结构动力学与抗震漫谈02：地震力与固有振型

地震波

地震发生时，震源区的介质发生急速的破裂和运动，从而构成了波源。由于地球介质的连续性，这种波动就向地球内部及表层各处传播开去，形成了连续介质中的弹性波，即地震波(Seismic Wave)。

震源发生振动后，首先产生体波，体波分为纵波(P波)与横波(S波)，纵波是压缩波，使质点沿前进方向前后振动；横波是剪切波，使质点在与前进方向垂直的平面内上下或左右振动。当体波传播到地面时，将引起分别为Rayleigh波和Love波这两种面波，Rayleigh波是压缩波引起上下震动，Love波是剪切波引起左右、前后震动，面波随深度增加幅值迅速降低。四种波如下图所示：

地面的运动有六个自由度，分别为三个平动方向和三个转动方向，转动方向测量很困难且对结构的影响较小，在进行地震计算时一般只考虑三个平动方向的运动。下图所示为地震波记录仪：

地震时，记录仪可以记录下地震波两个水平方向和竖向地面位移随时间的函数关系 ，对 求一阶导数，可以得到地面速度 ，对 求二阶导数，可以得到地面加速度 ，下图为1992. 06.28发生在LOS ANGELES的地震两个水平和竖向的加速度时程曲线。  

地面运动转化为质点上的外力

有了 ，我们就可以计算地面运动引起的结构振动了，如下面单质点运动图所示：

质点的总运动 由地面运动（指地面相对于固定坐标系） 和质点相对地面的运动u组成，在任一时刻， ，弹性回复力 与阻尼力 由相对位移和相对速度决定，质点的惯性力由总加速度决定，以质点为隔离体列运动方程为： ，即 ，可得 ，将c与k的

表达式代入此式，得 ，消去m得，

，这就得到了单质点有阻尼的运动方程。

公式推导大家容易看的头疼，上面的结论我们也可以形象的加以说明，宇宙万物都在运动，地球自转的同时绕着太阳转，太阳系又绕着银河系转，银河系也在做着复杂的运动，我们能感知到的运动其实都是相对运动。如下图所示，地震时的地面运动可以比喻为公交车突然启动：

则里面质点的柱底产生一个加速度，而质点是静止的，我们可以理解为柱底静止而上部质点发生运动，两者是一致的，公交车的运动加速度可以理解为上部质点的加速度，由加速度会产生惯性力，根据达朗贝尔原理，这个惯性力相当于外力，这样理解可以直接得到上面的方程。当我们要求质点相对于地面的总运动时，采用矢量相加原则，总运动等于质点相对于公交车的运动加上公交车相对于地面的运动，但是求这个总运动是没有太大用处的。

通过上述推导我们知道，对于单质点，当地面发生 的加速度运动，相当于以 做为作用于质点上的外力(惯性力)，求解之后可以得到u(t)。对于多自由度体系是怎样的情况呢？以下图双自由度体系为例进行推导。

以每个质点为隔离体列出平衡方程组：

将总加速度写成地面加速度与相对地面加速度之和：

把地面加速度项写在右边得：

通过上面的推导我们可以知道，通过上述推导我们知道对于多质点体系当地面发生 的加速度运动，相当于以 做为作用于质点 上的外力(惯性力)，求解之后可以得到每个质点的 。如果我们用直观的相对速度与惯性力的概念，将地面视做静止，上部质点视为运动，仍然可以直接得到这个结论，对于上部有更多质点的情况，就是在每个质点上作用一个自身质量与地面加速度的乘积。对我们结构师来说，实际关注的是结构内力的最大值，即 ，上标o表示运动整个时间历程中的最大值。

现在我们已经把地震地面运动转化为了作用在质点上的动力，对于复杂多自由度体系来说工程上应用的求解方法主要有两类，一类是第一篇文章中讲的数值方法，第二类是反应谱方法。数值方法是直接方法，以每个质点的三维坐标为未知量，一次性直接求出质点x、y、z三个方向的运动，这种方法是通用性方法，适用于任意的结构，计算速度慢；反应谱方法是间接方法，将三维坐标变换为振型坐标，从而可以解耦求解，由单自由度的结果叠加后得到多自由度结果，由于高阶振型对内力的影响较小忽略掉误差不大，所以反应谱法计算速度更快，由于这些特点，反应谱是结构设计最常用的计算方法。下面我们首先讲解反应谱法，其中第一步是确定振型。

三自由度固有振型分析

下面来确定三自由度体系的固有振型，对于更多自由度的体系道理是一样的，如下图所示三层框架：

设质量集中于三层质点处，框架没有质量仅提供刚度，假定梁的抗弯刚度无限大，则各层柱上下端转角均为0，即相当于嵌固，如下图所示：

我们采用虚功原理来求出两端嵌固柱顶点侧移刚度，常规框架结构柱一般比较细长，剪切变形很小可忽略，只考虑弯曲变形能，由虚外功=虚变形功列出等式 ，可由图乘法解出等式右侧：

有了侧移刚度，我们就可以求出三层框架的刚度矩阵了，上图所示，三层框架每层两个柱中一个柱的惯性矩为 ，两个柱惯性矩之和为I，可以将其简化为三层单柱体系，每层柱端只有平动没有转动。下面我们求出其刚度矩阵，如下图所示：

因为建筑结构为小变形体系，可以应用叠加原理，我们分别在每层质点处施加单位位移，可以在每个杆端处得到横向剪力 ，为了运算方便起见，设 为一个单位力，设向右为正方向，则可得到  

写成刚度矩阵的形式

质量矩阵为

写成矩阵方程：

我们知道，任意一个三维向量可以写成任意三个线性无关三维向量的线性组合，即 ，

，其中三个向量为三个广义基，相当于空间直角坐标系的坐标轴x、y、z， 为在相应基上的坐标，相当于直角坐标系中每个坐标轴上的具体数值。单自由度体系有一个固定周期，与之类似三自由度体系有三个的固定周期，分别与三个基相对应，我们设质点系仅在某个基上运动，则

代入运动方程， 为时间的函数，为固定不变的向量，则：

欣赏下极光，暂时远离公式

由微积分知识可知， ，则：

不等于0，否则没有运动，可写为：

写成：

为了得到上述方程在数学上的意义，可将矩阵用字母表示为 ，可以看出 是矩阵 的特征值， 是矩阵 的特征向量。可以形象的去理解特征值和特征向量，即在某个特征向量方向上，刚度与质量矩阵可以等代为一个数，从而使得在这个方向上，刚度为一个固定的值，多自由度相当于只有一个自由度，这样就达到了解耦的目的。  

由上式的物理意义可知 不能等于0，否则也没有运动，根据代数知识，前面矩阵的行列式为0，即

解此行列式，可求得三个不同的 ，即 ，代入前式后可求出与之对应的三个向量，分别为 ，  

至此我们就求出三层框架的三个固有频率与固有振型。

设质量 ，以质量、刚度数值代入，得

可求出 ，代入前式求出三个振型。为运算方便，假设求出的各振型、周期、圆频率如下：

振型的物理意义是指，如果我们用手把三个质点拉到每个振型的位置，松开手后，各质点在中点左右振动，但在任一时刻的各点位移之比都相同，例如第一振型位移之比是1:1.8:2.3，第二振型是1:0.45:-0.8，如上图最后 的振动图所示，各质点同时经过中点，同时到达位移最大点，与竖轴相交的点保持静止。

现在我们找到了运动分解的广义坐标，下面就要把位移和外力向各振型坐标上分解了，中间要经历一系列变换，欲知详情，且听Alex下篇分解。

本系列抗震文章是Alex经过长时间细致思考、字斟句酌之后用自己的语言写成的，喜欢的同学劳烦点赞与分享，感谢支持原创。

参考文献：

1. 结构动力学—理论及其在地震工程中的应用（第四版） Anil K. Chopra

2. 结构动力学（第二版） R. Clough