结构稳定分析漫谈01—稳定问题初探

转载自微信公众号：结构茶馆

写作初衷

很早就对稳定问题非常感兴趣，稳定问题中奇妙的推导、出人意料的结论，都体现了前辈大师们扎实的功底和卓绝的智慧，但从未动过自己去写写稳定问题的念头，主要是觉得和前辈大师相比，自己的功底浅薄，驾驭不了难度这么大的理论体系。

近两年来，不断有朋友和学生建议 Alex 写写稳定问题，结合自己的理解和工程经验，用尽量通俗易懂的语言把稳定问题的物理意义讲一讲。经过一段时间的观察了解，发现目前市面上关于结构稳定问题的书籍，大多采用微分方程这门数学语言写成，强调逻辑上的严密性。但是对于大多数从事设计工作的结构工程师来说，这些书比较艰深，需要比较好的数学力学功底才能看懂，而且还要花费大量的时间，这令很多工程师都望而生畏，读不下去。

 

望而生畏的微分方程

于是Alex萌生了一个有挑战性的愿望—— 通过系列文章帮助从事结构设计一线工作的工程师们理解稳定问题！这系列文章将涉及计算长度及整体稳定等方方面面的知识，内容比较详细和全面，让大家在设计工作中遇到稳定相关问题不再迷惑，既能够定性判断、又能够定量计算稳定问题。系列文章的语言尽量通俗易懂，尽量图文并茂，突出物理意义，帮助大家建立直观形象的概念，深刻理解稳定问题。同时不必要不使用微分方程这些不太友好的数学工具。

今天第一节，先和大家聊聊几个概念。

强度问题、刚度问题、稳定性问题三者的区别与联系

咱们在谈稳定设计之前，先把稳定问题在结构设计中的地位弄清楚了，结构设计虽然头绪纷繁复杂，不过概括起来都属于三类问题： 强度、刚度、稳定性。

首先，咱们来回顾一下 强度和刚度问题。

强度问题是说构件会不会坏，比如说钢材发生了屈服，比如说混凝土拉断或者压碎了，我们运用一下想象力，用刀把一根梁切割成无数个小梁段，从而暴露出无数个小截面，每个截面我们用铅笔画上纵横线分割成小的方格如下图所示，那么如果任意一个小梁段任意一个小格发生破坏，我们就说这个梁发生了强度破坏，象照片中是右下角的小格发生了破坏。

 

刚度问题指变形过大，如下图所示：

 

假设这个框架的梁和柱是用弹性非常好的材料制作的，比如说橡胶材料，尽管它的变形非常夸张但不会出现上文所描述的强度破坏，不过因为此时设备管线都会挤坏、家具和人都会翻倒，显然在设计中不允许有这么大的变形。

强度问题和刚度问题非常直观，大家理解起来都没有问题，而稳定性问题就没有这么好理解了，好多同学涉及到稳定就一头雾水，从今天开始，我带着同学们从基本的原理、简单的构件出发，一步步直到体系层面的理解，我们尽量避开微分方程，从简单直观的物理概念去感受原理、去说明问题。 咱们首先先上图，让大家对失稳破坏有个直观的感受。

 

从这些图我们可以看出，发生失稳的构件或结构都发生了很大的变形，所以失稳的第一个特点是大变形。第二个特点是状态的突变，象上面的压杆、撑杆、脚手架由直的变成了曲的，门式刚架的腹板由垂直地面变成了侧向凸起，所以失稳还有个形象的名字叫屈曲，意为由直变曲的意思。我们每个人都有这样的经验，比如说我们把一个茶杯放在桌边，悬空了三分之一，不碰它也掉不下去，但是稍微来阵风或者走过时不小心碰了一下，就掉下去了，家里有老人的就会训我们：这样不稳，所以我们每个人即使是没文化的老人，也天生就有稳定的概念，不需要高深的微积分和力学知识，从生活中完全可以理解稳定的概念。从两端铰结轴压杆失稳时突然从直线状态变成弯曲状态，到门式刚架和脚手架的整体大变形失稳，实际本质的特征都是上面两个。

稳定系数的由来

稳定问题非常重要，那么没有考虑稳定计算会出现多么严重的后果呢？众所周知，加拿大工程专业毕业时，每位学生会发一枚工程师之戒，这枚戒指就是由下图魁北克大桥垮塌后的钢铁炼制而成的，而这座大桥垮塌的原因就是由于主桥墩锚臂附近的下弦杆受压失稳导致的。

 

当然在20世纪初，工程界还没有形成对失稳的深刻理解。让咱们来看一下那个压杆实验，按强度计算时，压杆能承担的轴力为f·A，即材料强度×截面面积，但是对于钢结构来说，为了节省材料一般采用细长杆件，由于会提前失稳出现突然的侧向位移，所以轴力小于f·A时就破坏了，设破坏时这个力为F，定义一个ψ=，命名为稳定系数，ψ≤1，求出ψ值是所有稳定问题最终要解决的问题。

一阶内力与二阶内力

一个悬臂杆，顶部受到竖向力P与水平力F作用， 见下图:

 

咱们都知道常规计算假设结构变形很小，所以认为内力在没有变形的初始形状上计算没有太大的误差，然后采用叠加法将各工况的内力图各点坐标直接相加得到总内力，按照这个方法可以画出其N图与M图，M图底部数值为Fh，这种建立在初始形状上的内力计算也叫一阶分析。但是实际的受力过程是不同的，当悬臂柱顶在水平力作用下有了侧移Δ1之后，力P对压杆底部产生了初次附加弯矩PΔ1，附加弯矩PΔ1会引起一个新的位移增量Δ2（原因是M=EIψ，ψ为曲率，而曲率沿杆长积分二次得到侧移），Δ2又会产生了新的弯矩增量PΔ2，这是一个无穷迭代的过程， 但幸好Δ1、Δ2、Δ3......这个无穷级数是收敛的，最终总的水平位移用Δt表示，则杆底弯矩MZ=Fh+PΔt，这种建立在变形后形状上的内力计算也叫二阶分析，二阶分析的内力大于一阶分析的内力，当杆件刚度很大时Δ1很小，则由于Δ1迭代产生的Δt也不大，那么PΔt和Fh相比可以忽略不计，这时可以用一阶分析代替二阶分析。

这个例子中杆件一开始受力就发生了侧向变形，不像欧拉压杆那样受力大时发生变形的突变，而是由于竖向力的作用使得内力加大了，很多稳定书上都把它叫做极值点稳定问题，Alex觉得 其实只是一个称呼问题，为了避免混乱，可以把它看做强度问题（确实绝大多数情况下最后破坏状态为强度破坏）。

二阶内力分析其实用大白话说就是计算出真实的内力，可能大家有人会问了，二阶分析不就是内力计算嘛，和前面讲的屈曲有什么联系呢，为什么钢标、各种稳定书籍中都把二阶分析和屈曲失稳放在一起呢？在悬臂柱的例子中，咱们把水平力去掉，只保留竖向力，这时就是一个屈曲问题了，由咱们系列文章后面部分的方法可以求出竖向力作用下的屈曲因子，用这个屈曲因子经过转化后可以变成一个放大系数，用这个放大系数去乘一阶弯矩，我们就可以得到真实的弯矩了，也就在屈曲和二阶效应间架起了一座桥梁。这个转换很巧妙很难由直觉得到，后面会进行详细的讲解，稳定问题能够吸引那么多结构师去探索和研究可能也正是因为有这些有趣的联系吧。

作为稳定系列文章第一篇，就不涉及更深入的问题了，Alex为了让大家欢快的看下去也是煞费苦心了哈 :）。

最后有几个问题留给大家讨论：

1、一个结构发生了很大变形究竟算不算失稳？

2、最终得到Δt的迭代过程是怎么进行的？

3、失稳时是否一定出现强度破坏？

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