高层结构分析方法（八）：楼板舒适度分析

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         楼板舒适 度问题可简单概括为由于人员活动、机器振动等所引起的楼板（屋盖）振动不能影响楼板（屋盖）的正常使用功能。

作为最直接与使用者接触的结构构件，大跨楼板的振动舒适度评估，已经成为结构设计中所必须考虑的重要适用性要求，与承载力要求一起成为大跨度楼板设计的控制因素。楼板设计的适用性要求包括刚度及振动（共振）两大方面。刚度要求可通过控制楼板挠度及裂缝来满足，但这不能确保不发生共振问题，最典型的例子是步行军队过桥导致桥毁坏、伦敦千禧桥振动事件。因此我国规范和美国土木工程师协会设计指南ASCE7(2005)中均明确指出需要单独考虑楼板振动的适用性。

楼板舒适度的分析常用的有自振频率分析、规范计算、时程分析等几种方法。

1.1   自振频率分析方法

采用有限元分析软件，可方便地对所在楼层楼板进行结构的自振频率分析，当频率能够满足相关规定时，可不进行楼板振动加速度的分析。

1.2   规范计算方法

规范的计算方法主要有美国钢结构协会AISC《人群活动下的楼面震动》和《高规》附录A的相关内容。

（1）AISC规范

AISC《人群活动下的楼面震动》规定，在针对步行激励情况下，楼面加速度计算公式如下：

           

                              表1?1     AISC振动加速度控制值

（2） 《高规》附录A

《高规》附录A的计算公式主要是参考了AISC规范的计算方法，并进行了适当的修改和简化。

人行走引起的楼盖振动峰值加速度可按下列公式近似计算：

1.3    时程分析方法

时程分析方法首先要确定激励荷载，时程激励荷载通常可以分为单人单点荷载激励和人群均布荷载激励两种方式。当通过时程分析验算不能满足相关规定时，可采用设置TMD的方法进行减振。

（1）单人荷载激励响应

为了评估楼板结构在人行荷载作用下的动力性能，评价结构在正常使用极限状态下的舒适度，必须选择合理的人行荷载模型。脚步荷载模型包括单人荷载模型和人群荷载模型。

1）单人脚步荷载激励

确定性模型是以人行走具有周期性为前提假设的，也就是假定人左右脚的每一步荷载和步频都相同。如此假定的周期性脚步力荷载可以用傅里叶三角级数来近似表达，其中三角级数中的常系数来源于实验观测的数据。确定性模型的通用表达式如式（1?6），即静荷载与几个简谐动荷载之和。

AISC中提供的频率范围和动力荷载系数如下：

通常结构需要一定数量的步行激励才能发生共振，而现实结构跨度有限，行人的激励步数可能不会达到最大响应的数量。 在计算激励作用时还需引入一个折减系数 ，见式（1-7）。 其物理意义是考虑楼板跨度的限制，对踏步步数的影响进行了修正，当步数达到一定程度时，该系数趋近于 1。

                       

式中:ζm为第m 阶模态的阻尼比; N 为过程系数，取N=0.55h W ,其中 h 为简谐荷载阶数，W 为踏步步数。

2）跑动激励

根据美国AISC标准，采用人行荷载的公式形式，考虑前三阶简谐波荷载，相应的频率范围和动力荷载系数如表1-3。

双人 跑动激励响应同单人跑动，相应的人体重量放大2倍，即 2 x 70 = 140kg，其他分析参数同单人跑动。

3）跳跃激励

单人跳跃，采用 ISO10137:2007 的荷载标准，其基于一个人的跳跃引起的脉冲激励进行线性时程分析，持续时间和激励幅值与跳跃高度有关。施加跳跃激励的点可选择各功能区对应的参与系数较高的模态峰值点，图1?1为冲击荷载曲线图。

图1?1   ISO建议的冲击荷载曲线

其中：F(t)/Q--归一化的冲击系数；

脉冲持续时间(s)。

不同跳跃高度的单人脉冲冲击系数和持续时间如表1-4。   

    双人跳跃荷载激励响应同单人跳跃，相应的冲击系数放大2倍，线性时程分析各项参数设定同单人跳跃激励。

（2）人群荷载激励响应

根据结构的使用功能大致可分为两类方法进行分析：常规的跳舞、音乐会、健身操和运动会等类似功能的房间，可参照ASIC提供的荷载激励函数进行分析，这种分析方法较为简洁；对于不能采用简化分析方法的均可根据人群密度和频率确定等效人群荷载，通过IABSE(MIDAS/GEN有自带)荷载激励模式进行分析 。

1）常规人群荷载激励

进行有节奏运动的人一般比较多，与较少的人行走荷载有较大差异，一般用等效均布荷载来反映其对楼盖振动的影响，见表1-5。等效均布荷载的大小取决于参与有节奏运动的人数。忽略静荷载的影响，荷载函数同单人脚步荷载激励，主要区别在荷载频率阶数和动力因子，见表1-6。                           

IABSE(International  Association for Bridge and StructuralEngineering)模型采用傅里叶级数展开形式，建议步行荷载取前3阶谐波:

                                 

各阶谐波动荷载因子分别为:

各阶谐波相位： 荷载激励如图1?2所示 ：

图1-2 IABSE模型激励荷载曲线

在《人行天桥的设计与施工》中将行人密度分为5类，见表1-7，根据具体工程特点选择结构的行走状态。

表 1-7 不同行人密度下人的感受

人活动的荷载频率参考范围：

步行为1.6-2.4 Hz，跑步为2.0-3.5Hz，跳跃为1.8-3.4 Hz，弹跳为1.5一3.0 Hz。

大跨结构在正常使用情况下，常常受到大量同步人群荷载激励的作用。所以，需要研究人群在结构上同时产生的步行力，这种分析是困难的，因为人群荷载的研究不仅限于行人与行人之间相关性，还涉及到人与结构耦合作用的情况。为简化计算，可将楼板上n个固定位置的行人等效成Ne个周期相等、相互间无相位差的步行力，均匀分布在楼板上。

当人群密度d< 1.0人/m2时，人群的等效人数计算公式：

          

当人群密度d≥ 1.0人/m2时，人群的等效人数计算公式：                                

      

其中， 为结构振型阻尼比，n为计算区域的总人数。

按照响应等效 原则，人数为 n的人群引起的结构响应与Ne个完全同步的人引起的结构响应相等，则可以定义等效响应系数为:    

1.4    TMD减振方法

大跨楼板为典型的柔性结构，人员跑动作用下的动力反应强烈，共振现象明显，如果单纯的采取传统办法，增大结构构件截面尺寸提高结构刚度十分不经济，因而采取专业振动控制技术成为很好的技术方案选择。TMD( Tuned Mass Dampers) 是目前结构振动控制中应用广泛、效果很好的控制装置。

TMD减震系统由弹簧、质量块、阻尼器组成，通过技术手段，使其固有振动频率与主结构受控振动频率相近，安装在结构的特定位置，当结构发生振动时，其惯性质量与主结构受控振型谐振，来吸收主结构受控振型的振动能量，从而达到抑制受控结构振动的效果。减震原理见图1-3。

图1?3 TMD原理示意图

根据Den Hartog建议的TMD最佳参数，TMD的参数确定主要由主结构的质量、频率、质量比和阻尼比确定， TMD质量按悬臂钢框架质量的1%取值。

          式中：m为TMD子结构的质量；  为TMD子结构的质量与主结构第一竖向振动质量之比； 为TMD子结构的最优频率比； 为TMD子结构的最优阻尼比； 为TMD子结构的频率； 为TMD子结构的最优刚度系数； 为TMD子结构的最优阻尼系数； 为主结构的控制频率。

（1）竖向振动频率

频率分析中，采用MIDAS\GEN计算时，模态类型可选择多重Ritz向量，用Sap2000计算时，采用Ritz向量并设置Z向的目标参与系数，能较快的找到Z方向的竖向振动频率。

（2）激励荷载的频率

激励荷载的频率对于时程函数的影响非常大，为了找到最不利的频率，通常可以在人行激励的频率范围内采用多种频率进行分析试算，得出最不利的频率，第一阶频率可参考如下范围取值：

步行为1.6-2.4 Hz，跑步为2.0-3.5 Hz，跳跃为1.8-3.4 Hz，弹跳为1.5-3.0 Hz。

（3）等效人群荷载的计算

在计算等效人群荷载时，可根据实际的使用功能确定人群荷载的面荷载值，具体算法如下：

某室内篮球场上课时，每个上课的班级人数为50人，体重为 50kg/人。按每人活动范围 ，折算成面荷载 ，因此可将等效面荷载 作为激励荷载的幅值输入。

3.1     采用规范方法计算楼板舒适度工程案例

图3?1  大跨度梁平面图

某空旷办公楼大跨度混凝土楼面梁，梁截面尺寸为400x1250,跨度为21m，梁间距为4m，板厚为110mm，混凝土容重为25kN/m2，通过软件分析，该范围楼板的竖向自振频率为2.8Hz。

根据《高规》附录A：

根据《高规》3.7.7得出2.8Hz时，办公楼的加速度限值是0.062。

因此ap=0.01018<0.062，能够满足规范要求。

3.2     采用时程分析方法计算楼板舒适度工程案例

某钢筋混凝土框架核心筒结构，右侧为混凝土长悬挑结构，如图3-2所示。结构平面布置如图3-3，大跨度混凝土梁截面尺寸为400x1000,梁跨度为18m。

模型采用MIDAS\GEN软件分析计算，剪力墙采用壳单元，楼板采用板单元，梁、柱构件采用空间杆单元。

图3?2   结构三维图

图3?3  结构平面布置图

（1）激励荷载

采用AISC 中提供的频率范围和动力荷载系数，取值见表3-1。

               表3?1人行荷载动力系数和相位角

在Excell中编辑公式，得到时程对应的数据，导入Midas中，计算得到动力荷载激励函数如图3-4所示：

图3?4  人行荷载激励曲线

（ 2）频率分析

为了找到结构中的最不利位置，需要对结构进行特征值分析找到楼板的竖向振动频率和薄弱位置，如图3-5所示最大周期为0.278s，对应的最小频率为3.59Hz。

图3?5   频率分析

（3）时程结果

  在薄弱位置点添加单点时程激励，添加位置为原频率分析振幅最大点位置，见图3-6。

图3?6   节点荷载的添加

根据《高规》3.7.7规定，对于商业用途的房屋，加速度限值为 。本工程楼板的最大加速度为 ，能够满足舒适度的要求。为了找到最不利的位置，需要对人行荷载的多个频率、多种加载模型分组进行分析，以找出最不利频率和最不利位置点，满足工程实际的要求。

3.3   TMD减振分析工程案例

某钢筋混凝土框架核心筒高层结构，总建筑面积69025平方米。地面以上5层，建筑标准层层高5.200米，右侧大跨度悬臂梁跨度为16m，见图3-7所示，结构平面布置见图3-8。

模型采用ETABS软件分析计算，剪力墙采用壳单元，楼板采用膜单元，梁、柱构件采用空间杆单元，TMD采用弹簧、Damper和质量块单元进行模拟。

（1）评价标准

参考AISC标准对办公室的峰值加速度限值0.05m/s2，本工程按0.05 m/s2作为加速度控制目标。

（2）步行荷载的输入

人行走激励参考MIDAS提供的IABSE行走模型，步行激励频率(1.5Hz~2.5Hz)分别取1.6Hz、2Hz和2.4Hz，为得到结构稳定响应，取计算分析的步行数为40步，单人重力荷载取0.7kN，得到人行走荷载模型，如图3-9所示。

图3?9  激励频率为2Hz时的步频时程

步行激励频率为1.6Hz、2.0 Hz和2.4 Hz时，人群密度分别取 、1.4人 和1.0人 。

（3）TMD减振方案

为了确保TMD的减振耗能作用，TMD的自振频率根据结构的竖向振动频率取2.28Hz和2.80Hz，使TMD系统的频带宽覆盖前两个竖向振动频率。表3-2为结构自振频率，表3-3为模型模拟的单个TMD参数。

表3?2结构自振频

表3?3单个TMD参数

由动力计算和建筑要求确定TMD多模态的布置位置。通过调整TMD系统安装位置，最终形成减振系统的优化布置方案，见表3-4，图3-8和图3-10。

表3?4 TMD位置

图3?10  TMD立面示意，构件和节点编号位置图

（4）减震结果对比分析

   1）节点加速度

点1和点2的立面位置见图3-10所示，其中点1位于结构的第18层，点2位于结构的第24层。以下主要列出典型节点点1和点2的加速度结果。

表3-5为无TMD的点加速度，除点1在激励频率为2.4Hz时的加速度（0.0481m/s2）不超出0.05m/s2，其他情况的点加速度均超出0.05m/s2，最大的加速度出现在当激励频率为1.6Hz的点2位置，最大值为0.0611m/s。

表3-6为有TMD的点加速度，减振率均在25%左右，最大减振率为26.5%，减振后的点最大加速度为0.0461m/s2，小于0.05m/s。

表3?5      无TMD点加速度

表3?6      有TMD点加速度

2）TMD的弹簧力

表3-7为TMD在各种激励频率下的受力情况（“-”表示压力），图3-11为阻尼器T1的弹簧力时程。其中最大弹簧力为0.92kN，弹簧力均大于阻尼力，T1的内力远大于T2的内力，说明了结构主要靠轴2上的TMD2起减振作用，TMD1减振效果不明显。

图3?11      T1弹簧力

表3?7   TMD内力

3）构件内力

TMD的布置主要集中悬臂结构顶层楼面梁上，为了说明加TMD后对悬臂处的构件的影响，表3-8列出在恒载作用下构件在无TMD和有TMD的内力变化情况，表中所列构件在结构中的位置见图3-10所示。

由表3-8结果可知，加TMD后对梁轴力影响不大，对梁弯矩有一定的影响，有TMD比无TMD梁1和梁2的弯矩分别增大了14.3%和19.7%。

加TMD后对柱轴力有一定的影响，对柱弯矩影响较小，有TMD比无TMD柱1和柱2的轴力分别增大了15.5%和13.1%，有TMD比无TMD柱1和柱2的弯矩分别增大了0.0%和11.1%。

表3?8 恒载作用下构件内力