建筑结构丨结构动力问题及求解思路

写作初衷

咱们结构师进入设计院工作一、二年之后就会发现，结构设计处处离不开抗震，抗震之于结构师的重要性可以类比于防火之于建筑师的重要性，结构设计规范中，抗震设计可以说是无处不在，计算最复杂、概念最难理解的也当属抗震了，可以说，只有把抗震设计理解清楚才可能真正理解复杂项目，也才可能成为结构高手。本文有助于您把抗震设计中最重要的一些概念弄清楚。

达朗贝尔原理

如下图所示，质点m在f作用下产加速度 （u为位移， 为速度）， ， ，把 看做与f共线且反向的力，称为惯性力，则m在合力f与惯性力 共同作用下在任一时刻均处于平衡状态。采用惯性力可以用静力平衡概念去理解和求解动力问题，静力计算的所有法则都是适用的。

 

静力与动力

当一个重物从高处自由下落到桌面上时，桌面会发生上下震动，而我们手拿重物轻放到桌面上时，桌面仅发生轻微变形，重物与桌面间抵触力前者属于动力，后者可看做静力。静力作用因为使物体产生的加速度很小，惯性力可以忽略不计，所受合力为0，所以作用于物体上的主动力与被动力处于平衡状态，这样在计算上可以简化。事实上，万物都是运动的，绝对的静力是不存在的，一般把随时间缓慢变化的力叫做静力，随时间快速变化的力叫做动力。如下图所示：

 

0秒~0.1秒力的变化率很大为动力；0.1~0.4力随时间不发生变化为静力；0.4~1.5力随时间变化很慢看做静力；1.5~2.5力随时间变化很快但是和力的基数相比较小也可以看做静力；2.5~3.5以后力随时间快速变化且变化幅度与力的基数相比较大为动力。

我们这系列文章研究的是结构在动力作用下的作用，其中又主要是地震作用下结构的反应。

阻尼力

（1）阻尼概念

结构中的阻尼由材料中的内摩擦产生，对于建筑结构还包括填充墙材料内部及与主体结构间的摩擦，阻尼力起到减小、耗散结构能量的作用，将结构的部分动能转化为热能。实际阻尼力的作用方式非常复杂，为了数学计算简单起见，把阻尼力表达为 （此形式的阻尼称为粘滞阻尼），c为阻尼系数，阻尼系数确定的原则是阻尼力在结构运动一个周期的时间里阻尼力做的功等于自由振动能量的减小值，这样我们就可以通过实际测量前后两个振动中质点体系的能量差来求出阻尼系数。如下图所示，水提供了阻尼，使钟摆振幅越来越小，阻尼力的大小与运动速度成正比，为粘滞阻尼的一种形式。

 

（2）阻尼比

在有阻尼自由振动质点上列平衡方程，如下图所示：

 

方程为 ，其中c由介质阻力提供，随着阻尼系数由0逐渐增加，在一个振动循环中阻力做功越大，振动质 点消耗的能量越大，当达到一个界限值时，质点从最大位移处回到平衡位置时阻尼消 耗掉了所有的能量，以液体中的钟摆为例：

 

当c达到 时，小球在 时刻回到平衡位置时恰好恢复静止，当 时，恢复静止将需要更长的时间。求解这个振动方程可以得到u的表达式， 可求得为 （ 为无阻尼体系的圆频率），引入一个新参数 ，命名为阻尼比，为阻尼系数与临界阻尼系数的比值，反映在振动过程中能量损失的程度。再将k的表达式 代入，这样我们就可以把方程改写为 ，改写的好处是可以把质量消掉，有阻尼自由振动方程简化为 。

单自由度平衡方程

如下图所示，质量m受到弹簧产生的弹性力ku、阻尼力 、惯性力 、外力p(t)的作用，写成平衡方程 。

 

对于结构工程师来说，我们更习惯于悬臂柱体系，计算简图如下：

 

全部质量集中于上端小球，下部悬臂柱仅提供刚度，阻尼假设由小球周围与之接触的介质来提供。悬臂柱的截面抗弯刚度为EI，高为h，只考虑柱的弯曲变形，不考虑剪切变形，则顶部侧移刚度 ，此式适用于小变形的情况，对于大变形不适合，但建筑结构在正常使用条件下都是小变形的，不特殊说明我们都认为结构以小变形为前提。

动力方程求解方法

写动力学系列，绕不开让大家头疼的微分方程求解，怎么可以写的让大家有阅读快感，笔者费了一番脑筋，觉的基本的容易理解的公式还是应该有的，太复杂的公式一般都可以借助简单的情况理解，只需要给出结果，不用写推导过程，但是总的思路应该清楚。下面咱们概括一下几种求解方法。

1 经典解法

在求解一般的动力学问题 之前，先来考察最简单的自由振动的情况，即没有阻尼c和外力p(t)作用，此时 ，对于自由振动，需要先给质点一个初始条件，即使之运动的原因， 为0时刻的位移，(0)为0时刻的速度，至少有一项不为0，因为正弦函数的二阶导数为其自身的负数，容易猜到u的表达式中含有sin函数，求解之后可得： ， ，称为圆频率，又叫角速度，是单位时间在单位圆中转动的角度，故而周期 T与f均为单质点体系的固有属性，仅和质量与刚度有关，A为质点的振幅，是初始条件u(0)、 和固有属性k、m的函数，θ为相位角。

当存在外力时，方程变为： ，这是一个非齐性方程，根据微积分知识，当p(t)为周期性荷载这样一种简单的动荷载时，设其为 ， 为动力的最大值，圆频率ω为扰动频率，则运动方程变为： ，u的解由齐次方程 的通解和此非齐性方程的一个特解组成，齐次方程解 的振动频率为 ， ，非齐次方程的一个特解通过观察方程的结构可猜测其为频率为ω的正弦函数，解为Bsin(ωt+θ)，带入初始条件运算后， ，当结构体系处于弹性状态且为小变形时，运动可叠加，则总位移 ， 如下图所示：

 

总运动为第一项的瞬态运动和第二项的强迫运动叠加。对于强迫振动部分，当

与 越接近时，振幅越大，当 时，叫做共振，此时振幅倾向于无穷大。当一队士兵齐步走过一座桥时，当他们行进的频率与桥的固有频率相同时，桥梁发生共振，就有破坏的可能。 

我们可以从物理直观角度去理解，当外力与固有频率同频时，外力方向始终与质点运动同向，任一时间内都对质点做正功，从而使得其振动能量越来越大；当外力与质点固有频率不同时，力与运动同向时对质点做正功，力与运动反向时做负功，当正功大于负功时，振幅会越来越大，同时使正功与负功的数值越来越接近，当正负功相等时，振幅达到稳定。

对于存在阻尼的自由振动部分， ，阻尼力与速度成正比，在任意一个微小时间段内，因为时间很短，速度不变，体系的动能为 ，阻尼对质点所做功为阻尼力与位移增量之积，即 ，改写为 ，即 ，阻尼力做负功，在振动中任意时间段内消耗结构体系同样比例的能量，因而在每个周期内阻尼消耗掉体系相同比例的能量，振动随时间逐渐减弱，如下图所示，随时间延长振幅逐渐衰减到0。

 

运动方程 中的特解部分（即强迫振动部分），由于有外力周期性的能量输入，仍为振幅恒定的平稳振动。两部分叠加，振动形式经历很短时间之后自由振动部分衰减到0，稳态强迫振动会一直持续。

前面的函数p(t)为简单的正弦函数，我们容易通过微分方程经典方法求出，当p(t)由复杂函数定义时，经典解法求解困难或者无法求解，此时一种特殊的求解方法“卷积积分”变的非常有用。

2 杜哈梅积分解法

对于复杂的p(t)，可以将其沿时间轴分为无限多个时间微量d(τ)，每个时间微量处有对应的力p(τ)，其对质点产生的冲量为p(τ)·d(τ)，由动量守恒， ，经历微小时间d(τ)之后，质量获得了一个速度增量 以及一个位移增量 ，因为 高阶微量，可忽略不计，所以经过了时间增量[d(τ)]后，质点获得了 的速度，且位置不变。尽管在d(τ)开始时刻质点有速度 与位移u(t1)，但对于我们研究的弹性体系，d(τ)结束时刻质点以t1时刻的位置为中心发生振动，振动规律和在平衡位置的振动相同。有初始速度的质点自由振动u(t)的表达式，前面已经用经典方法求出了。对于每一个时间微量d(τ)，重复上面的过程，可以得到无数个u(t1)、u(t2)、u(t3)...的函数，对应的曲线如下图，质点的总反应u(t)为这无数条曲线的叠加。

 

杜哈梅积分是沿时间域分割再叠加的方法，可用于解决复杂动力p(t)作用下运动的求解，象 那样简单的函数当然也是适用的，它为我们提供了一种动力计算的通用方法。

3 频域方法

前面我们讲杜哈梅积分是在时域上分解，从而我们可以自然的猜测到既然弹性体系符合叠加原理，我们是否还有其它对函数p(t)进行分解的方法呢？让我们回忆一下微积分教材，采用傅立叶级数可以将任意函数分解为无数个不同幅值和周期的正弦函数的叠加。

 

傅立叶和傅立叶级数

利用前面经典解法我们容易得到外力为正弦函数时的位移反应，我们首先得到每个频率的位移反应，然后将这无数个正弦函数的位移反应叠加在一起就可以得到总的位移反应。

4 数值方法

前面三种方法的应用有两个前提条件，第一结构应处于弹性状态，这样结构才有不变的刚度矩阵；第二是p(t)可以写成函数的形式，对于p(t)是由离散时刻的数值给出的情况，例如地震时地震加速度就是由地震记录仪记录的地震历程中每一时刻的数值，然后乘以质量转换为惯性力，这些数值无法写成函数的形式。对于这两种情况需要用到数值方法。具体的方法后面的文章再进行探讨。

参考文献：

1. 结构动力学—理论及其在地震工程中的应用（第四版） Anil K. Chopra

2. 结构动力学（第二版） R. Clough

来源：结构茶馆。