冷成型不锈钢矩形管截面受弯构件挠度计算方法

冷成型不锈钢受弯构件由于冷加工效应以及非线性材料特性，其挠度发展呈现出明显的非线性特征 ^[1-2] ，对其挠度进行准确计算往往比较复杂 ^[3] 。当前国内外部分学者针对冷成型不锈钢矩形管截面受弯构件的挠度发展开展了相关研究。JOHNSON等 ^[4] 提出将切线模量应用于不锈钢梁的挠度计算中；RASMUSSEN等 ^[5] 开展了不锈钢矩形管受弯构件的试验研究，并提出了基于割线模量的挠度计算方法；REAL等 ^[3] 给出了基于连续条件对弯矩-曲率曲线进行二次积分后得到的荷载-挠度关系曲线；王元清等 ^[6] 采用有限元方法对双轴对称工字形不锈钢受弯构件进行参数分析，通过线性拟合给出了荷载-挠度近似计算公式；郑宝锋等 ^[7] 基于平截面假定和Ramberg-Osgood公式，给出了采用近似曲率法的挠度计算表达式。

目前各国现行设计规范中给出的冷成型不锈钢矩形管截面的变形计算方法也不尽相同。欧洲规范EN 1993-1-4 ^[8] 和美国规范SEI/ASCE 8-02 ^[9] 均采用平均割线模量法计算挠度，而中国《不锈钢结构技术规程》（CECS 410：2015） ^[10] 则采用近似曲率法计算受弯构件的挠度。

现有关于不锈钢受弯构件挠度的计算方法中，边缘屈服弯矩的计算过程往往较为复杂，且未考虑冷弯残余应力的影响。因此，本文首先推导考虑弯角影响的冷成型不锈钢矩形管截面受弯构件边缘屈服弯矩的简化计算表达式，并与数值积分结果进行比较，基于现有的试验结果建立了精细有限元分析模型，在考虑截面残余应力的基础上对现有的近似曲率计算方法进行修正，提出了冷成型不锈钢矩形管截面受弯构件的挠度计算方法，以期为我国《不锈钢结构技术规程》的修订提供参考。

1　截面边缘屈服弯矩

1.1　推导思路

冷弯成型工艺会导致材料应变硬化，矩形管截面的弯角区、过渡区、平板区彼此之间的材料力学性能存在较大差别 ^[11] ，构件截面的加权平均屈服强度一般采用式（1）进行计算 ^[12] ：

冷成型不锈钢矩形管截面受弯构件的边缘屈服弯矩M _0.2 的推导采取下述思路：（1）推导直角矩形截面的边缘屈服弯矩M _0.2,b ，如图1a）所示；（2）计算转角处直角与弯角弯矩的差值M _0.2,tr ，采用M _0.2,b 减去M _0.2,tr ，即为带弯角矩形管截面的边缘屈服弯矩M _0.2 ，如图1b）所示。

图1　矩形管截面边缘屈服弯矩

Fig.1　Nominal bending yield moment of rectangular hollow sections

1.2　直角矩形管截面

直角矩形管截面边缘屈服弯矩M _0.2,b 分别由腹板和翼缘的贡献M _0.2,w 和M _0.2,f 组成。腹板的贡献M _0.2,w 可以根据平截面假定和截面积分得出。根据平截面假定和Ramberg-Osgood表达式给出材料应力-应变关系模型，距离中心轴的高度h与截面正应力σ的关系如式（2）所示，将dM=σthdh沿高度方向积分，得到M _0.2,w 的积分表达式如式（3）所示。

M _0.2,w 的表达式涉及参数较多，注意到式（3）方括号中的内容仅与应变硬化指数和名义屈服强度相关，而括号外的部分与腹板弹性边缘屈服弯矩的表达式接近，因此可引入材料非线性参数α并将M _0.2,w 的计算表达式重写为：

图2　线性拟合结果

Fig.2　Linear fitting results

经过多元线性回归，得到α的表达式如下：

对式（6）的误差进行分析，由于α与截面属性无关，因此取n、e不同的72个截面进行计算，结果如图3所示。图中横坐标为数值积分与弹性理论计算得到的腹板边缘屈服弯矩的比值M _0.2,w /M _el,w ，即参数α的真实值；纵坐标ρ=α/（M _0.2,w /M _el,w ），即为参数α的回归公式与其真实值的偏差。结果表明，回归公式计算的最大误差仅为0.3%，充分验证了所提出计算公式的准确性。

图3　参数α准确性分析

Fig.3　Accuracy analysis of α

翼缘边缘屈服弯矩M _0.2,f 是通过将翼缘沿高度方向离散为微元后采用数值积分得到，其表达式如式（7）所示。截面应力σ与高度h的关系曲线在H/2－t至H/2之间为单调递增的凹函数，根据积分第一中值定理，在H/2－t/2至H/2之间必有且仅有一个高度为h ₁ 的点，使M _0.2,f 可如式（7）所示以该高度的应力值σ _h1 表示。

图4　翼缘应力分布

Fig.4　Stress distribution in flanges

对n=5~16、高厚比H/t不同的截面进行计算，结果如图5所示，其中纵坐标κ=M _0.2,f /M _0.2,f,m ，M _0.2,f 为式（8）的计算结果，M _0.2,f,m 则为数值积分计算结果。尽管随着高厚比和应变硬化指数的减小，公式计算结果的偏差增大。然而CECS 410：2015 ^[10] 和《结构用冷弯空心型钢》（GB/T 6728—2017）给出的方形、矩形截面尺寸表中H/t的最小值为10，此时κ的最大值仍小于1.03，体现了该简化计算公式的准确性。

图5　高厚比H/t的影响

Fig. 5　Influence of height to thickness ratio H/t

1.3　弯角矩形管截面

矩形管截面弯角与直角区域的比较如图6所示。将直角区转换为弯角区会导致截面边缘屈服弯矩减小，二者差值为M _0.2,tr 。图中Ω ₁ 区域为M _0.2,b 和M _0.2 共有，因此M _0.2,tr 对应于Ω ₃ 区域与Ω ₂ 区域的弯矩差异。弯角矩形管截面边缘屈服弯矩M _0.2 的计算式如式（9）和（10）所示。

图6　弯角区与直角区的比较

Fig.6　Comparison between round and right angle corner area

为简化计算，用H/2替换h _ri 和h _ro ，用σ _0.2 替换σ _hri 和σ _hro ，则M _0.2,tr 的表达式改写为：

式中：M _0.2,cor 为弯角区边缘屈服弯矩；r ₀ 为弯角内半径。

将弯角区的边缘屈服弯矩数值积分结果与简化公式计算结果进行对比，如图7所示。图中横坐标为弯角外半径与壁厚的比值，纵坐标β=M _0.2,tr /（M _0.2,b －M _0.2 ），M _0.2,tr 为式（11）计算值，M _0.2,b －M _0.2 为数值积分结果。分析表明简化计算公式与数值积分结果误差较小，最大仅为4.17%，而且截面弯角部分占整体的比例较小，因此该简化计算公式的误差处于可接受的范围。

图7　参数r _i /t的影响

Fig.7　Influence of r _i /t

综上所述，带弯角的冷成型不锈钢矩形管截面的边缘屈曲弯矩M _0.2 的计算表达式为：

在常用范围内选取不同径厚比r _i /t、高厚比H/t、应变硬化指数n、归一化屈服强度e组合得到301个不同截面，将提出的截面屈服弯矩计算式与数值积分结果进行对比，如图8所示，其中M _0.2 为式（13）计算结果，M _0.2,m 为数值积分结果。所有数据均位于0.998~1.008之间，平均值为1.003，标准差为0.002，表明式（13）计算的截面屈服弯矩具有较高精度。

图8　M _0.2 /M _0.2,m 频数分布

Fig.8　Frequency distribution of M _0.2 /M _0.2,m

2　有限元分析

2.1　现有试验研究数据

现有针对冷成型不锈钢矩形管截面受弯构件的变形性能试验研究的数据如表1所示，涉及奥氏体型、双相型和铁素体型3类不锈钢，共6种牌号，包含方形管和矩形管2种截面形式，共10种尺寸。

2.2　有限元模型

采用ABAQUS软件建立精细化有限元分析模型，采用4节点四边形有限薄膜应变减缩积分壳单元S4R进行网格划分。采用两个集中力对称加载在构件中部形成纯弯段，两侧支座的边界条件为约束除轴向位移（U ₃ ）和平面内弯曲（U _R1 ）外的4个自由度，约束构件的跨中轴向位移（U ₃ ）。利用对称性只建1/2模型，中间截面的对称边界条件为约束除竖向位移（U ₂ ）外的其他所有自由度。左半段梁模型如图9所示。通过开展特征值屈曲分析得到构件的弯曲屈曲形态，并利用*IMPERFECTION命令对有限元模型施加幅值为构件跨度的1/1,000的几何初始缺陷。

图9　左半段梁有限元模型

Fig.9　Finite element model of left half beam

由于冷弯效应使得矩形管截面中存在较为复杂的残余应力分布形态。有限元模型中采用GARDNER等 ^[15] 提出的冷弯残余应力简化分布模型，如图10所示。截面残余应力采用子程序Sigini引入，在单元厚度方向设置5个积分点（图11），在4、5两点上施加沿构件纵向的拉应力，同时在1、2两点上施加压应力。

图10　残余应力分布模型 ^[15]

Fig.10　Residual stress distribution model ^[15]

图11　壳单元积分点示意

Fig.11　Schematic diagram of integration points of shell element

2.3　有限元与试验结果比较

采用建立的精细有限元模型对试件进行模拟，有限元计算的受弯承载力M _FE 与试验结果M _Exp 的对比如表2所示，M _FE 取值与文献中试验一致，为极限承载力。有限元与试验结果的平均比值为1.01，相应的标准差为0.03。同时，有限元模拟与试验曲线的对比如图12所示，可以看出考虑残余应力的有限元模拟曲线与试验曲线吻合良好，验证了所建立有限元模型的准确性。

在不考虑截面残余应力的情况下对模型进行重新计算，有限元模拟得到的曲线也绘于图12中，可以看出不考虑截面冷弯残余应力的有限元模拟曲线相比于试验曲线的初始刚度偏高，而考虑残余应力的曲线与试验曲线吻合得更好。

图12　有限元与试验结果对比

Fig.12　Comparison between FE and test results

3　挠度计算方法

3.1　挠度计算公式

现行CECS 410：2015 ^[10] 中采用的近似曲率法未直接考虑截面残余应力的影响，因此在考虑截面冷弯残余应力的基础上对近似曲率法进行修正。基于验证可靠的有限元分析模型，采用奥氏体型S30408、双相型S22253和铁素体型S11213三种牌号的不锈钢，其相应的材料力学性能参数如表3所示，建立了包括多种截面宽厚比B/t和高厚比H/t的数值模型算例，涵盖了欧洲规范EN 1993-1-4 ^[8] 中第1~4类截面。截面冷弯残余应力导致的初始刚度折减系数γ的变化规律如图13所示。

图13　初始刚度折减系数γ参数分析结果

Fig.13　Parametric analysis results of initial stiffness reduction factor γ

由图13可以看出，宽厚比的影响较小，但高厚比的影响较为明显。因此以高厚比为参数采用二次多项式对系数γ进行拟合，得到的拟合系数如表4所示。

综上，建议的截面曲率计算公式如式（14）所示，对式（14）二次积分即可得到构件挠度。

3.2　与现有计算方法比较

（1）EN 1993-1-4方法

欧洲规范EN 1993-1-4 ^[8] 建议使用割线模量计算挠度：

（2）RASMUSSEN和HANCOCK方法

RASMUSSEN等 ^[5] 提出通过折减截面最大应力来得到有效应力，采用有效应力对应的割线模量计算挠度，计算公式如下：

式中：w为构件挠度；K _v 为依据边界条件和加载条件确定的计算系数；P为构件外荷载；L为构件跨度；E _st 为翼缘最大拉应力对应的割线模量；E _sc 为翼缘最大压应力所对应的割线模量；σ _e 为依据截面最大应力折减得到的有效应力；M _max 为构件最大弯矩；W为弹性截面抗弯抵抗矩；K _σ 为折减系数，单跨方管截面取K _σ =2/3，圆管截面取K _σ =3/4；为按全截面计算的截面惯性矩。

（3）MIRAMBELL和REAL方法

REAL等 ^[3] 利用弯矩-曲率关系二次积分得到荷载-挠度关系，弯矩与曲率的关系式如下：

将以上3种方法和式（14）计算得到的弯矩-挠度曲线与有限元模拟得到的曲线进行比较，如图14所示，图中横坐标的挠度限值取为CECS 410∶2015中跨度的1/400。结果表明，EN 1993-1-4方法、RASMUSSEN和HANCOCK方法、MIRAMBELL和REAL方法计算得到的初始刚度都明显偏大，3种方法前期的弯矩计算值高于有限元的结果。随着挠度的发展，这3种方法计得到的弯矩-挠度曲线呈现出不同的变化趋势：EN 1993-1-4方法计算得到的刚度逐渐减小，最终计算弯矩小于有限元结果且偏差持续增大；RASMUSSEN和HANCOCK方法计算得到的刚度始终偏大，弯矩计算值与有限元模拟结果的偏差也是三者中最大的；MIRAMBELL和REAL方法计算得到的弯矩-挠度曲线在达到变形限值之后开始向有限元计算结果曲线靠拢并最终趋于一致。而建议的挠度计算式（14）得到的弯矩-挠度曲线在达到挠度限值前与有限元模拟结果的吻合程度较高，在挠度限值附近及以后，其弯矩计算值略低于有限元结果。由此可见，所建议的挠度计算方法的准确性明显优于现有的其他3种方法的准确性。

图14　各种计算方法比较

Fig.14　Comparison of various calculation methods

4　结  论

（1）在考虑不锈钢截面应力非线性分布特征以及弯角区影响的条件下，推导了冷成型矩形管截面边缘屈服弯矩M _0.2 的计算式。

（2）采用有限元软件ABAQUS建立了考虑几何初始缺陷和冷弯残余应力场的精细化有限元模型，有限元结果与现有的试验研究结果吻合良好，验证了所建立的有限元模型的准确性，同时也表明截面冷弯残余应力会降低受弯构件的初始刚度。

（3）基于验证可靠的有限元模型，在考虑截面冷弯残余应力的基础上对近似曲率法进行修正，给出了初始刚度折减系数和挠度的计算公式。

（4）基于有限元分析结果，将建议的修正近似曲率法计算公式、EN 1993-1-4方法、RASMUSSEN和HANCOCK方法以及MIRAMBELL和REAL方法的计算结果进行了比较，结果表明现有3种方法计算得到的初始刚度结果均明显偏高，EN 1993-1-4方法计算得到的挠度偏大，RASMUSSEN和HANCOCK方法计算得到的挠度偏小，MIRAMBELL和REAL方法计算得到的挠度在规范限值范围内偏小，随后与有限元结果趋于一致，而所建议的修正计算公式在挠度限值范围内与有限元结果高度吻合，相对而言能够更为准确地反映受弯构件的挠度发展。

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