空间结构主振型遴选的拓展阈值法

摘要： 空间结构的主振型遴选准确与否直接影响着振型叠加法的计算效率。以现有阈值法的基本假定作为切入点，揭示了动力功和静力功均为外力功的本质，指出采用常幅阶跃荷载作为外部激励存在局限性，且现有理论框架的基本假定与实际偏差较大，据此论证了该方法在理论上的不完备性；通过理论推导，将阈值法拓展至与实际地震动输入更具关联性的简谐激励情形，能够同时考虑动力响应和静力响应，避免了不合理的基本假定，并且详细论述了在具有实际意义的共振情况下阈值法的适用性，据此提出了拓展阈值法。算例分析表明，拓展阈值法能够将计算误差控制在10%以内，主振型阶数相比于规范法得到的阶数平均减少了73.8%，相比于现有阈值法得到的阶数平均减少了56.5%，计算稳定且高效。

关键词： 空间结构；主振型；抗震分析；阈值法；简谐激励

Abstract： The calculation efficiency of modal superposition method highly depends on whether the dominant modes of a spatial structure are selected validly. The fundamental assumptions of the existing threshold value methods are taken as the breakthrough point and the dynamic work and static work are proved to be external force work. The flaw of constant-amplitude stepped load used in the existing method are discussed，along with the considerable deviation from the fundamental assumption therein pointed out. Then the theoretical incompleteness of the existing method is revealed. To address this issue，the threshold value method is extended to the harmonic excitation，which is more relevant to the actual earthquake excitation. Taking both dynamic and static responses into account，the unreasonable assumption is avoided. More practically，the serviceability of the extended method in resonant condition is demonstrated. Therefore，the extended threshold value method is proposed in this paper. Through an example comparison，the extended method is able to obtain a satisfying result with errors below 10%，and simplify the dominant modes which is 73.8% less than those by the code method，and 56.5% less than those by the existing method. The new method is more stable and efficient.

Keywords： spatial structure；dominant mode；seismic analysis；threshold value method；harmonic excitation

在现有地震反应分析方法中，相对于直接求解结构动力方程的时程分析方法，振型叠加法具备两个核心优势 ^[1] ：（1）借助广义坐标，可将复杂耦合的多自由度体系运动方程解耦，从而将问题转化为多个单自由度体系运动方程的求解；（2）通过遴选振型，将运动方程降元，只需计算并叠加少数振型响应即可近似得到结构总响应。然而，在现有条件下，大规模振型叠加计算在理论和实践上不可靠，因此，在大量振型中选取能够控制结构主要振动特性的若干阶主振型，对振型叠加法具有重要意义。

现行设计规范 ^[2] 采用质量参与系数作为振型截取的参考指标，该指标最初用于评价多高层结构的基底剪力。一般而言，多高层结构的侧向刚度主要由框架柱的抗弯刚度和剪力墙的剪切刚度提供，振型对应的基底剪力的大小能够有效反映该阶振型的贡献量，因此，基于质量参与系数累积量截取振型的准则实用且高效。然而，对于频率密集、振型丰富的空间结构，其侧向刚度主要由构件的轴向刚度提供，质量参与系数累积缓慢，难以达到规范的要求 ^[3] ，且据此筛选得到的振型库中不可避免地存在一些对响应贡献较小的非主导振型，造成质量参与系数累积准则实用性较差且效率较低。

除了基于基底剪力的振型截取方法，近年来国内外学者还提出了基于能量的振型选取方法。NAKAYAMA等 ^[4] 和田玉基等 ^[5] 先后提出了基于应变能准则的振型选取方法，将选取方式从截取改为遴选。ZHONG等 ^[6] 在NAKAYAMA等研究成果的基础上，提出将平均模态应变能系数作为振型贡献衡量指标，但该指标需事先对能量进行全时程积分运算，且与实际地震动相关，无法与设计谱结合，故计算效率不高。

近年来提出的振型遴选阈值法 ^[7-8] 从能量的角度将振型贡献分为静力功和动力功，定义静力功参与系数和动力功参与系数为振型遴选的参考指标，并给出了参考阈值。该方法初步解决了空间结构质量参与系数累积慢的问题，有效降低了振型选取阶数。然而，现有阈值法在理论上尚不完备，在使用中仍存在计算精度与振型阈值关系不直观、适用范围不明确等问题 ^[9-10] 。

针对上述问题，本文以阈值法的基本假定为切入点，阐述动力功和静力功均为外力功的本质，并指出常幅阶跃荷载的局限性，以及现有阈值法在理论推导中存在的过度简化问题，据此论证该方法在理论上的不完备性；通过理论推导，提出拓展阈值法，将阈值法拓展至与实际地震动输入更具关联性的简谐激励情形，详细论述阈值法在具有实际意义的共振情况下的适用性。通过与规范法和现有阈值法的对比算例，验证拓展阈值法遴选不同形式空间结构主振型的有效性。

1　现有阈值法的局限性

为详细论述现有阈值法中动力功参与系数和静力功参与系数的局限性，本文首先简要介绍现有阈值法的理论基础。

根据HANSTEEN和BELL提出的静力修正原理 ^[11] ，结构在动力激励下的总响应可分解为低阶振型的动力响应和高阶振型的静力响应之和。据此，可假定某阶振型响应为纯静力响应或纯动力响应，从而大大简化理论推导过程。

1.1　动力功参与系数

假设第n阶振型对应的单自由度体系响应为纯动力响应，则式（2）退化为：

采用动力功参与系数，可以有效评估各阶振型对惯性力响应的贡献。理论推导 ^[8] 可以证明，当用于计算总动力功的振型阶数等于结构总自由度数时，动力功参与系数与经典的质量参与系数在数值上相等，因此，可将质量参与系数累积准则视为阈值法准则的特殊情况。

1.2　静力功参与系数

假设第n阶振型对应的单自由度体系响应为纯静力响应，则式（2）退化为：

采用静力功参与系数，可以有效评估各阶振型对弹性抗力响应的贡献。

1.3　阈值法原理及其理论局限性

为采用动力功参与系数和静力功参与系数遴选振型，可根据计算精度的具体需求，预先设定一个阈值δ，参与系数值大于δ的振型可判定为主振型，忽略参与系数值小于δ的次要振型。阈值法给出的主振型库Ω _T 由动力功参与系数主振型库Ω _D 和静力功参与系数主振型库Ω _S 组成，即：

在纯动力的理想情况下，单自由度体系所受外力全部由惯性力抵抗，惯性力做功与外力做功在数值上相等，此时动力功即为外力功；同理，在纯静力的理想情况下，单自由度体系所受外力全部由弹性恢复力抵抗，弹性抗力做功与外力功在数值上相等，此时静力功即为外力功。因此，在阈值法的基本假定框架下，动力功参与系数和静力功参与系数实质上表征了纯动力和纯静力两种理想情况下，振型响应对结构整体外力功的贡献程度，以此作为遴选振型的依据是合理的。

如质量参与系数累积准则可以根据不同的截断值（规范[2]建议取90%）选取振型，阈值法可根据计算需要设定不同的阈值，故该方法的精度取决于阈值δ的大小。阈值δ越小，遴选出的主振型库越丰富，计算精度越高，但计算效率越低；阈值δ越大，遴选出的主振型库越精简，计算效率越高，但计算精度越低。

已有研究成果 ^[12] 表明，空间结构起主导作用的主振型并非全部集中于前几阶或前十几阶，存在较高阶的整体性主振型，主振型频率之间分布着大量对整体响应贡献较小的局部振型。质量参与系数累积准则是将截断值以内的全部振型囊括入振型库并付诸后续计算，而大量的次要局部振型就不可避免地被连带选入，造成筛选得到的振型库中各振型的主导和重要程度参差不一，质量参与系数累积缓慢，这无疑大大降低了振型叠加法的计算效率。

阈值法能够有效解决针对空间结构所选取的主振型库“冗余”的问题，借助阈值得以逐个判定每阶振型的重要程度，从而优选出对整体响应贡献较大的主振型，摒弃次要的局部振型，极大地提高了振型叠加法的计算效率。

尽管阈值法具备重要的理论意义和实用价值，并初步验证了有效性，然而其理论基础和实际运用中仍需面对3个关键问题：

（1）实际结构的地震响应与地震动输入的频谱特性直接相关，不同卓越频率的地震动输入可能激发出不同阶振型的动力响应，进而产生截然不同的地震破坏模式。在现有阈值法中，仅以常幅阶跃荷载作为唯一的外部激励形式，与实际地震动的关联性不强。

（2）无论是理想的常幅阶跃荷载还是实际的地震动输入，都必然会同时激发出静力响应和动力响应，人为刻意忽略其中任一部分响应，在理论上都显得不够完备。此外，现有阈值法无法解释实际计算中广泛存在的某些振型动力功参与系数和静力功参与系数都很大的情况。

（3）在实际工程中，某些特定的地震动频率分量可能放大个别振型响应的幅值，进而引发不容忽视的类共振问题。但现有阈值法中，理论推导过程被过度简化，无法考虑外部荷载激励频率的影响，因而无法考虑共振问题对主振型选择的影响。

除了上述问题，现有阈值法仅在某一特定单层球面网壳数值算例中初步验证了其有效性，然而，其计算稳定性是否随设计参数变化，是否适用于其他形式的空间结构，这些均有待进一步研究。

2　基于简谐激励的拓展阈值法

从数学角度来讲，满足特定条件的任一时间序列函数均可以通过Fourier变换近似展开成一系列有限三角级数。同理，在地震工程学中，任意一条地震加速度激励时程均可以借助Fourier变换分解成一系列简谐激励时程，在此基础上可以对地震波进行谱分析，确定地震动的主要频率含量与分布。因此，研究结构在简谐激励作用下的动力响应，对于分析地震动频谱特性对结构动力响应的影响具有重要的指导意义。

假设一具有N个自由度的无阻尼线性体系在正弦简谐荷载激励下的运动方程为：

至此，问题转化为求解在正弦简谐荷载激励下，单自由度体系的运动方程。由于一般（非共振）简谐激励与共振简谐激励两种模式激发出的振型响应在理论分析和实际计算中差异较大，故本文将从理论推导的角度对一般简谐激励和共振简谐激励两种模式进行分情况探讨。

此外，由式（25）可知，随着激励持续时间t的增加，外力功W _n 逐渐趋于发散，发生共振，结构响应发生剧烈震荡，结构迅速发生倒塌破坏，此时讨论振型贡献以及遴选主振型意义不大。但实际结构中，由于阻尼的存在，无论激励频率如何变化，结构响应都是有限值，结构只发生类共振 ^[14] 。因此，在有限结构响应的前提下，振型外力功主要与Γ ² _n 相关，由式（21）可知，振型贡献可采用动力功参与系数F ^D _n 作为衡量指标，进而判定和遴选主振型。

尽管采用更为全面的地震动谱分析将有助于更加准确地判断主振型的响应贡献，但地震动谱分析结果与地震波的选择有关，需要大量分析才能得到有限的统计意义，这无疑将大大牺牲振型叠加法的计算效率。基于简谐激励的拓展阈值法，仅需对结构进行必要的模态分析，即可快速遴选出空间结构的主振型，仍不失为一种简便实用的主振型遴选手段。

3　算例分析与讨论

为研究拓展阈值法的适用范围，采用ANSYS软件对不同设计参数的空间结构进行时程分析，对比基于累积质量参与系数准则的规范法以及现有阈值法，论证拓展阈值法的效率优势。

本文模态分析和时程分析中的有限元模型均建立在重力平衡状态下，以考虑重力对结构动力特性的影响。时程分析选用1952年记录的Taft地震波，位移计算结果截取响应较大的3s。在计算分析中，空间结构的重力荷载代表值大致分为3个级别，即100kg·m ^-2 、150kg·m ^-2 和 200kg·m ^-2 ，分别对应金属板材屋面、保温采光屋面以及混凝土板重屋面 ^[15] ，并将屋面荷载转化为等效集中质量施加于节点。算例采用理想线弹性材料，弹性模量为206GPa。计算分析中计入幅值为L/300的一阶模态初始缺陷（L为网壳跨度）。

为方便起见，模型采用以下命名规则：某空间结构矢跨比为1/3、屋面形式采用金属板材屋面，则可将其命名为“X-3-10”，其中，X为空间结构代号，3为矢跨比的倒数，10为重力荷载代表值除以10。

3.1　球面网壳

本例选用球面网壳（spherical latticed shell），代号记为S。采用焊接球节点，底部为固定铰支座，结构模型如图1所示，设计参数如表1所示。

图1　球面网壳模型

Fig.1　Spherical latticed shell model

现以模型S-3-10为例，基于阈值δ=0.10遴选主振型，分别采用规范法、现有阈值法和拓展阈值法遴选得到主振型，并将时程法与基于上述3种准则的振型叠加法计算得到的顶点位移结果进行对比，如图2所示。计算结果表明，3种振型叠加法得到的位移时程在振荡频率和相位方面与时程法结果基本一致，相比于时程法结果，3种振型叠加法的位移平均误差均小于10%，其中拓展阈值法的x方向位移误差仅为4.63%，y方向位移误差仅为4.62%，z方向位移误差仅为7.24%，计算精度满足要求。

图2　球面网壳S-3-10计算结果对比

Fig.2　Comparison of calculating results  of spherical latticed shell S-3-10

对比不同结构主振型阶数可知，相比于现有阈值法，拓展阈值法遴选的主振型累积参与系数相近，同时振型阶数减少了64%；相比于规范法，拓展阈值法遴选的主振型累积参与系数降低了22%，但振型阶数减少了97%，说明拓展阈值法的遴选效率优势明显。对比各结构顶点位移响应的平均误差，如图3所示。计算结果表明：（1）3种振型叠加法在x、y、z方向的位移误差均不足10%，说明球面网壳的主振型能够有效主导结构动力响应；（2）随着矢跨比的减小和屋面质量的增大，拓展阈值法能够保持计算稳定。

图3　球面网壳顶点位移计算误差对比

Fig.3　Calculating error comparison of vertex displacement of spherical latticed shell

3.2　柱面网壳

本例选用柱面网壳（cylindrical latticed shell），代号记为C。采用螺栓球节点，底部为固定铰支座，结构模型如图4所示，设计参数如表2所示。

图4　柱面网壳模型

Fig.4　Cylindrical latticed shell model

现以模型C-3-10为例，基于阈值δ=0.10遴选主振型，分别采用规范法、现有阈值法和拓展阈值法遴选得到主振型，并将时程法与基于上述3种准则的振型叠加法计算得到的顶点位移结果进行对比，如图5所示。计算结果表明，3种振型叠加法得到的位移时程在振荡频率和相位方面与时程法结果基本一致，相比于时程法结果，3种振型叠加法的位移平均误差均小于10%，其中拓展阈值法的x方向位移误差仅为3.37%，y方向位移误差仅为3.75%，z方向位移误差仅为7.44%，计算精度满足要求。

图5　柱面网壳C-3-10计算结果对比

Fig.5　Comparison of calculating results of cylindrical latticed shell C-3-10

对比不同结构主振型阶数可知，相比于现有阈值法，拓展阈值法遴选的主振型累积参与系数相近，同时振型阶数减少了53%；相比于规范法，拓展阈值法遴选的主振型累积参与系数降低了9.0%，但振型阶数减少了83%，说明拓展阈值法的遴选效率优势明显。对比各结构顶点位移响应的平均误差，如图6所示。计算结果表明：（1）3种方振型叠加在x、y、z方向的位移误差均不足10%，说明柱面网壳的主振型能够有效主导结构动力响应；（2）随着矢跨比的减小和屋面质量的增大，拓展阈值法能够保持计算稳定。

图6　柱面网壳顶点位移计算误差对比

Fig.6　Calculating error comparison of vertex displacement of cylindrical latticed shell

3.3　鞍形网壳

本例选用鞍形网壳（hyperbolic paraboloid latticed shell），代号记为H。采用焊接球节点，四边为固定铰支座，结构模型如图7所示，设计参数如表3所示。

图7　鞍形网壳模型

Fig.7　Hyperbolic paraboloid latticed shell model

现以模型H-3-10为例，基于阈值δ=0.10遴选主振型，分别采用规范法、现有阈值法和拓展阈值法遴选得到主振型，并将时程法与基于上述3种准则的振型叠加法计算得到的顶点位移结果进行对比，如图8所示。计算结果表明，3种振型叠加法得到的位移时程在振荡频率和相位方面与时程法结果基本一致，相比于时程法结果，3种方振型叠加的位移平均误差均小于10%，其中拓展阈值法的x方向位移误差仅为3.68%，y方向位移误差仅为4.22%，z方向位移误差仅为7.81%，计算精度满足要求。

对比不同结构主振型阶数可知，相比于现有阈值法，拓展阈值法遴选的主振型累积参与系数相近，同时振型阶数减少了57%；相比于规范法，拓展阈值法遴选的主振型累积参与系数降低了11%，但振型阶数减少了78%，说明拓展阈值法的遴选效率优势明显。对比各结构顶点位移响应的平均误差，如图9所示。计算结果表明：（1）3种方振型叠加在x、y、z方向的位移误差均不足10%，说明鞍形网壳的主振型能够有效主导结构动力响应；（2）随着矢跨比的减小和屋面质量的增大，拓展阈值法能够保持计算稳定。

图8　鞍形网壳H-3-10计算结果对比

Fig.8　Comparison of calculating results of hyperbolic paraboloid latticed shell H-3-10

图9　鞍形网壳顶点位移计算误差对比

Fig.9　Calculating error comparison of vertex displacement of hyperbolic paraboloid latticed shell

4　结  论

（1）拓展阈值法遴选得到的主振型阶数相比于规范法平均减少了73.8%，相比于现有阈值法平均减少了56.5%，但累积参与系数与规范法和现有阈值法的遴选结果接近，能够有效兼顾振型遴选的效率和精度。

（2）相比于结构整体动力时程法结果，基于拓展阈值法的振型叠加法计算结果的平均误差不到10%，位移时程的振荡频率和相位与时程法结果基本一致，满足工程精度要求。

（3）拓展阈值法遴选的主振型数和分析精度不随空间结构矢跨比的减小和屋面质量的增大而明显变化，计算稳定且高效。

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