处（Φ=90°，图1中A点）和裂纹前缘端点处（即裂纹前缘与自由表面交点处，Φ=0°，图1中C点），分别采用两个相互独立的Paris公式来预测疲劳裂纹的扩展速率，见式（1）和式（2）：

式中：a为疲劳裂纹深度；c为疲劳裂纹长度；N为循环次数；da/dN和dc/dN分别为疲劳裂纹在深度方向和长度方向的扩展速率；C _A 和C _C 分别为裂纹前缘最深点处和裂纹前缘端点处的Paris公式系数；m为Paris公式的指数；ΔK _A 和ΔK _C 分别为裂纹前缘最深点处和裂纹前缘端点处的应力强度因子幅值。

图1　含表面裂纹的三维平板

Fig.1　Three-dimensional flat plate with a surface crack

当裂纹扩展增量Δa和Δc均足够小时，可分别得到式（1）和式（2）所示的Paris公式的差分形式：

式中：Δa为裂纹前缘最深点处的扩展增量；Δc为裂纹前缘端点处的扩展增量；ΔN为循环次数增量。

将式（4）与式（3）相除，可得裂纹扩展增量Δc与Δa之间的关系为：

根据以上推导，可得到模拟疲劳裂纹扩展过程的逐步积分法。通过选取合适的裂纹扩展增量Δa和Δc来逐步计算疲劳循环次数增量ΔN，每向前推进一步，即更新一次有限元模型，计算ΔK _A 和ΔK _C ，不断循环计算，直至达到循环终止条件，从而预测疲劳寿命。整个疲劳裂纹扩展过程模拟可按图2所示的流程实施。

图2　疲劳裂纹扩展过程循环模拟流程图

Fig.2　Flow chart of cyclic simulation of fatigue crack propagation process

2　疲劳裂纹扩展模型基本假定

2.1　初始裂纹位置假定

在疲劳裂纹扩展模拟之前，需要先预设初始裂纹。刘博等 ^[5] 假定初始裂纹中心位于受拉翼缘与腹板之间的焊缝焊趾处，但根据试验后对H形钢梁疲劳破坏模式的观察发现，疲劳断口位于纯弯段内，裂纹起源于受拉翼缘与腹板之间的焊缝焊根处 ^[7] 。因此，数值模拟时假定裂纹面位于H形钢梁跨中截面，且裂纹中心位于受拉翼缘与腹板之间的焊缝焊根处（图3）。与以往研究 ^[5] 相比，这样的假定更符合试验事实。

图3　由多段1/4椭圆弧线组成的裂纹前缘的发展过程

Fig.3　Development of crack front composed by several quarter elliptical arcs

2.2　裂纹形状假定

2.3　初始裂纹尺寸假定

HIRT等 ^[8] 对焊接H形钢梁开展疲劳试验，发现疲劳裂纹起源于受拉翼缘与腹板之间角焊缝焊根处的气孔，并根据疲劳寿命反推出可以采用半径为0.04in.（1.016mm）的圆形来代表初始裂纹尺寸。本文的情况与此相同，故也采用半径为1.016mm的圆形来表示初始裂纹。

2.4　裂纹扩展准则及材料常数

采用断裂力学原理预测疲劳裂纹扩展，最关键的是要建立起裂纹扩展速率da/dN与SIF之间的关系。最经典、最常用的裂纹扩展准则是Paris公式 ^[9] （式（1）、式（2）），也有许多学者在Paris公式的基础上进行了各种修正，如Walker公式 ^[10] 、Forman公式 ^[11] 、Nasgro模型 ^[12] 等。但这些修正公式考虑的材料参数过多，参数不易标定；而Paris公式的材料参数C、m已有大量的标定数据可供选用，并且Paris公式亦可达到很好的预测精度。故本文采用Paris公式计算疲劳裂纹扩展速率。

傅宇光等 ^[13] 通过焊接H形钢梁的疲劳试验，得到了Paris公式的常数取值C=2.74×10 ^-13 （此处da/dN的单位是mm·cycle ^-1 、ΔK的单位是N·mm ^-3/2 ）、m=2.941，其破坏情况与本文相同，故本文采用文献[13]的C、m取值。

在图3所示的每个控制点处分别采用独立的Paris公式来控制疲劳裂纹的扩展速率，其表达式为：

式中：a _j 为第j个控制点处的疲劳裂纹尺寸；C _j 为第j个控制点处的Paris公式系数；ΔK _j 为第j个控制点处裂纹前缘的SIF幅值。

另外，由于应力状态的差异及自由表面的影响，裂纹前缘与自由表面交点处、裂纹前缘其他内部点处的Paris公式系数C的取值是有差别的 ^[6,14] 。本文在模拟H形钢梁的疲劳裂纹扩展过程时，对于位于裂纹前缘内部的控制点，Paris公式系数取试验值 ^[13] C _in =2.74×10 ^-13 ；对于位于裂纹前缘与自由表面交点处的控制点，Paris公式系数采用C _out 根据式（8）确定。

2.5　裂纹扩展增量

式中：t _f 为H形钢梁受拉翼缘的厚度；a ^- 为疲劳裂纹深度（图3）。

另外，最大裂纹扩展增量Δac _max 应保证不引起前、后两个循环步的裂纹前缘SIF幅值产生波动。若前、后两个循环步的裂纹前缘SIF幅值相差较大，则令Δac ⁱ _max =Δac ⁱ _max /2，并重新计算第i步循环。

2.6　循环终止条件

循环计算时，应设定循环终止的条件。根据H形钢梁疲劳裂纹扩展的特点，本文考虑当达到以下两个条件之一时，疲劳裂纹扩展循环模拟过程就终止，同时输出疲劳寿命预测值。

条件1：疲劳裂纹深度a ^- 达到H形钢梁受拉翼缘壁厚t _f 。试验中发现：当疲劳裂纹穿透受拉翼缘壁厚之后，H形钢梁迅速发生了疲劳破坏，因此将这一条件作为疲劳模拟失效准则与试验结果是相符的。

条件2：最大SIF值达到材料的断裂韧性，即K _Imax ≥K _IC 。采用欧洲规范 ^[15] 推荐的经验公式（10），通过夏比冲击吸收功A _kv 计算钢材的断裂韧性K _IC 。

式中：K _IC 为钢材的断裂韧性（单位：MPa·m ^1/2 ）；A _kv 为V形缺口夏比冲击吸收功（单位：J）；t为板件厚度（单位：mm）。

张莉 ^[16] 通过试验得到了Q345级16mm厚度钢板在20℃情况下的V形缺口夏比冲击吸收功A _kv =77J，将其代入式（10）可得到钢材的断裂韧性K _IC =115.37MPa·m ^1/2 （即3,648.25N·mm ^-3/2 ），本文后续的分析将采用该数值。

3　SIF数值计算

基于断裂力学原理模拟疲劳裂纹扩展数值分析法的关键在于SIF的计算。为保证计算准确，需要对含裂纹体的数值模型进行精细构建和处理。

3.1　数值模型构建

含裂纹H形钢梁的数值模型具有较高的复杂性，为提高计算效率并保证计算精度，将H形钢梁有限元模型分为裂纹块与非裂纹块，如图4所示。裂纹块与非裂纹块之间采用“多点位移约束方法”进行连接。采用精度和稳定性都最好的J积分法计算H形钢梁裂纹前缘的SIF。

图4　含裂纹H形钢梁有限元模型

Fig.4　Finite element model of H-steel beam with a crack

3.2　裂纹前缘附近区域网格划分

裂纹前缘附近区域的网格划分对SIF计算结果的准确性影响较大，需要精细化构建。围绕裂纹前缘布置多圈单元，如图5所示，计算各个积分路径的围线积分。先围绕裂纹前缘布置1圈C3D15二次楔形奇异单元，用于模拟裂纹前缘的r ^-1/2 （r为计算点至裂纹前缘的距离）应力奇异性；再围绕奇异单元再布置4~6圈C3D20R二次六面体实体单元，用于计算围线积分。由于第1圈围线积分一般不准确 ^[6,14] ，故取第2圈及以外各圈围线积分的平均值得到最终的SIF。

图5　H形钢梁裂纹前缘附近区域网格划分

Fig.5　Meshing of the area around crack front of H-steel beam

3.3　裂纹前缘端点处SIF外推插值修正

与含表面裂纹的三维平板 ^[17] 类似，裂纹前缘端点处（即裂纹前缘和自由表面交点处）以及紧邻端点的个别结点处的SIF计算值不准确，偏离其余大部分结点上SIF所形成的平滑趋势线。故采用二次多项式外推插值的方式对裂纹前缘端点处以及紧邻端点的个别结点处直接输出的SIF进行修正，如图6所示。

图6　H形钢梁裂纹前缘端点处SIF外推插值修正

Fig.6　SIF extrapolation interpolation correction at the crack front end of H-steel beam

4　数值模型的试验验证

4.1　试验概况

作者前期开展了4根焊接H形钢梁的疲劳试验 ^[7] ，可为数值模拟结果提供验证。4根H形钢梁的加载图和截面尺寸如图7所示，设计参数如表1所示。4根H形钢梁的腹板和翼缘之间均采用非熔透型双面角焊缝连接，钢梁表面均无焊接件。4根钢梁均采用Beach Marking方法进行加载，基准荷载模块和标记荷载模块的应力比分别设置为0.1和0.5 ^[18] 。4根H形钢梁最终均发生了受弯疲劳破坏模式，疲劳断口位于纯弯段内，基本上与试件纵轴垂直。H形钢梁S1和S4的疲劳断面上成功标记出了清晰可见的疲劳弧线（图8），可为数值模型的验证提供定量数据。

图7　H形钢梁加载方式和截面尺寸（单位：mm）

Fig.7　Loading method and section dimension of H-steel beams （Unit：mm）

图8　H形钢梁疲劳断面海滩纹弧线

Fig.8　Beach marks left on the fatigue fracture surface of H-steel beams

4.2　数值分析与试验结果对比

采用本文的有限元法对4根焊接H形钢梁构建模型，并计算其疲劳裂纹扩展过程和疲劳寿命。

试验中得到了H形钢梁S1和S4的疲劳裂纹尺寸（c ⁺ 、c ^- 、a ⁺ 、a ^- ）随荷载循环次数N的变化曲线，可将有限元法计算的曲线与试验曲线进行对比，如图9所示。可以看出，有限元法计算的疲劳裂纹尺寸变化曲线与试验结果吻合较好，表明本文的数值模型是准确的。

图9　H形钢梁疲劳裂纹尺寸变化曲线有限元结果与试验结果对比

Fig.9　Comparison of fatigue crack change curves of H-steel beams between FEA results and test results

试验中得到了4根焊接H形钢梁S1~S4破坏时的疲劳寿命N _f ^Exp ，可将有限元法计算的疲劳寿命预测值N _f ^FEA 与疲劳试验得到的疲劳寿命实测值N _f ^Exp 进行对比，如表2所示。可以看出，疲劳寿命预测值N _f ^FEA 与疲劳寿命实测值N _f ^Exp 之间的比值在0.942~1.218之间，比值的平均值为1.065，吻合较好。这表明本文的疲劳裂纹扩展数值模型可准确预测H形钢梁的疲劳寿命，结果是比较可靠的。

从表2还可以看出，对于4根焊接H形钢梁，出现可见疲劳裂纹时（即疲劳裂纹从初始尺寸扩展到穿透一侧角焊缝边缘这一阶段）的循环次数N _0-weld ^FEA 占整个疲劳寿命N _f ^FEA 的80%以上，这表明焊接H形钢梁疲劳裂纹扩展寿命的绝大部分消耗在从初始裂纹尺寸到穿透一侧角焊缝边缘这一裂纹尺寸较小的阶段，与HIRT等 ^[8] 的试验结论一致。

5　结  论

本文采用基于断裂力学的有限元法对焊接H形钢梁的疲劳裂纹扩展过程进行了数值模拟，可以得出以下主要结论：

（1）初始裂纹为半径1.016mm的圆形，裂纹中心位于受拉翼缘与腹板之间焊缝焊根处，裂纹前缘由3~4段1/4椭圆弧线来控制；在裂纹前缘端点处与内部点处分别采用不同的Paris公式系数，以疲劳裂纹深度穿透受拉翼缘壁厚或SIF超过断裂韧性为循环终止条件等基本假定均是合理的。

（2）H形钢梁裂纹前缘端点处以及紧邻端点的个别结点处直接输出的SIF计算值是不准确的，采用二次多项式外推插值的方式可对其进行有效修正。

（3）通过试验验证，本文的疲劳裂纹扩展数值模型是可靠的，可对H形钢梁的疲劳裂纹扩展过程和疲劳寿命进行准确预测。

（4）焊接H形钢梁疲劳裂纹扩展寿命的绝大部分都消耗在从初始裂纹尺寸到穿透一侧角焊缝边缘这一裂纹尺寸较小的阶段。

参考文献:

[1]LIN X B,SMITH R A.Finite element modelling of fatigue crack growth of surface cracked plates:Part Ⅲ:stress intensity factor and fatigue crack growth life[J].Engineering Fracture Mechanics,1999,63(5):541-556.DOI:10.1016/S0013-7944(99)00042-9.

[2]MALIGNO A R,RAJARATNAM S,LEEN S B,et al.A three-dimensional (3D)numerical study of fatigue crack growth using remeshing techniques[J].Engineering Fracture Mechanics,2010,77(1):94-111.DOI:10.1016/j.engfracmech.2009.09.017.

[3]GU M,TONG L W,ZHAO X L,et al.Numerical analysis of fatigue behavior of welded CFCHST-joints[J].Advanced Steel Construction,2014,10(4):476-497.

[4]NGOULA D T,BEIER H T,VORMWALD M.Fatigue crack growth in cruciform welded joints:Influence of residual stresses and of the weld toe geometry[J].International Journal of Fatigue,2017,101:253-262.DOI:10.1016/j.ijfatigue.2016.09.020.

[5]刘博,童乐为.基于断裂力学的焊接钢梁疲劳寿命数值分析[J].工业建筑,2017,47(2):145-150,162.DOI:10.13204/j.gyjz201702028.LIU Bo,TONG Lewei.Numerical analysis of fatigue life of welded steel beams based on fracture mechanics[J].Industrial Construction,2017,47(2):145-150,162.DOI:10.13204/j.gyjz201702028.(in Chinese)

[6]NEWMAN J C,RAJU I S.An empirical stress intensity factor equation for the surface crack[J].Engineering Fracture Mechanics,1981,15(1/2):185-192.DOI:10.1016/0013-7944(81)90116-8.

[7]TONG LW,XIAO S,HE L,et al.Fatigue behavior of steel reinforced concrete (SRC)beams with different shear span-to-depth ratios[J].Engineering Structures,2018,166:339-353.DOI:10.1016/j.engstruct.2018.03.071.

[8]HIRT M A,FISHER J W.Fatigue crack growth in welded beams[J].Engineering Fracture Mechanics,1973,5(2):415-429.DOI:10.1016/0013-7944(73)90031-3.

[9]PARIS P,ERDOGAN F.A critical analysis of crack propagation laws[J].Journal of Basic Engineering,1963,85(4):528-533.

[10]WALKER K. The effect of stress ratio during crack propagation and fatigue for 2024-T3 and 7075-T6 aluminum:effects of environment and complex load history on fatigue life[M]. Philadelphia:ASTM,1970:1-14.

[11]FORMAN R G,KEARNEY V E,ENGLE R M.Numerical analysis of crack propagation in cyclic-loaded structures[J].Journal of Basic Engineering,1967,89(3):459-463.

[12]MORENO B,MARTIN A,LOPEZ-CRESPO P,et al.Estimations of fatigue life and variability under random loading in aluminum Al-2024T351 using strip yield models from NASGRO[J].International Journal of Fatigue,2015,91:414-422.DOI:10.1016/j.ijfatigue.2015.09.031.

[13]傅宇光,童乐为,刘博.基于Beach Marking方法的钢结构疲劳裂纹检测研究[J].工程力学,2016,33(8):93-100.DOI:10.6052/j.issn.1000-4750.2014.12.1092.FU Yuguang,TONG Lewei,LIU Bo.Research on detection of fatigue crack propagation of steel structures based on beach marking technique[J].Engineering Mechanics,2016,33(8):93-100.DOI:10.6052/j.issn.1000-4750.2014.12.1092.(in Chinese)

[14]LIN X B,SMITH R A.Finite element modelling of fatigue crack growth of surface cracked plates:Part Ⅰ:the numerical technique[J].Engineering Fracture Mechanics,1999,63(5):503-522.DOI:10.1016/S0013-7944(99)00040-5.

[15]British Standards Institution.Guide to Methods for Assessing the Acceptability of Flaws in Metallic Structures:BS 7910∶2005[S].London:British Standards Institution,2005.

[16]张莉.钢结构刚性梁柱节点抗震性能的研究[D].天津:天津大学,2004.ZHANG Li.Study on earthquake resistance of rigid beam-to-column connection of steel structure[D].Tianjin:Tianjin University,2004.(in Chinese)

[17]肖顺,童乐为.三维表面裂纹应力强度因子数值计算方法比较[J].建筑钢结构进展,2018,20(3):11-18.DOI:10.13969/j.cnki.cn31-1893.2018.03.002.XIAO Shun,TONG Lewei.Comparison of different numerical methods for evaluating stress intensity factor of a three-dimensional surface crack[J].Progress in Steel Building Structures,2018,20(3):11-18.DOI:10.13969/j.cnki.cn31-1893.2018.03.002.(in Chinese)

[18]LIU H B,AL-MAHAIDI R,ZHAO X L.Experimental study of fatigue crack growth behaviour in adhesively reinforced steel structures[J].Composite Structures,2009,90(1):12-20.DOI:10.1016/j.compstruct.2009.02.016.