新型环形张拉整体式穹顶结构形态设计与分析

关键词： 张拉整体结构；索穹顶结构；三棱柱单胞；协同找形；力学性能

Abstract： In order to make full use of the properties of tensegrity structures and cable-dome structures，a novel self-balanced annular tensegrity-dome structure is formed by combining and assembling tensegrity triangular prism units，and by replacing the rigid ring beam at the bottom of the cable dome structure. Commercial software MATLAB and ANSYS are utilized to investigate the initial prestress finding and collaborative form finding of the annular tensegrity structure and tensegrity-dome structure，and the mechanical properties of the tensegrity-dome structure are explored. The results show that various design requirements can be satisfied by embedding the cable dome structure into an annular tensegrity structure which is assembled by different units. The prestress of the cable dome and the inner ring cable that connected to cable dome is significantly decreased. The global structural stability meets the requirements，and the structure has good stiffness. However，compared with the tensegrity structure，the stiffness of cable dome is less than that of the tensegrity structure. The safety reservation of cable dome could be enhanced properly in practical engineering.

Keywords： tensegrity structure；cable dome structure；triangular prism unit；collaborative form finding；mechanical property

张拉整体（tensegrity）结构是美国学者FULLER首先提出的一种由相互独立的受压单元与连续的受拉单元构成的新型空间结构体系 ^[1] 。但由于早期的研究者多来自于建筑和艺术领域，在提出概念的同时未能发展出有效的分析设计理论与方法，因此此种结构体系的发展较为缓慢。直到20世纪80年代初，这种具有独特魅力的结构体系才引起了工程界学者们的关注，并在航空航天 ^[2] 、智能机器人 ^[3] 、生物医学 ^[4] 和土木工程 ^[5] 等不同学科领域取得了多样化的发展与应用。形态设计是张拉整体结构构型设计的基本问题。张幸锵等 ^[6] 通过在三棱柱左、右旋单元添加连系杆，得到了一种新型三棱柱张拉整体平板结构，并对该结构进行受力分析，验证了该平板结构具有较好的整体刚度。朱伟等 ^[7] 研发了一种由4条刚性支链、2条绳索支链和2条弹簧支链组成的半八面体张拉整体并联机构，大幅提高了精密机械手的操作柔顺性。杨维国等 ^[8] 提出了一种CT型张拉整体结构，研究结果表明该CT型张拉整体结构具有强度高、变形小的特点，且设计难度和施工难度均有所降低。罗阿妮等 ^[9] 将星形张拉整体结构转化为空间中可展结构，提出了一种星形张拉整体可展结构，研究结果表明，当该结构初始高度与中心构件的长度相同时，结构将完全处于展开状态，所有构件的内力和力密度都达到最小值。

相比于其他传统的建筑结构体系，张拉整体结构这种具有独特魅力的新体系依然“年轻”，截至目前，世界范围内依然没有真正意义上的张拉整体结构工程作品，其中一个显著的原因是张拉整体结构为典型的柔性结构，具有大变形小应变的特点，承受荷载的能力相对较低。尽管如此，借鉴张拉整体思想的索穹顶结构却在实际工程中收获了巨大的成功，并取得了长足的发展。丁明珉 ^[10] 提出了一种新型拉梁-索穹顶结构，即将索穹顶中仅受拉的脊索替换为受拉弯的刚性拉梁，使得该结构兼具弦支穹顶和索穹顶的特征。张爱林等 ^[11] 克服了索穹顶结构脊索松弛的问题，提出了一种脊杆环撑索穹顶结构，在提高结构承载力的同时丰富了现有的索穹顶结构的类型。秦诗达 ^[12] 将碳纤维复合材料（carbon fibre reinforced plastic，CFRP）应用到索穹顶中，形成碳纤维索穹顶结构，并证实了该新材料结构具有较优的力学特性。宗钟凌等 ^[13] 提出了一种新型刚性网格索穹顶结构，并对该结构的初始形态设计进行深入研究，提出了近似等效荷载生死单元法，为该类结构的初始选型和设计提供了依据。董石麟等 ^[14] 提出了一种蜂窝三撑杆型索穹顶体系，该体系减少了环索与斜索的数量，同时增加了一定数量的撑杆，提高了结构的整体稳定性。

上述研究工作分别促进了张拉整体结构和索穹顶结构体系的应用与发展，但对于这两种结构体系的串联研究却极为少见，因此无法充分发挥这两种结构体系各自的优点。受此启发，本文拟在5杆7索张拉整体三棱柱单胞基础上，通过单胞的组合及拼装，形成新型封闭式张拉整体结构。同时考虑到索穹顶结构底部为刚性环梁支承，不是真正意义上的自平衡体系结构，于是采用张拉整体环形结构替代索穹顶结构原有的刚性环梁支承，使其形成一种完全自平衡的新型张拉整体式穹顶结构。采用商用软件MATLAB和ANSYS对环形张拉整体结构和张拉整体式穹顶结构进行初始预应力找形及协同找形研究，并在此基础上探究张拉整体式穹顶结构的力学性能，以促进该结构体系在实际工程中的应用。

1　环形张拉整体结构拼装过程

1.1　张拉整体三棱柱单胞

一个张拉整体三棱柱单胞及其编号如图1所示，由5根压杆和7根拉索构成，图中粗线代表压杆，细线代表拉索。由图可知，该三棱柱单胞中部分压杆存在接触现象，属于二类张拉整体结构 ^[15] 。且根据MOTRO对张拉整体结构的定义 ^[16] ，张拉整体是由一组离散受压构件集和连续的受拉构件组成的稳定自平衡体系，该三棱柱单胞存在两组压杆，分别为直线型压杆（O ₁ P ₁ ）和折线型压杆（N ₁ L ₁ Q ₁ M ₁ N ₁ ）。将部分折线型压杆看成一组离散受压构件，它们之间就不存在接触问题，属于广义张拉整体结构范畴。

图1　张拉整体三棱柱单胞

Fig.1　Tensegrity triangular prism unit

1.2　环形张拉整体结构构成

图2给出了新型环形张拉整体结构的成型过程，其中两个相邻单胞共用一根拉索，节点M ₁ 和L ₂ 通过连系附索（M ₁ L ₂ ）相连，则连接两个相邻单胞的连系附索与旋转角θ的关系如下：

图2　两个三棱柱通过添加连系附索（M ₁ L ₂ ）相连

Fig.2　Two triangular prisms are connected by the addition of a connective appendage （M ₁ L ₂ ）

最终可得由12个三棱柱单胞组成的环形张拉整体结构及其编号如图3所示。

图3　新型环形张拉整体结构

Fig.3　Novel annular tensegrity structure

1.3　其他形式的环形张拉整体结构

在此基础上，为满足现代化工程建设需求，恰当体现建筑造型的美观性、多样性、功能性，设计者可根据实际工程需求适当增减三棱柱单胞数量及调整其构成形式，实现其他形式的环形张拉整体结构，如图4所示。

图4　其他形式的张拉整体结构

Fig.4　Other forms of tensegrity structures

2　新型环形张拉整体结构找力分析

2.1　找形基础理论

对于已知单元数量为b、自由节点数量为n、空间结构为d ₁ 维（d ₁ =2或3）的张拉整体结构，其几何拓扑连接关系可用关联矩阵C ^b×n 表示，假定任意单元k连接两端节点的编号分别为i和j，则关联矩阵可表述为 ^[17] ：

定义矩阵，考虑到张拉整体结构是一种自平衡结构体系，在忽略结构本身重力及外荷载的前提下，结构体系在自应力状态下可保持稳定，即：

对于具有一定对称特性的张拉整体结构，力密度计算可采用以下公式[20]：

2.2　结构可行预应力

以n ₁ =12，θ=150°，外径2R ₁ =11.11m的环形张拉整体结构为例，其中R ₁ 为圆环的半径，采用商业有限元软件ANSYS对其进行可行预应力分析，拉索采用Link10单元，压杆采用Link8单元。压杆L ₁ N ₁ 、M ₁ Q ₁ 的横截面积为621mm ² 、压杆L ₁ Q ₁ 、M ₁ N ₁ 的横截面面积为3,800mm ² 、压杆P ₁ O ₁ 的横截面面积为4,960mm ² 、拉索的横截面面积均为1,020mm ² 、压杆和拉索的弹性模量分别取为2.06×10 ⁵ MPa和1.95×10 ⁵ MPa。如图3所示，在12个环向支座节点（O点）上施加z向约束，另外在对环向取对称的4个节点上分别施加2个（O ₁ 、O ₇ ）x向和2个（O ₄ 、O ₁₀ ）y向约束。由式（7）可求得各个杆件预应力t。施加预应力之前，考虑重力影响后，通过该比值在ANSYS中进行形态分析之后得到的最终预应力如表1所示。

2.3　几何稳定性分析

张拉整体结构的切线刚度矩阵可表述为 ^[21] ：

张拉整体结构是自平衡体系，其结构的独立机构位移模态数可由刚体位移模态数和无穷小机构位移模态数两部分组成。其中，无穷小机构位移模态m _im 和刚体位移模态数r _b 可按下式求得：

当切线刚度矩阵是正定的，在结构刚体位移被限制的情况下，则结构稳定，即对于任意无穷小位移d，矩阵的二次型K ^T 是正定的。

在忽略前6个刚体位移的情况下，可通过的正负来判断结构是否稳定。上述新型环形张拉整体结构在忽略重力和约束后，由式（30）求得λ ₁ =2.63690，则判断该结构稳定。

3　新型环形张拉整体式穹顶结构

3.1　结构形成

索弯顶结构由径向脊索、径向斜索、环索和压杆组成，并支承于周边刚性环梁上，最早由美国工程师GEIGER基于FULLER的张拉整体的思想提出（图5），并在1988年首次应用于韩国汉城奥运会体操馆和击剑馆中。但索弯顶的底部支撑为刚性圈梁，并不是严格意义上的自平衡结构。受此启发，拟采用环形张拉整体结构替代索穹顶刚性圈梁，即可形成一种新型环形张拉整体式穹顶结构，其约束编号如图6所示。

图5　索穹顶

Fig.5　Cable dome

图6　新型环形张拉整体式穹顶结构

Fig.6　Anovel annular tensegrity-dome structure

3.1.1　其他形式穹顶结构

在上述提到的其他形式的张拉整体结构中引入索穹顶，可以组合出不同形式的新型张拉整体式穹顶结构（图7），以适应工程中不同的边界。

图7　其他形式的张拉整体式穹顶结构

Fig.7　Other forms of tensegrity-dome structures

以上列举3种“其他形式张拉整体结构＋索穹顶”情况下的新型张拉整体式穹顶结构样式，即分别在新型海胆形张拉整体结构、新型雪花形张拉整体结构和新型花瓣形张拉整体结构中引入索穹顶，即可形成新型海胆形穹顶结构、新型雪花形穹顶结构和新型花瓣形穹顶结构，在增加现有索穹顶建筑形态种类的同时达到了更好的建筑视觉效果。

3.2　力学性能研究

3.2.1　协同找形

在图6所示的索穹顶中引入新型环形张拉整体结构，形成新型环型张拉整体式穹顶结构，对索穹顶取1/12进行编号（图8），该结构的1/12部分由张拉整体三棱柱单胞和1/12索穹顶通过共同点P ₁ 、Q ₁ 进行连接。

图8　1/12索穹顶

Fig.8　One-twelfth of the cable dome

在协同找形前，环形张拉整体结构与索穹顶结构的预应力相互独立，互不影响。环形张拉整体结构的预应力可由上节所述方法计算得到，索穹顶的可行预应力 ^[22] 可根据节点平衡方程计算。在协同找形时，以n ₁ =12、θ=150°、外径2R ₂ =33.33m的新型环形张拉整体式穹顶结构为例，其中R ₂ 为圆环的半径。新型环形张拉整体式穹顶结构的横截面面积如表2所示。压杆和拉索的弹性模量分别取为2.06×10 ⁵ MPa和1.95×10 ⁵ MPa，由式（30）求得=5.890，可判断该环形张拉整体结构稳定。如图6所示，在12个环向支座节点（O点）施加z向约束，另外在对环向取对称的4个节点上分别施加2个（O ₁ 、O ₇ ）x向和2个（O ₄ 、O ₁₀ ）y向约束。拉索用Link10模拟，压杆用Link8模拟。为确保结构安全，拉索的预应力不应超过破断力的40% ^[23] ，经过非线性分析，结构的初始预应力和协同找形后的预应力如表3所示。

3.2.2　静力分析

为进一步研究该结构的力学性能，对该结构施加1kN·m ^-2 的恒荷载 ^[24] 、不上人屋面为0.5kN·m ^-2 的活荷载、温度荷载 ^[25] 取±30 ℃，风荷载中体型系数按照《建筑结构荷载规范》（GB 50009—2012）中的旋转壳顶取值，由于结构矢跨比为0.225<0.25，故为风吸，基本风压取0.6kN·m ^-2 ，高度变化系数取1.62，风振系数取1.55。使用工况1（1.3×恒荷载+1.5×活荷载）和工况2（1.2×恒荷载+1.4×活荷载+0.84×风荷载）。经非线性分析后得到结构的内力如表4所示，内力的变化如图9、图10所示，拉索内力不超过破断力的40%。图11、图12分别为结构体系在工况1和工况2下的最大竖向位移，分别为30.69mm和25.23mm。

图9　环形张拉整体结构杆件内力变化

Fig.9　Variation of internal forces of the member of annular tensegrity structure

图10　索穹顶结构杆件内力变化

Fig.10　Variation of internal forces of rod members of cable dome structure

图11　工况1下位移云图（单位：mm）

Fig.11　Displacement contour under load case 1（Unit：mm）

图12　工况2下位移云图（单位：mm）

Fig.12　Displacement contour under load case 2（Unit：mm）

建筑结构在使用过程中受偏心荷载作用的现象十分普遍，雪荷载、某些上人活荷载和施工过程中等屋面受偏心荷载作用为常见现象。本文按依次施加全跨恒荷载+1/2跨活荷载和全跨恒荷载+ 1/4跨活荷载来模拟屋面受偏心荷载作用的结构响应。典型荷载工况组合如表5所示，且表中的最大位移均未超过2R ₂ /250=133mm，此位移结果满足《空间网格结构技术规程》（JGJ 7—2010）的要求。

结构协同找形后由于内力重分布，环形张拉整体结构上大多数索杆的预应力基本不变（图9），索穹顶构件的预应力大幅减小（图10），与索穹顶相连的内环索（索7）的预应力大幅度减少（图9）。这是因为施加初始预应力后，环形张拉整体结构的刚度比传统刚性环梁的刚度要小，导致新型环形张拉整体式穹顶结构有向内收缩的趋势，且结构在成型过程中产生的位移变化较大。因此，引起了与索穹顶相连的内环索（索7）和索穹顶出现预应力损失的现象。施加荷载后，结构内力变化没有很大，且竖向位移满足规范要求，进一步验证了该结构具有较好的刚度。

3.2.3　整体稳定分析

本项目需要考虑初始几何缺陷和非线性的结构整体稳定性分析，整体稳定性分析时荷载取1.0×恒荷载+1.0×活荷载作为计算工况。通过修改模型节点的几何坐标引入结构初始几何缺陷，其分布采用结构的最低阶屈曲模态，按照《空间网格结构技术规程》（JGJ 7—2010）规范4.3.3条取最大值，即为结构跨度的1/300。对结构进行全过程分析后可得到荷载-位移曲线如图13所示，由图可知稳定承载力系数为11.65>4.2，满足规范要求，因此结构整体稳定性满足要求。图14为结构整体失稳变形，由图可以看出，结构破坏时索穹顶的破坏程度大于环形张拉整体结构的破坏程度，尤其是索穹顶最上方中央压杆附近的竖向变形最大。

图13　荷载-位移曲线

Fig.13　Load-displacement curve

图14　结构整体失稳变形（单位：mm）

Fig.14　Overall instability and deformation of structure（Unit：mm）

3.2.4　模态分析

张拉整体式穹顶结构在动力荷载作用下产生的反应不仅与动力荷载本身的大小和变化规律有关，且在很大程度上还与结构本身的自振特性高度相关。因此，对新型环形张拉整体式穹顶进行模态分析具有非常重要的工程意义，同时也可为后续开展动力分析打下基础。基于此，本文拟在ANSYS中对新型环形张拉整体式穹顶结构进行模态分析，表6给出了所求得的结构体系前18阶自振频率，其中前6阶自振频率所对应的振型如图15所示。

图15　结构前6阶振型

Fig.15　The first six vibration modes of structure

由表6中结果可知，结构的自振频率分布相对比较密集且存在多组相等的频率，这是因为该结构为中心对称体系且存在多条对称轴。由图15可以看出，该结构的振型变化大都出现在索穹顶上。结合结构发生失稳破坏时，索穹顶的破坏程度大于环形张拉整体结构的破坏程度，由此说明相比于环形张拉整体结构，索穹顶的刚度要小于环形张拉整体结构的刚度。因此建议在进行工程设计时，可以考虑适当提高索穹顶的安全储备，以确保索穹顶部分在荷载作用下的安全性。

4　结  论

（1）本文提出了一种基于单胞组装的新型环形张拉整体结构，并对其结构初始可行预应力进行分析求解。同时为满足多样化的设计需求，通过不同的组装方式变换出其他形式的张拉整体结构，并在其中嵌入索穹顶结构使其形成不同类型的张拉整体式穹顶结构，极大地丰富了现有的建筑结构种类。

（2）对环形张拉整体式穹顶结构进行协同找形后，环形张拉整体结构中多数构件的初始预应力变化幅值较小，但索穹顶部分的构件预应力大幅减小，且与索穹顶结构相连的内环索的预应力下降幅值较大。

（3）静力分析结果表明，结构体系典型荷载工况作用下的位移变化满足规范要求，表明该结构拥有良好的刚度。模态分析和整体稳定性分析结果表明，环形张拉整体结构的刚度大于索穹顶的刚度。建议在进行工程设计时，适当提高索穹顶的安全储备，以确保索穹顶部分的安全性。稳定性分析结果表明，环形张拉整体结构的几何稳定性和张拉整体式穹顶结构的整体稳定性都满足要求。

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